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第六章 实数单元测试（能力提升卷）
（时间：90分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．实数36的平方根是（ ）
A．6 B． C． D．36
【答案】B
【分析】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：36的平方根是．
故选：B．
2．“a的算数平方根”表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：“a的算数平方根”表示为．
故选C．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．0.09的平方根是 B． C．1的立方根是 D．0的算术平方根是0
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的定义，平方根，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．0.09的平方根是，正确，不符合题意；
B． ，正确，不符合题意；
C．1的立方根是1，故不正确，符合题意；
D．0的算术平方根是0，正确，不符合题意；
故选C．
4．在下列实数，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是根据无理数是无限不循环小数，利用这个定义即可判断．
【详解】解：，，
所以在实数，1.010010001，，，中，无理数有，，共2个．
故选：B．
5．估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先计算出原式等于 ，可得，即可求解．
【详解】解：，
，即，
，
的值应在和之间，
故选：C．
6．已知，那么的立方根为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】略
7．已知是有理数，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是将变形为，得出，，求出，，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
8．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴、实数的运算、对称性质，根据数轴上两点间的距离和对称性质求解即可．
【详解】解：由对称性质得，
∴点所表示的实数是，
故选：A．
9．对于实数a、b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查新定义，准确理解题意是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，，
由于x和y为两个连续正整数，
，
，
的算术平方根为，
故选D．
10．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解决本题的关键．根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：∵25的算术平方根为，5是有理数，
∴取5的平方根，是无理数．
∴输出y值是．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．的平方根是 ；的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据平方根，算术平方根及立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：，其平方根是；
的立方根是；
故答案为：；．
12．比较大小： （用“”“”“”填空）．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式的性质是解题的关键．由，得，故，那么可得与的大小关系．
【详解】解：，
，即，
，
即，
∴，
即
故答案为：．
13．若正数m的两个平方根分别是和，则m的值为 ．
【答案】121
【分析】本题考查了平方根，根据题意得，解得，再将其代入即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
，
故答案为：121．
14．一个边长为的正方形的面积为，一个棱长为的立方体的体积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根和算术平方根，根据题意求出的值是解此题的关键．
【详解】解：一个边长为的正方形的面积为，一个棱长为的立方体的体积为，
，，
，
故选：．
15．对于任意两个不相等的实数、，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ．
【答案】/
【分析】主要考查了新定义的实数的运算．根据新定义的运算法则得出．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． 注意两者的区别：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，一个正数的立方根是正数，，0的平方根和立方根都是0，负数没有平方根，但有一个立方根．
（1）把常数项移项，可利用平方根的定义求x；
（2）方程的两边都乘以2，利用立方根的定义求解x．
【详解】（1）解：
，
；
即或；
（2）解：
．
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再合并即可；
（）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可；
本题考查了算术平方根，立方根和乘方，正确化简各数是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
18．如图，数轴的正半轴上有，，三点，表示和的对应点分别为，，点到点的距离与点到原点的距离相等．
(1)求点所表示的数．
(2)若点表示的数为，求的平方根．
【答案】(1)点表示的数为
(2)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法即可求解；
（2）将（1）中的值代入计算，再根据求一个数的平方根的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵点，分别表示，，
∴，
∴点表示的数为．
（2）解：∵点表示的数为，
∴，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的计算方法，求一个数的平方根的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．你能找出规律吗？
(1)计算：_________，_________．_________，_________．
(2)由(1)的结果猜想： _________．
(3)按照找到规律计算：
①；
②
【答案】(1)，，，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解．
（2）根据（1）的结论，即可求解．
（3）根据（2）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，；；
故答案为：，，，．
（2）解：由（1）可得，
故答案为：．
（3）解：①；
②．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
20．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ；
(2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根．
【答案】(1)2，6
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键．
（1）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程求得a，b的值，再利用平方根的意义解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：2；6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵16的平方根为，
∴的平方根为．
21．我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问顾：
(1)整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根．
【答案】(1)5，
(2)4
【分析】本题主要考查无理数的估算方法，求一个数的立方根的方法，代入求值的方法的综合，掌握以上知识，计算方法是解题的关键．
（1）根据材料提示即可求解；
（2）根据材料提示分别求出a，b的值，代入计算的值，再根据求一个数的立方根的运算方法即可求解．
【详解】（1）解：，
的整数部分是5，小数部分是．
故答案为：5，；
（2）解：的整数部分为a，且，
，
，
，
又的整数部分为b，
，
，
的立方根是4．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键．
（1）根据，计算求解即可；
（2）由题意知，；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
故答案为：；
（3）解：由题意知，．
23．探究发散：
(1)完成下列填空
①______，②______，③______，
④______，⑤______，⑥______；
(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；
(4)有理数在数轴上的位置如图．
化简：．
【答案】(1)3，0.5，6，0，，
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)
(4)
【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；
（2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；
（4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：①，②，③，
④，⑤，⑥．
故答案为：3，0.5，6,0，，；
（2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；
（3）若，则，
所以．
故答案为：；
（4）由在数轴上的位置可知，
，且，
所以
．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
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第六章 实数单元测试（能力提升卷）
（时间：90分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．实数36的平方根是（ ）
A．6 B． C． D．36
2．“a的算数平方根”表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．0.09的平方根是 B． C．1的立方根是 D．0的算术平方根是0
4．在下列实数，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
6．已知，那么的立方根为（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．已知是有理数，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（ ）．
A． B． C． D．
9．对于实数a、b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
10．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．的平方根是 ；的立方根是 ．
12．比较大小： （用“”“”“”填空）．
13．若正数m的两个平方根分别是和，则m的值为 ．
14．一个边长为的正方形的面积为，一个棱长为的立方体的体积为，则 ．
15．对于任意两个不相等的实数、，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，数轴的正半轴上有，，三点，表示和的对应点分别为，，点到点的距离与点到原点的距离相等．
(1)求点所表示的数．
(2)若点表示的数为，求的平方根．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．你能找出规律吗？
(1)计算：_________，_________．_________，_________．
(2)由(1)的结果猜想： _________．
(3)按照找到规律计算：
①；
②
20．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ；
(2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根．
21．我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问顾：
(1)整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
23．探究发散：
(1)完成下列填空
①______，②______，③______，
④______，⑤______，⑥______；
(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；
(4)有理数在数轴上的位置如图．
化简：．
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