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第三章 圆
1 圆
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1．在一个平面上，线段OA绕它的一个固定端点O旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆还可以看成是平面上到定点的______等于定长的所有点___________，定点就是______，定长就是_______．以点O为圆心的圆记作_______，读作“________”．
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一周
距离
组成的图形
圆心
半径
⊙O
圆O
2．下列条件中，能确定一个圆的是( )
A．以点O为圆心
B．以3 cm长为半径
C．以点A为圆心，3 cm长为半径
D．经过已知点M
C
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3．下列图形的四个顶点在同一个圆上的是( )
A．菱形、平行四边形
B．矩形、正方形
C．正方形、菱形
D．矩形、平行四边形
B
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4．连接圆上任意两点的________叫做弦；经过________的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做________；圆上任意一条________的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；能够________的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________．
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线段
圆心
圆弧
直径
重合
等弧
5．【教材P65图3－2变式】如图，点A，O，D与点B，O，C分别在同一条直线上，图中有_____条直径，_____条弦，以点A为端点的优弧有_____条，劣弧有_____条．
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3
3
6．【2023·佛山顺德区模拟】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
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7．【2023·杭州西湖区期末】已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
A
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8．设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d，则有：点P在⊙O外，即d ______ r；点P在⊙O上，即d ______ r；点P在⊙O内，即d ______ r.
＞
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＝
＜
9．【教材P68习题T2变式】已知⊙O的半径OA长为 ，
若OB＝ ，则正确的图形可能是( )
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A
10．已知在平面直角坐标系中，P点坐标为(3,4)，若以原点O为圆心，5 cm长为半径画圆，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．不能确定
B
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11．【2023·上海黄浦区期末】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是( )
A．r＝1 B．r＝3
C．r＝5 D．r＝7
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B
【点拨】连接AD交⊙A于E，如图．
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝
则DE＝AD－AE＝5－3＝2.
∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝7－3＝4.
∵⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，∴2
只有选项B符合题意，故选B.
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12．【2023·苏州改编】如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E，∠A＝∠BOE.设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若 ，则tan ∠ACO的值为( )
A
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【点拨】如图，过点C作CH⊥AO于点H，
∵∠A＝∠BOE，∴tan A＝tan ∠BOE，
设AH＝2m，则BO＝3m，∴OH＝m，
13．已知点 P 到 ⊙O 上所有点的距离中，最大距离为 7 cm，最小距离为 3 cm，那么 ⊙O 的半径长等于________cm.
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2或5
【点拨】当点P在⊙O内时，如图①，因为点 P 到 ⊙O 上所有点的距离中，最大距离为7 cm，最小距离为3 cm，所以直径是10 cm，所以半径是5 cm；
当点P在⊙O外时，如图②，因为点 P 到 ⊙O 上所有点的距离中，最大距离为7 cm，最小距离为
3 cm，所以直径是4 cm，所以半径是2 cm.
14．如图，已知MN为⊙O的直径，四边形ABCD，EFGD是正方形，点B，C，F在⊙O上，点E在CD上，点A，D，G在MN上，正方形EFGD的面积为16.⊙O的半径r为________．
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【点拨】连接OB，OC，OF.
易证Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD＝ AD.
∵正方形EFGD的面积为16，∴DG＝FG＝4.
设AD＝2x，则OD＝x.∵CO2＝DO2＋CD2，
∴r2＝x2＋(2x)2.
∵OF2＝OG2＋FG2，∴r2＝(x＋4)2＋42＝x2＋8x＋32.
∴x2＋(2x)2＝x2＋8x＋32，解得x1＝4，x2＝－2(舍去)．
∴r2＝80，则r＝4 .
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15．【2023·邵阳】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝ ，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP折叠，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为________．
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【点拨】连接AC，∵在矩形ABCD中，AD＝ ，
∴BC＝AD＝ ，
又∵AB＝2，∴AC＝
由折叠的性质得AB′＝AB＝2.
∴B′在以A为圆心，2为半径的弧上运动．
如图所示，当点P在BC上时，
则当A，B′，C三点共线时，CB′最短，
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此时CB′＝AC－AB′＝
当点P在DC上时，如图所示，此时CB′＞
当点P在AD上时，如图所示，此时CB′>
综上所述，CB′的最小值为
故答案为：
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16．【教材P68习题T1变式】如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB∶AD＝2∶1.拴住小狗的绳子一端固定在点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域(小狗的大小不计)．
(1)若拴小狗的绳子长度与AD边长相等，请在图①中画出小狗在屋外可以活动的最大区域；
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解：小狗在屋外可以活动的最
大区域如图①阴影部分所示；
16．【教材P68习题T1变式】如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB∶AD＝2∶1.拴住小狗的绳子一端固定在点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域(小狗的大小不计)．
(2)若拴小狗的绳子长度与AB边长相等，请在图②中画出小狗在屋外可以活动的最大区域．
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解：小狗在屋外可以活动的最大区域如图②阴影部分所示．
17．【学科素养·运算能力】在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
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解：连接OQ.
∵PQ∥AB，PQ⊥OP，∴OP⊥AB.
∵AB＝6，∴OQ＝OB＝3.
∵∠ABC＝30°，∴PB＝2OP.
在Rt△OBP中，PB2＝OP2＋OB2.
设OP＝x，则PB＝2x，∴(2x)2＝x2＋32，
解得x＝ (负值舍去)．∴OP＝ .
∴PQ＝
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17．【学科素养·运算能力】在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：连接OQ，由勾股定理得PQ＝
要使PQ的长取最大值，需OP的长取最小值，
此时OP⊥BC.
∵∠ABC＝30°，∴OP＝ OB＝ .
∴PQ最大＝
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第三章 圆
2 圆的对称性
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1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的________．圆是中心对称图形，对称中心为________．
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直线
圆心
2．下列语句中，不正确的是( )
A．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
C
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3．【2023·本溪】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A
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4．(1)顶点在________的角叫做圆心角．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦______；其依据是圆的__________性．
(2)在同圆或等圆中，如果两个________、两条______、两条_____中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别_______；其依据是圆的_________性．
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圆心
相等
相等
旋转不变
圆心角
弧
弦
相等
相等
旋转不变
5．如图，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC B．∠AOB
C．∠OAB D．∠OCB
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B
6．如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC的长为
( )
A．1 B. C．3 D．4
C
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7．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝________.
50°
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8．【2023·哈尔滨十七中月考】如图，AB是⊙O的直径，
，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是________．
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75°
【点拨】∵ ，∠COD＝35°，
∴∠DOE＝∠BOC＝∠COD＝35°.
∴∠AOE＝180°－∠DOE－∠BOC－∠COD＝75°.
9．【教材P104复习题T4变式】如图，在⊙O中，
，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：AD＝BE.
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证明：连接OC.
∵ ，∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
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在△COD和△COE中，
∴△COD≌△COE(AAS)．
∴OD＝OE.
又∵AO＝BO，∴AD＝BE.
10．如图，在⊙O中，∠AOB＝2∠COD，则下列关系正确的是( )
A
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11．【教材P73习题T2变式】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的有( )
①AB＝CD；②OM＝ON；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
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D
12．【2022·西安交大附中期末】如图，已知⊙O的半径等于2 cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且
，则四边形ABCD的周长等于( )
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm
B
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【点拨】如图，连接OD，OC.
∵ ，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB，
AD＝DC＝CB.∵∠AOD＋∠DOC＋∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°.∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∵⊙O的半径等于2 cm，
∴AB＝4 cm，AD＝CD＝BC＝OA＝2 cm.
∴四边形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋AB＝2＋2＋2＋4＝10(cm)．故选B.
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13．如图，OR平分锐角∠MON，以O为圆心，以任意长为半径画 ，分别交OM，OR，ON于A，B，C三点，连接BC，以C为圆心，以BC长为半径画弧与 相交于异于B点的点D，连接AD.下列结论错误的是( )
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D
A. B．若OA＝AD，则∠BOC＝20°
C．BC∥AD D．AD＝3BC
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【点拨】∵OR平分锐角∠MON，∴∠MOR＝∠NOR，∴ ，故A不符合题意．
连接OD，CD，由作图可得BC＝CD，∴
∴∠MOR＝∠NOR＝∠COD.∵OA＝AD，OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠BOC＝20°，故B不符合题意．
设AD与ON，OR的交点分别为E，F.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
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又∵∠AOF＝∠DOE，
∴∠OEF＝∠OFE＝ (180°－∠BOC)．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝ (180°－∠BOC)，
∴∠OEF＝∠OCB，∴BC∥AD，故C不符合题意．
连接AB，∵ ，∴AB＝BC＝CD，
∴AD<3BC，故D符合题意．故选D.
14．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝ x2的图象，C2是函数y＝－ x2的图象，则图中阴影部分的面积为______．
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2π
15．如图，点A是半圆上一个三等分点(靠近点N这一侧)，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O的半径为3，则AP＋BP的最小值为________．
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【点拨】如图，作点A关于直线MN的对称点C，连接CB，交MN于点P，此时PA＋PB最小，等于BC，连接OC，OA，OB.∵点A与C关于直线MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠CON＝∠AON＝60°.∵点B是 的中点，∴∠BON＝30°.∴∠COB＝∠CON＋∠BON＝90°.又∵OB＝OC＝3，∴CB＝3 .∴PA＋PB的最小值为3 .
16．如图，在⊙O中， ，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；
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证明：∵
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
又∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC＝CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
16．如图，在⊙O中， ，∠ACB＝60°.
(2)若点D是 的中点，求证：四边形OADB是菱形．
证明：如图，连接OD，
由(1)知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴∠AOB＝120°.
∵D是
∴∠AOD＝∠BOD＝ ∠AOB＝60°.
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又∵OD＝OA，OD＝OB，
∴△OAD和△OBD都是等边三角形．
∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD.
∴OA＝AD＝DB＝BO.∴四边形OADB是菱形．
17．【学科素养·推理能力】(1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是 的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD.
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证明：连接AC，BD.
∵C，D是
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD.
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
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∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
∴∠ACE＝ ×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.
∴AE＝AC.
同理可得BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.
解：成立．证明如下：
连接AC，BD.
∵C，D是
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝40°.
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(2)在(1)题中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝70°.
∵OA＝OC，∠AOC＝40°，
∴∠ACE＝ ×(180°－40°)＝70°＝∠AEC.
∴AE＝AC.
同理可得BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.(共28张PPT)
第三章 圆
*3 垂径定理
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1．垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的两条弧；其依据是圆的________性质．
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平分
平分
轴对称
2．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，则下列结论中错误的是( )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C. D．△OCE≌△ODE
B
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3．如图，线段CD是圆O的直径，CD⊥弦AB于点E，若AB的长为8，OE的长为3，则圆O的半径为( )
A．4 B．5 C．6 D．10
B
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4．【教材P77习题T3改编】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
(1)求证：AC＝BD；
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证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
4．【教材P77习题T3改编】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
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解：如图，连接OA，OC.
由(1)可知OE⊥AB，∴OE＝6.
5．平分弦(不是直径)的直径________于弦，并且________弦所对的弧；平分弧的直径__________弧所对的弦．其依据是圆的__________性质．
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垂直
平分
垂直平分
轴对称
6．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列结论错误的是( )
A. B．OE＝BE
C．CA＝DA D．AB⊥CD
B
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7．【2023·宜昌】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
B
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8．【立德树人·坚定文化自信】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图①，点P表示筒车的一个盛水桶．如图②，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，10 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为16 m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为________m.
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4
9．【教材P75例题变式】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即 )，点O是这段弧所在圆的圆心．C是 上的点，OC⊥AB，垂足为点M.若AB＝12 m，CM＝2 m，则⊙O的半径为________m.
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10
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【点拨】如图，连接OA，设⊙O的半径为r m，则OA＝OC＝r m．∵CM＝2 m，∴OM＝OC－CM＝(r－2)m.
∵OC⊥AB，AB＝12 m，∴AM＝BM＝ AB＝6 m．
在Rt△AOM中，OA2＝OM2＋AM2，即r2＝(r－2)2＋62，解得r＝10，即⊙O的半径为10 m.
10．如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则BD的长为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
B
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11．【2023·华南师大附中期末】如图，点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A坐标为( )
A．(－5，－6) B．(4，－6)
C．(－6，－4) D．(－4，－6)
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D
【点拨】过点A作AB⊥NM于点B，连接AM.
∵AB过圆心A，∴MB＝NB.
∵半径为5的⊙A与y轴相交于点M(0，－3)，N(0，－9)，
∴AM＝5，OM＝3，ON＝9.∴MN＝9－3＝6.
∴BM＝ MN＝3.∴OB＝3＋3＝6.
由勾股定理得AB＝ ＝4，
∴点A的坐标为(－4，－6)．故选D.
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12．【2022·安徽】已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝( )
A. B．4 C. D．5
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【点拨】如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7.∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA＋PB＝10.
∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝5. ∴PC＝PB－BC＝1.
在Rt△OBC中，根据勾股定理得OC2＝OB2－BC2＝72－52＝24.
在Rt△OPC中，根据勾股定理得OP＝
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【点拨】过点O作OE⊥AB于点E，直线OE交CD于点F，
连接OA，OC.
有两种情况：如图①，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD.
13．【2023·南阳宛城区期末】⊙O的半径为10 cm，弦AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则AB，CD间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm
C．6 cm或8 cm D．2 cm或14 cm
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D
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∴∠OEA＝∠OFC＝90°.∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，
∴AE＝BE＝8 cm，CF＝DF＝6 cm.
由勾股定理可得OE＝
OF＝ ＝8(cm)，
∴EF＝OE＋OF＝6＋8＝14(cm)．
如图②，EF＝OF－OE＝8－6＝2(cm)．
综上所述，AB，CD间的距离是2 cm或14 cm.故选D.
14．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
【点拨】连接OD，如图．∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°.∴CD＝
当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时C为AB中点，D，B两点重合，
∴CD的最大值为
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15．如图，BC为⊙O的直径，AB＝8，AC＝6，点D为AB的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，连接CE交AB于点F，则CF∶EF等于________．
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【点拨】∵点D为AB的中点，∴OE⊥AB，AD＝BD.
∴∠ADE＝90°.∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线．∴AC∥DO，OD＝ AC＝3.
∴∠A＝∠ADE＝90°.∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝10.
∴OE＝5.∴DE＝5－3＝2.
∵∠AFC＝∠DFE，∠A＝∠ADE，∴△DEF∽△ACF.
∴
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16．如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.求证：
(1)AB是过M点的所有弦中最短的弦；
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证明：设CD为过M点的任意一条不与AB重合的弦，作ON⊥CD，垂足为点N，连接OB，OC，如图所示．
由垂径定理得AB＝2BM，CD＝2CN.
设OB＝OC＝R，
在Rt△BOM中，BM＝
在Rt△CON中，CN＝
∵OM，ON分别是Rt△MON的斜边、直角边，
∴OM>ON.∴R2－OM2∴AB＜CD，即AB是过M点的所有弦中最短的弦．
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16．如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.求证：
(2)经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
证明：由(1)得CD＝2CN＝2 ，则ON越小，CD越长，
且当ON＝0时，CD＝2R，此时CD经过线段OM，
∴经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
17．【学科素养·模型观念】【2022·遵义】数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得出如下信息：
信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图，赤道半径OA约为6 400 km，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度．(参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为________km.
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33 792
【点拨】如图，过点O作OK⊥BC于点K，则∠BKO＝90°.
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，∴∠B＝∠AOB＝28°.
在Rt△BOK中，OB＝OA≈6 400 km，
∴BK＝OB·cos B≈6 400×0.88＝5 632(km)．
∴北纬28°纬线的长度为2 π·BK≈2×3×5 632
＝33 792(km)．
【思路点拨】过点O作BC的垂线，建立垂径定理的几何模型，进而得解．
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第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理
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1．顶点_________，两边分别与圆还有另一个________，这样的角叫做圆周角．
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在圆上
交点
2．下图中，∠α为圆周角的是( )
C
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3．在⊙O中，A，B是圆上任意两点，则 所对的圆心角有______个，所对的圆周角有______个；弦AB所对的圆心角有________个，所对的圆周角有________个．
1
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无数
1
无数
4．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________．
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一半
5．【2023·吉林】如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是( )
A．70° B．105°
C．125° D．155°
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D
6．【2023·承德双桥区模拟】如图，圆周角∠A＝30°，弦BC＝3，则圆O的直径是( )
A．3 B．3.3 C．6 D．6.3
C
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7．圆周角定理的推论：__________或__________所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．
同弧
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等弧
相等
8．如图，在⊙O中，点A是 的中点，若∠ADC＝
24°，则∠AOB的度数为( )
A．12° B．24° C．36° D．48°
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D
9．【2023·日照东港区期末】如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( )
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D
10．【2023·广元二模】如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠BAC＝70°，∠ACD＝50°，连接OE，若E为AC中点，那么∠OEB的度数为________．
30°
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【点拨】∵∠ACD＝50°，∴∠ABE＝50°.在△ABE中，∠AEB＝180°－∠ABE－∠BAC＝180°－50°－70°＝60°.
∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，即∠OEA＝90°，
∴∠OEB＝90°－60°＝30°.
11．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是 的中点，BD交AC于点E.
(1)求证：AD2＝DE·BD.
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证明：∵D是
∴∠DBC＝∠ABD.
∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAC＝∠ABD.
∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD.
∴ . ∴AD2＝DE·BD.
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11．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是 的中点，BD交AC于点E.
(2)若点F是 上一点，且∠BOF＝2∠ABD，求证：
证明：连接AF，则∠BOF＝2∠BAF.
∵∠BOF＝2∠ABD，∴∠BAF＝∠ABD.
12．【2023·武汉实验中学模拟】如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∠AEC＝60°， AB＝4 ，则半径OB＝( )
A．2 B．2 C．2 D．4
D
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【点拨】连接BD.∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴BF＝
∴∠AEC＝∠ODB.
∵∠AEC＝60°，∴∠ODB＝∠AEC＝60°.
又∵OD＝OB，∴△BOD是等边三角形．∴OB＝BD.
在Rt△BFD中， ＝sin 60°，
∴ ，解得BD＝4.∴OB＝4.
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13．【一题多解】【2023·烟台】如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为________．
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52.5°
【点拨】方法一：连接OB，OD，
如图，由题意可得∠BOD＝155°－50°
＝105°，根据圆周角定理，
知∠BAD＝ ∠BOD＝ ×105°＝52.5°.
方法二：
如图，连接OA，OB，OD，
由题意可得OA＝OB＝OD，∠AOB＝50°－25°＝25°，∠AOD＝155°－25°＝130°，
∴∠OAB＝ (180°－∠AOB)＝77.5°，
∠OAD＝ (180°－∠AOD)＝25°，
∴∠BAD＝∠OAB－∠OAD＝52.5°.
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14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为________．
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5
15．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥弦AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.
(1)求证：AM＝BM；
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证明：∵直径DE⊥弦AB于点F，∴AF＝BF.
∴AM＝BM.
15．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥弦AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.
(2)若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．
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解：连接AO，BO.由(1)可得AM＝BM.
∵AM⊥BM，∴∠MAF＝∠MBF＝45°.
∴∠BMF＝45°. ∴∠CMN＝∠BMF＝45°.
∵AO＝BO，DE⊥AB，
∴∠AOF＝∠BOF＝ ∠AOB.
∵∠N＝15°，∴∠ACM＝∠CMN＋∠N＝60°，
即∠ACB＝60°.
∵∠ACB＝ ∠AOB，∴∠AOF＝∠ACB＝60°.
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∴∠OAB＝30°. ∵DE＝8，∴AO＝4.
在Rt△AOF中，OF＝ OA＝2，由OF2＋AF2＝OA2，
得AF＝2 .
在Rt△AMF中，AM＝ AF＝2 ，∴BM＝2 .
在Rt△ACM中，∠CAM＝90°－∠ACB＝30°，
∴CM＝ AC.
由勾股定理得AC2－CM2＝AM2，求得CM＝2 .
∴BC＝CM＋BM＝
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16．【立德树人·坚定文化自信】阅读以下材料：
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，其中1尺＝
10寸，求出直径CD的长．
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解题过程如下：
连接OA，设OA＝r寸，则OE＝r－CE＝(r－1)寸．
∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝ AB＝5寸．
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，即r2＝52＋(r－1)2，
解得r＝13，
∴CD＝2r＝26寸．
解：连接OA，设OA＝r寸，则OE＝DE－r＝(25－r)寸．
∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝ AB＝5寸．
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，即r2＝52＋(25－r)2，
解得r＝13，∴CD＝2r＝26寸．
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任务：
(1)上述解题过程运用了_______定理和______定理．
(2)若原题改为已知DE＝25寸，AB＝1尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长．
垂径
勾股
【点拨】连接OA，OB.
∵AB⊥CD，AE＝OE，∴△AEO是等腰直角三角形．
∴∠AOE＝45°. 易得∠AOB＝2∠AOE＝90°.
∴当弦AB所对圆周角的顶点在 上时，度数为 ∠AOB
＝45°，当弦AB所对圆周角的顶点在 上时，
度数为 (360°－∠AOB)＝135°.
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(3)若原题改为已知AE＝OE，则弦AB所对圆周角的度数为_____________．
45°或135°(共28张PPT)
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________的圆周角所对的弦是直径．
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直角
90°
2．【教材P83随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
C
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3．【2023·广东】如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝( )
A．20° B．40° C．50° D．80°
B
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4．【2023·南充】如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是________．
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4
5．四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的________．圆内接四边形的对角________．
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外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
B
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7．【2023·绍兴】如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是________．
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80°
8．【2023·南京玄武区期末】如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
(1)求证：∠DAB＝∠DCE；
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证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAB＋∠DCB＝180°.
∵∠DCE＋∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCE.
8．【2023·南京玄武区期末】如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
(2)若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
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解：∵∠DAB＝60°，∴∠DCE＝60°.
∵∠ACB＝70°，
∴∠ACD＝180°－60°－70°＝50°.
∴∠ABD＝∠ACD＝50°.
9．【2022·自贡】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是( )
A．90° B．100°
C．110° D．120°
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C
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，P是半径OC上的一个动点，连接PD，PB，则∠DPB的大小可能为( )
A．40° B．80° C．110° D．130°
B
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【点拨】连接OB，OD.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，
∴∠DCB＝180°－130°＝50°.
由圆周角定理得，∠DOB＝2∠DCB＝100°，
∴∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即50°≤∠BPD≤100°.
∴∠BPD可能为80°.
故选B.
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11．如图，⊙A过点O(0，0)，C( ，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
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B
12．【2022·泰安】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )
D
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【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO.
∴AE＝AD＝2.
∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.
在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
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13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
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【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形，
∴BD是⊙O的直径，
∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝
∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为
又∵矩形的面积为3×4＝12，
∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
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证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC.
解：由(1)知∠ADC＝∠ABC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∴∠A＝180°－∠ABC－∠E＝180°－90°－42°＝48°.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F.
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
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14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F.
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
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解：如图，连接EF.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2.
∵∠A＋∠1＋∠2＋∠AEB＋∠AFD＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°.
∴∠A＝90°－
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15．【学科素养·推理能力】同学们，圆中很多综合问题的解决需要我们熟练掌握一些常用的辅助线和有关结论，请先认真、仔细地完成下面的问题(1)和问题(2)，再运用这两个问题的方法和结论解决相关综合问题．
(1)在圆中，“两条平行弦所夹的弧相等”这一重要结论大家已经知晓，这个结论的证明方法较多，请你依据有关圆的性质完成这一结论的证明过程．如图①，
在⊙O中，弦AB∥CD，求证：
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证明：如图①，连接AD.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.∴
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(2)在圆中，依据“直径所对的圆周角是直角”来构造“直角三角形”是常用的辅助线．如图②，⊙O的半径为2，弦AB＝3，若点C在优弧AB上，则cos C的值为________．
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【点拨】如图②，作直径AD，连接BD，
∴∠ABD＝90°，AD＝4.
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题：
(3)如图③，⊙O的直径为 ，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
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解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF.
∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
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第三章 圆
5 确定圆的条件
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1．确定一个圆的两个基本条件为________和________．过一个已知点能作________个圆；过两个已知点能作无数个圆，且圆心必在这两点连线的垂直平分线上；过同一直线上的三点的圆不存在，不在同一直线上的三个点确定________个圆．
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圆心
半径
无数
一
2．【2023·江西】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
D
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3．【教材P88习题T2变式】已知线段AB＝6 cm，则过A，B两点的最小圆的半径为______cm，过A，B两点________(填“有”或“无”)最大圆．
3
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无
4．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，外接圆的圆心是三角形三边____________的交点，叫做三角形的__________．
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外接圆
垂直平分线
外心
5．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是( )
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
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C
6．【2022·邵阳】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是( )
C
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7．【2023·天津南开区期末】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点(两条网格线的交点叫做格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为( )
A．(－1，－1) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(－2，－2)
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C
8．【教材P87习题T1变式】小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
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解：如图所示，⊙O即为
所求作的圆形花坛的位置．
8．【教材P87习题T1变式】小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(2)在△ABC中，AC＝4 m，∠ABC＝45°，试求小明家圆形花坛的半径长．
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解：如图，连接AO，CO.
∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝45°×2＝90°.
∴AO2＋ CO2＝ AC2.
∵AO＝CO，AC＝4 m，∴2AO2＝42，∴AO＝2 m，
即小明家圆形花坛的半径长为2 m.
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9．【教材P88习题T4变式】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．① B．② C．③ D．④
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A
10．【2022·十堰】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)．下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA＋DC＝DB.其中一定正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
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【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°.
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°.
∴∠ADB＝∠BDC，故①正确．
∵点D是弧AC上一动点，∴ 不一定相等．
∴DA与DC不一定相等，故②错误．
当DB最长时，DB为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.
∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°.
∴DB＝2DC，故③正确．
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如图，延长DA至点E，使AE＝DC.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°.∵∠BAE＋∠BAD＝180°，∴∠BAE＝∠BCD.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CBD.∴BD＝BE，∠ABE＝∠DBC.∴∠ABE＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD＝∠ABC＝60°，即∠DBE＝60°.∴△BDE是等边三角形．∴DE＝BD.
∵DE＝AD＋AE＝AD＋CD，∴DA＋DC＝DB，
故④正确．∴正确的有①③④，共3个．
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11．【2022·玉林】如图，在5×7的网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来：__________________________.
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△ABD，△ACD，△BCD
12．如图，在△ABD中，AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD.延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED.
(1)若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数．
解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠CAD.
∵∠CAD＝∠CBD＝40°，∴∠BAD＝80°.
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12．如图，在△ABD中，AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD.延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED.
(2)求证：点C是△BDE的外心．
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证明：∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE.
∴ .∴BC＝CD.
∵∠CBD＝∠CAD，∠CBE＝∠CBD＋∠DBE，∠BEC＝∠BAC＋∠ABE，
∴∠CBE＝∠BEC.∴BC＝EC. ∴BC＝EC＝DC.
∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上．
∴点C是△BDE的外心．
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13．如图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，如图②，点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
(1)当PF⊥AC时，求证：△AFE∽△ABC；
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证明：∵PF⊥AC，∴∠AFP＝90°.
由折叠的性质可知∠AFE＝∠PFE＝ ∠AFP＝45°，
∴∠AFE＝∠B.
又∵∠A＝∠A，∴△AFE∽△ABC.
13．如图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，如图②，点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
(2)当PE经过△ABC的外心时，求∠FPC的度数．
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解：连接BP.∵PE经过△ABC的外心，点E是AB的中点，∴PE⊥AB，AE＝BE，
∴∠BEP＝90°.由折叠的性质可知PE＝AE，∴PE＝BE.∴∠EBP＝∠EPB＝45°.
∵∠ABC＝45°，∴点P在BC上．∵∠EPF＝∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝75°，
∴∠FPC＝180°－∠EPB－∠EPF＝60°.
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14．【学科素养·运算能力】如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．
(1)求抛物线的函数表达式．
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解：把点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，
【思路点拨】(2)作△ABC的外接圆，此圆与对称轴在x轴下方的交点Q即为所求．
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14．【学科素养·运算能力】如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．
(2)在x轴下方且在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
解：存在．
由题易知点Q为△ABC的外接圆与抛物线的对称轴在x轴下方的交点．
作出△ABC的外接圆，如图所示．
设△ABC的外接圆圆心为M，连接BM.
易知线段AC的垂直平分线为直线y＝－x，线段AB的垂直平分线为直线x＝1，
∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M(1，－1)．
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第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
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1．填写下表：
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直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数
圆心到直线的距离d
与半径r的关系
2
1
0
dd＝r
d>r
2. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
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3．【教材P91随堂练习T1变式】已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的公共点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
C
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4．【荣德原创题】在平面直角坐标系xOy中，以点A(3，4)为圆心，4为半径的圆一定( )
A．与x轴相交，与y轴相交
B．与x轴相交，与y轴相切
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相切
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C
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
(1)斜边AB上的高为________；
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【点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
(2)以点C为圆心，r为半径作⊙C：
①若直线AB与⊙C没有公共点，则r的取值范围为________；
②若边AB与⊙C有两个公共点，则r的取值范围为________；
③若边AB与⊙C只有一个公共点，则r的取值范围为______．
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【点拨】①若直线AB与⊙C没有公共点，则直线AB与⊙C相离，则r的取值范围是0或36．圆的切线________于过切点的半径；圆心到切线的距离________半径．
垂直
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等于
7．【2022·自贡】P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为( )
A．5 B．5 C．8 D．9
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A
8．【2023·石家庄新华区月考】以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零度刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是________．
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35°
9．【2023·无锡】如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E.过点D的圆O的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD.
(1)求∠F的度数；
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解：如图，连接OD.
∵FD为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°.
∵DF∥AB，∴∠AOD＝90°.
∵ ，∴∠ACD＝ ∠AOD＝45°.
∵CF＝CD，∴∠F＝ ×(180°－∠ACD)＝67.5°.
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9．【2023·无锡】如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E.过点D的圆O的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD.
(2)若DE·DC＝8，求⊙O的半径．
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解：如图，连接AD，
∵AO＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°.
∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD.
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴ ，即DA2＝DE·DC＝8，∴DA＝2 ，
∴OA＝OD＝ AD＝2，即⊙O的半径为2.
10．【2023·重庆】如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2 ，BC＝3，则OC的长度是( )
A．3 B．2 C. D．6
C
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11．【2023·长沙】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为________．
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12．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．
24
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【点拨】设C ，∵⊙A与x轴相切于点B，∴BC⊥x轴，∴OB＝a，BC＝ ，∴点D到BC的距离为a.
∵CB为⊙A的直径，∴AC＝
∴S△ACD＝
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
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解：边CD所在直线与⊙O相切．理由如下：
如图，连接AP，过点O作OH⊥AB于点H，HO的延长线交CD于点E.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°.
∴AP是直径，AP＝
∵OH⊥AB，∴AH＝BH.
∵OA＝OP，AH＝HB，∴OH＝
易知四边形AHED是矩形，∴OE⊥CD，EH＝AD＝4.
∴OE＝EH－OH＝4－ .∴OE＝OP.
∴直线CD与⊙O相切．
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14．【学科素养·推理能力】在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上
滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，
点B恰好落在⊙O上，如图②..
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(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；
【思路点拨】连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换求解即可；
证明：如图，连接OP，设直线ON与⊙O上面的交点为C，则OP＝OB＝OC.
∵AP与⊙O相切于点P，∴∠APO＝90°.
∴∠PAO＋∠AOP＝90°.
∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°. ∴∠PAO＝∠POC.
∵∠POC＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO.
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【思路点拨】作出相关辅助线，构造相似三角形Rt△POD与Rt△OAP，利用相似三角形的性质求得PD，OD，最后根据勾股定理求解即可．
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(2)若⊙O的半径为5，AP＝ ，求BP的长．
解：如图，过点P作PD⊥OC于点D，则∠PDO＝90°.
在Rt△AOP中，AO＝
由(1)知∠POC＝∠PAO.又∵∠PDO＝∠APO＝90°，
∴Rt△POD∽Rt△OAP.
∴
解得PD＝3，OD＝4.
∴BD＝OB＋OD＝5＋4＝9.
∴在Rt△BDP中，BP＝
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第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定
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1．切线的判定定理：过半径外端且__________于这条半径的直线是圆的切线．
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垂直
2．下列直线中，一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．与圆心的距离等于半径的直线
D．经过圆的直径一端的直线
C
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3．【教材P93习题T1变式】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
A
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4．【2023·广西】如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
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证明：∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA.
∵PO平分∠APD，OB⊥PD，
∴OA＝OB，∴PB是⊙O的切线．
解：∵⊙O的半径为4，∴OA＝OB＝4.
∵OB⊥PD，OC＝5，
∴BC＝ ＝3，AC＝OA＋OC＝4＋5＝9.
∵∠BCO＝∠ACP，∴tan ∠BCO＝tan ∠ACP，
∴
4．【2023·广西】如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.
(2)若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
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5．和三角形三边都________的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是___________________的交点，叫做三角形的________．________到三角形三边的距离相等．
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相切
三角形三条角平分线
内心
内心
6．【教材P93习题T2变式】如图，在△ABC中，点I为三角形的内心，若∠A为50°，则∠BIC的度数为( )
A．65° B．70° C．115° D．125°
C
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7．如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )
A．DI＝DB B．DI>DB
C．DIA
【点拨】如图，连接BI.
∵△ABC的内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2.
∵∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，∴∠4＝∠DBI. ∴DI＝DB.
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8．如图，边长为2 的等边三角形ABC的内切圆的半径为________．
1
【点拨】连接AO，CO，CO的延长线交AB于H，如图．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC.
∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，
AH＝BH＝ ，∴∠OAH＝30°，点H为切点．
在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝ ＝tan 30°，
∴OH＝ ＝1，即△ABC内切圆的半径为1.
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9．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是切线的是( )
A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECF
C．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60°
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C
10．【2023·潍坊一中期末】如图，点I为△ABC的内切圆的圆心，连接BI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接AD，AI，若BD＝7，AD＝5，则BI的长为( )
A．1 B．2 C．2.5 D．3.5
B
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【点拨】∵点I为△ABC的内切圆的圆心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC.
∴∠IAB＝∠IAC，∠IBA＝∠IBC.∵∠IAD＝∠IAC＋∠DAC，∠AID＝∠IAB＋∠IBA，∠DAC＝∠DBC，∴∠IAD＝∠AID.∴ID＝AD＝5.∴BI＝BD－ID＝7－5＝2.故选B.
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11．【2023·山东】在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是( )
A．1B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r<1
D．当AB＝ 时，△ABC是直角三角形
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C
【点拨】∵BC＝3，AC＝4，∴4－3∵1，故C说法错误；当AB＝ 时，BC2＋AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，故D说法正确．故选C.
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12．【2023·无锡锡山区模拟】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，点I为△ABC的内心，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为________．
7
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【点拨】连接BI，CI，如图所示．
∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.
∴∠ABI＝∠CBI.由平移得AB∥DI，∴∠ABI＝∠BID.∴∠CBI＝∠BID.∴BD＝DI.
同理可得CE＝EI.∴△DIE的周长＝DE＋DI＋EI＝DE＋BD＋CE＝BC＝7，即图中阴影部分的周长为7.
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，点F在PC上，连接AF，OF.易证命题“若AF是⊙O的切线，则OF∥BC”是真命题．
(1)请写出该命题的逆命题：
_____________________________；
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若OF∥BC，则AF是⊙O的切线
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，点F在PC上，连接AF，OF.易证命题“若AF是⊙O的切线，则OF∥BC”是真命题．
(2)判断(1)中的命题是否为真命题，并说明理由；
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解：是真命题．理由如下：如图，连接OC.
∵OF∥BC，∴∠1＝∠2，∠B＝∠3.
∵OC＝OB，∴∠B＝∠1.
∴∠3＝∠2.在△OAF和△OCF中，
∴△OAF≌△OCF(SAS)．∴∠OAF＝∠OCF.
∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°.
∴∠OAF＝90°，即FA⊥OA.∴AF是⊙O的切线．
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13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，点F在PC上，连接AF，OF.易证命题“若AF是⊙O的切线，则OF∥BC”是真命题．
(3)若⊙O的半径为4，AF＝3，且OF∥BC，求AC的长．
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解： ∵⊙O的半径为4，AF＝3，∠OAF＝90°，
∴OF＝
∵OA＝OC，∠2＝∠3，∴OF⊥AC.∴AC＝2AE.
∵△OAF的面积＝
∴3×4＝5×AE，解得AE＝ .
∴AC＝2AE＝ .
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14．【学科素养·创新意识】【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线MN接近球门AB，他在哪里射门时射门角度最大？
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【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门AB的张角∠APB时，在MN上取一点Q，过A，B，Q三点作圆，发现直线MN与该圆相交或相切．如果直线MN与该圆相交，如图①，那么球员P由M向N的运动过程中，∠APB的大小________．(填序号)
①逐渐变大；②逐渐变小；
③先变大后变小；④先变小后变大．
③
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线MN与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时∠APB最大，如图②，试证明他们的发现．
证明：如图①所示，在MN上任取一点G(不与Q重合)，连接AG交△ABQ的外接圆于H，连接BG，BH，
∴∠AHB＝∠AQB.
∵∠AHB＝∠AGB＋∠GBH，
∴∠AGB<∠AHB，即∠AGB<∠AQB.
∴MN上异于点Q的其他所有点对AB的张角∠APB都小于∠AQB.
∴球员P运动到切点Q时∠APB最大．
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【实际应用】如图③，某球员P沿垂直于AB方向的路线MN带球，请用尺规作图在MN上找出球员P的位置，使∠APB最大(不写作法，保留作图痕迹)，并说明理由．
解：如图②所示，点P即为所求．
理由如下：连接OP，设AB的垂直平分线CD交
AB于点E，MN⊥直线AB于点F.∵OE⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥OE.∵EF⊥MN，∴EF的长度是两条平行线间的距离．∵OP＝EF，∴OP的长度也是这两条平行线间的距离．∴OP⊥MN.∴直线MN与⊙O相切，∴由“猜想验证”可知，当直线MN与⊙O相切于点P时，∠APB最大．
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第三章 圆
*7 切线长定理
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1．过圆外一点画圆的切线，________和________之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点画圆的______条切线，它们的切线长__________．
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这点
切点
两
相等
2．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝8 cm，则△PFG的周长是( )
A．8 cm B．12 cm C．16 cm D．20 cm
C
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3．【教材P96习题T3变式】【2022·眉山】如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为( )
A．28° B．50° C．56° D．62°
C
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4．【2023·武汉】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若 ，则sin C的值是( )
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B
【点拨】如图所示，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE，
易得∠FAD＝∠ADC＝∠F＝90°，∴四边形ADCF为矩形，
∴AF＝DC，AD＝FC，易得AB为⊙D的切线．
∵BE为⊙D的切线，∴DE⊥BC，AB＝BE.
∵ ，∴设AB＝BE＝a，则CD＝3a，
∴BF＝AF－AB＝CD－AB＝2a，设CE＝x，
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则BC＝BE＋CE＝a＋x.
在Rt△DEC中，DE2＝CD2－CE2＝9a2－x2.
在Rt△BFC中，FC2＝BC2－BF2＝(a＋x)2－(2a)2.
∵DE＝DA＝FC，∴9a2－x2＝(a＋x)2－(2a)2，
解得x＝2a或x＝－3a(不合题意，舍去)，
∴CE＝2a，∴DE＝
∴sin C＝ ，故选B.
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5．【2022·衡阳】如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
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解：直线BE与⊙O相切．
理由：连接OD，如图所示．
∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°.
∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB.
∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.
又∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．
∴∠OBE＝∠ODE＝90°.
又∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
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5．【2022·衡阳】如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
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解：设⊙O的半径为r.
在Rt△DOC中，OD2＋DC2＝OC2，
∴r2＋42＝(r＋2)2，解得r＝3. ∴AB＝2r＝6.
∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8.
由切线长定理得DE＝BE.
在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝(4＋DE)2，
即64＋DE2＝(4＋DE)2，解得DE＝6.
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6．如果四边形的四条边都与圆________，我们把这个四边形叫做圆的外切四边形，把这个圆叫做这个四边形的内切圆．圆外切四边形的两组__________相等．
相切
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对边的和
7．【2023·中山六中模拟】如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
D
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【点拨】∵相邻的三条边的比为2?5?6，
∴设此三边的长分别为2x，5x，6x.根据圆外切四边形的性质得，第四条边的长为2x＋6x－5x＝3x.
∵圆外切四边形的周长为32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝32，
∴x＝2.∴2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6，即此四边形各边的长分别为4，10，12，6.
8．圆外切四边形的周长为32，相邻的三条边的比为2∶5∶6，则此四边形各边的长分别为______________．
4，10，12，6
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9．如图，⊙O的半径为3，外切四边形ABCD中，AB＝5，CD＝3，则S四边形ABCD＝________.
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【点拨】如图，作圆心到各边的垂线，垂足分别为E，F，G，S，即E，F，G，S为切点．∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD＋BC＝AB＋CD＝8.
∴S四边形ABCD＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△DOA
＝ AB×OG＋ BC×OF＋ CD×OE＋ AD×OS
＝ (AB＋BC＋CD＋AD)×OG＝ ×(8＋8)×3＝24.
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第三章 圆
8 圆内接正多边形
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1．顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆_____________．这个圆叫做该正多边形的________圆．
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的_______，外接圆的半径叫做正多边形的_______，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的_________，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的__________．
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内接正多边形
外接
中心
半径
中心角
边心距
2．【2023·无锡】下列命题：
①各边相等的多边形是正多边形；
②正多边形是中心对称图形；
③正六边形的外接圆半径与边长相等；
④正n边形共有n条对称轴．
其中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
C
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3．(1)正n边形的每个内角都等于_______________；
(2)正n边形的每个中心角都等于________；
(3)正n边形的每个外角都等于________；
(4)正多边形的半径R和边长a、边心距r之间的数量关系是R2＝r2＋
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4．一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是( )
A．3 B．6 C．8 D．12
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D
5．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( )
A．互余 B．互补
C．互余或互补 D．不能确定
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B
【点拨】如图，过O作OC⊥AB于C.
∵正九边形的中心角为 ＝40°，OA＝OB＝R，
∴∠AOC＝∠BOC＝20°，AC＝BC＝ AB. ∴sin 20°＝
则AC＝R·sin 20°.∴AB＝2AC＝2R·sin 20°.故选C.
6．【2023·杭州上城区期末】如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为( )
A．Rsin 20° B．Rsin 40°
C．2Rsin 20° D．2Rsin 40°
C
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7．【2023·邢台金华中学期末】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则正六边形的边心距(OM的长)是( )
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A
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【点拨】连接OB，OC，如图．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝360°× ＝60°.
∵正六边形的周长是12，∴BC＝12× ＝2.
∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形．
∴OC＝BC＝2.∵OM⊥BC，∴CM＝ BC＝1.
在Rt△OCM中，根据勾股定理可得OM＝ .故选A.
8．【2022·绥化】如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为________度．
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9．【2023·杭州】如图，正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则 ＝________.
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2
10．由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的__________就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
圆心角
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11．如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
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解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
12．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB，CD相交于G，H(如图)．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB，BC，CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是( )
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
D
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【点拨】如图，连接OA，OC.
易知∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA.
在△OHC和△OGA中，
∴△HOC≌△GOA(ASA)．∴AG＝CH，S△HOC＝S△GOA.
∴S阴影＝S四边形OABC＝定值，
l＝GB＋BC＋CH＝AG＋BG＋BC＝2BC＝定值，故选D.
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13．【学科素养·模型观念】小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一张正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB长为，AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋ AB＝
________.(不能用三角函数表达式表示)
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【点拨】如图，连接OF，OE.易知AB⊥EF，EF＝2BE.
S五边形＝5×S△OEF＝5×(EF×OB× )＝2.5×
连接AE，S五边形＝2×S四边形ABED＝2×(S△ABE＋S△ADE)
＝
＝AB×BE＋2×BE×AC＝BE×(AB＋2AC)②.
比较①与②，得5 BE＝BE×(AB＋2AC)，
∴AB＋2AC＝5
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14．【数学文化】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为Δn，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则Δ8－Δ12的值为________．
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【点拨】如图①，图②，过点A作AC⊥OB于点C，过点D作DF⊥O′E于点F.
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15．【教材P98读一读变式】【2022·金华】如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：如图②.1.作直径AF.2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.3.连接AM，MN，NA.
(1)求∠ABC的度数．
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解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝
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15．【教材P98读一读变式】【2022·金华】如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：如图②.1.作直径AF.2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.3.连接AM，MN，NA.
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
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解：△AMN是正三角形．理由如下：
如图，连接ON，NF.
由题意可得FN＝OF＝ON，∴△FON是等边三角形．
∴∠NFA＝60°. ∴∠NMA＝60°.
同理可得∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°.
∴∠MAN＝∠NMA＝∠ANM.
∴△AMN是正三角形．
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15．【教材P98读一读变式】【2022·金华】如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：如图②.1.作直径AF.2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.3.连接AM，MN，NA.
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些点，得到正n边形，
求n的值．
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解：如图，连接OD.
∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°.
∵∠AOD＝ ×2＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD－∠AON＝144°－120°＝24°.
∴360°÷24°＝15，即n的值是15.
16．【学科素养·几何直观】如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)试求图①中∠MON的度数；
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解：连接OB，OC.
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠BOC＝120°.
∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠OBM＝30°＝∠OCN.
又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN(SAS)．
∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON＝∠BOM＋∠BON
＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.
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16．【学科素养·几何直观】如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(2)猜想图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
90°
72°
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16．【学科素养·几何直观】如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(3)探究∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案即可)．