2022-2023学年浙江省杭州十一中高一（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年浙江省杭州十一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.有下列四种叙述：
用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
棱台的侧棱延长后必交于一点．
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.设函数，则的奇偶性( )
A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
4.已知，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
5.对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是( )
A. 若且，则
B. 若，且，则
C.
D.
6.在和中，若，，，则( )
A. 与均是锐角三角形
B. 与均是钝角三角形
C. 是钝角三角形，是锐角三角形
D. 是锐角三角形，是钝角三角形
7.已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象若在上的最大值为，则的取值个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复数为实数的充要条件是
10.下列说法中不正确的为( )
A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则
D. 非零向量和满足，则与的夹角为
11.提鞋斜公式，也叫李善兰辅助角公式，是我国世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：，其中若，，则下列判断正确的是( )
A. 当，时， B. 当，时，
C. 当，时， D. 当，时，
12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个半径为的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是( )
A. 筒车转动的角速度
B. 当筒车旋转秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为
C. 当筒车旋转秒时，盛水筒和初始点的水平距离为
D. 筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图，，，，则这块菜地的面积为______．
14.已知，则 ______．
15.圭表如图甲是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”，当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角即大约为，夏至正午时太阳高度角即大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即的长为，则表高即的长为______注：
16.如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点若，则的值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，已知角的终边与单位圆相交于点在轴上方再以为始边，逆时针旋转交单位圆于点，若点的横坐标为．
求点的横坐标；
求线段的长度．
18.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
求的单调增区间及对称轴．
19.本小题分
已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
求实数的值；若，，求的坐标；
已知点，在的条件下，若四点构成平行四边形，求点的坐标．
20.本小题分
如图，在正中，，分别是，上的一个三等分点，分别靠近点，点，且，交于点．
用，表示；
求证：．
21.本小题分
已知的角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的面积为，，点为边的中点，求的长．
22.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
若，且外接圆半径为，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据复数的四则运算，计算即可．
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个命题：
对于：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，错；
对于：该多面体的侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，错；
对于：该六面体的侧棱延长后有可能不相交于一点，该几何体不一定为棱台，错误；
对于：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，正确．
故选：．
根据题意，由棱台的定义和结构特征分析个命题，即可得答案．
本题考查棱台的结构特征，涉及棱台、棱锥的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，
则的奇偶性与有关，与无关；
，时，为奇函数；
，时，为偶函数；
否则，为非奇非偶的函数．
故选：．
根据正弦型函数的图象与性质，知的奇偶性与有关，与无关．
本题考查了正弦型函数的奇偶性问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则，，
．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：．，不共线时，满足，得不出，A错误；
B.，，且，
，得不出，B错误；
C.根据向量数量积的运算法则，正确；
D.且与不共线时，，D错误．
故选：．
A.，与不共线时，得不出，从而得出A错误；根据条件得出，从而可判断的正误；根据数量积的运算法则可判断的正误；不共线时，可判断出的正误．
本题考查了平行向量的定义，向量数量积的运算法则，向量数量积的计算公式，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在和中，若，，，
对于：当为锐角三角形时，，，，所以、、都为锐角，即为锐角三角形，另一方面，，可得，或，即，所以为锐角或钝角，同理，为锐角或钝角，但是，，中必然有一个钝角，否则不成立，所以是钝角三角形，故A错误；
对于：当为钝角三角形时，假设为钝角，则，故，由于，不满足条件，故B错误；
对于：当为钝角三角形时，假设为钝角，则，故，由于，不满足条件，故C错误；
对于：当为锐角三角形时，则，，，所以、、都为锐角，即为锐角三角形，另一方面，，可得，或，即，所以为锐角或钝角，同理，为锐角或钝角，但是，，中必然有一个钝角，否则不成立，所以是钝角三角形，故D正确；
故选：．
直接利用三角函数的值判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
7.【答案】
【解析】解：设，则，，
，
，或舍去，
为的重心，，为的中点，
，
故选：．
设，由求出，得到为的重心，为的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．
再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，
由上，得，
当，即时，则，求得，
当，即时，由题意可得，
作出函数与的图象如图：
由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点，
则有唯一解，
综上，的取值个数为．
故选：．
利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案．
本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属较难题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，故A正确；
对于：复数的虚部为，故B错误；
对于：，所以，
则复平面内对应的点为位于虚轴，故C错误；
对于：若复数为实数，
则，
设，，若，即，所以，则复数为实数，
故复数为实数的充要条件是，故D正确．
故选：．
根据复数的乘方判断，根据复数的定义判断，根据复数的几何意义判断，根据充要条件的定义判断．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，，且与的夹角为锐角，则，
，
且与不共线，即，即，所以且，故A错误；
对于，向量，，故，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于选项C，因为，所以或或，故C错误；
对于，非零向量和满足，两边平方得，则，，
故，而，故，
所以，与的夹角为，故D项错误．
故选：．
利用平面向量数量积的坐标运算可判断选项；利用平面向量基底的定义可判断选项；由平面向量数量积的定义可判断选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断选项．
本题主要考查平面向量的数量积运算，向量的夹角，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的辅助角公式和诱导公式，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
分别讨论所在的象限，再由正切函数的诱导公式可得结论．
【解答】
解：当，时，，，在第一象限，则，故A正确；
当，时，，，在第二象限，则，故B错误；
当，时，，，在第四象限，则，故C正确；
当，时，，，在第三象限，则，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，所以，故A正确；
对于，因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，
因为，所以，
即，
所以，故B错误；
对于，由可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，
因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，
故，盛水筒和初始点的水平距离为，故C正确；
对于，因为，
所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为，故D正确．
故选：．
根据题意可知周期为秒，进而可求，根据可求解，进而得，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解．
本题主要考查三角函数的应用，考查正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解： ， ，
，
．
故答案为：
求出直观图中，，，，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是，求出平面图形的面积．
本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．
14.【答案】
【解析】解：因为，两边平方得：
所以．
所以．
故答案为：．
对两边平方求出，结合诱导公式求出答案．
本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，因为，所以，
又，
由正弦定理得，即，
解得，
故答案为：．
设，根据，得到，再利用正弦定理由求解．
本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
首先算出，然后用、表示出、，结合得，进一步可得结果．
【解答】
解：设，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：
17.【答案】解：因为在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，已知角的终边与单位圆相交于点在轴上方，
由，可得，
又因为以为始边，逆时针旋转交单位圆于点，
所以，
所以点的横坐标为．
在中，，，
所以由余弦定理可得．
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角和的余弦公式即可求解．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式，余弦定理的应用，考查了运算求解能力，转化与化归思想的运用，属于基础题．
18.【答案】解：由图可得，周期为，
所以，
因为，
所以，
根据图象可得，，
解得，，
因为，
所以，
所以；
令，
解得，
令，解得对称轴方程为：，
综上所述，单调递增区间为；对称轴方程为：．
【解析】利用最值求出，利用特殊点列方程组求出和，即可得到的解析式；
利用正弦函数的单调增区间和对称轴，以及整体代换的方法可求出的单调增区间及对称轴．
本题主要考查由三角函数图象求其解析式，考查了正弦函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：，
，，三点共线，
存在实数，使得．
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，
解得，．
．
、、、四点构成平行四边形，
．
设，则，
又，
，
解得，
点的坐标为．
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．
通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；
由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到点的坐标，即本题答案．
20.【答案】解：在正中，，分别是，上的一个三等分点，分别靠近点，点，且，交于点，
设，
则，
同理，
又由已知得，，
因为与不共线，
所以，
解得，
所以；
证明：设正边长为，
则，
由可得：，
所以，
即，
得证．
【解析】设，用表示出，然后由向量共线得方程组求解即可；
计算可得证．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
21.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，
即．
由余弦定理可得，
又，所以．
因为，
所以，
即，
又，则，所以．
所以，．
所以，
所以．
在中，由余弦定理可得，
即．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案．
22.【答案】解：，
根据正弦定理，得，
根据余弦定理，得，即，
得．
，
．
由于为锐角三角形，且，，
可得，
由正弦定理得，
可得，，
故的周长，
由于，则，
所以，
故周长的取值范围为
由，利用余弦定理得到是等边三角形，
，，，
，，
，，，
，，
，，
的取值范围为：．
【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理求得，进一步求得．
利用三角函数恒等变换和函数的性质的应用求出三角形周长的取值范围．
由，利用余弦定理得到是等边三角形，把转化为含有、的式子，即可得到的取值范围．
本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
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