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第17章 勾股定理 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．如图，在中，，若，，则的长是
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【解析】，，，
，
即的长是，
故选．
2．在中，斜边，则等于
A．20 B．100 C．200 D．144
【答案】
【解析】是直角三角形，斜边，
，
，
，
故选．
3．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是
A．13 B． C．13或 D．不确定
【答案】
【解析】设第三个数为，
是一组勾股数，
①，
解得：（不合题意，舍去），
②，
解得：，
则第三个勾股数是13．
故选．
4．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在中，，，，
则，
由题意得，
，
点表示的数是0，
点表示的数是，即，
故选．
5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、三角形的三边为，，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
、三角形的三边为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
、三角形的三边为，，，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选．
6．如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】
【解析】，，，
，
于点，
的面积，
，
，
，
是的中点，
，
．
故选．
7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则等于
A．45 B．49 C．50 D．53
【答案】
【解析】在与中，由勾股定理得，
，，
，
故选．
8．如图，钓鱼竿的长为5.4米，露在水面上的鱼线长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿转到的位置时，露在水面上的鱼线长为4.2米，则的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】由题意可知，米，米，米，
在和△中，由勾股定理得：（米，（米，
（米，
故选．
9．已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
、由，又，则，是直角三角形；
、由，又，则，不是直角三角形；
、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
故选．
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为
A．7 B．10 C．13 D．15
【答案】
【解析】设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
，
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．若一个三角形的三边长为3、、5，则使此三角形是直角三角形的的值是 4或 ．
【解析】当5是直角三角形的斜边时，，解得；
当5是直角三角形的直角边时，，解得．
故使此三角形是直角三角形的的值是4或．
故答案为：4或．
12．如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点，，都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．
【解析】由图可知，，
设的边上的高为，则．
故答案为：．
13．如图，，，，，，则 ．
【解析】，，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
14．已知的边，周长为16，当为等腰三角形时，则边的长度是 6或4或5 ．
【解析】当为腰时，若为腰，则；若为底，则；
当为底时，则，
综上，的长度是：6或4或5．
故答案为：6或4或5．
15．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，则绳索的长是 2.5 ．
【解析】，，，
四边形是矩形，是直角三角形，
，
，
设绳索的长为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即绳索的长是，
故答案为：2.5．
16．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 7 组这样的“完美勾股数”．
【解析】，，
，
大于3小于231的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，一共7个，
共有7组这样的“完美勾股数”．
故答案为：7．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知，，，，，求阴影部分的面积．
【解析】由勾股定理得，
，，即，
故是直角三角形，，
故四边形的面积
．
18．满足的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
① 6 ，8，10；②5， ，13：③8，15， ．
（2）任取两个正整数和，请你证明这三个整数，，是勾股数．
【解析】（1）解：①，，，
，
，8，10是一组勾股数．
故答案为：6；
②，，，
，
，12，13是一组勾股数．
故答案为：12；
③，，，
，
，15，17是一组勾股数．
故答案为：17．
（2）证明：，，，
，
任取两个正整数和，这三个整数，，是勾股数．
19．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．
（1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为 ；
（2）判断的形状，并说明理由．
【解析】（1）如图，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形．
20．如图，在四边形中，，平分，，为上一点，，，求证：．
【解析】证明：，，，
，
是直角三角形，，
又，平分，
．
21．先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点，，，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
（1）已知点，，试求，两点间的距离；
（2）已知点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为2，，两点间的距离为4，求点的纵坐标；
（3）已知各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由．
【答案】（1），两点间的距离为13；
（2）的纵坐标为6或；
（3）为等腰直角三角形．
【解析】（1），
即，两点间的距离为13．
（2）点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为2，，两点间的距离为4，
的纵坐标为或者．即点的纵坐标为6或．
（3）为等腰直角三角形．理由如下：
，
，
，
，且，
为等腰直角三角形．
22．定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
【解析】（1）是．
理由：，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点．
（2）设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
②当为最长线段时，依题意．
即，
解得，
综上所述，或10．
23．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【解析】（1）海港受台风影响，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
（2）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
24．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【解析】（1）梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即．
（2）设，
在中，；
在中，；
所以，
解得．
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第17章 勾股定理 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．如图，在中，，若，，则的长是
A．1 B． C．2 D．
2．在中，斜边，则等于
A．20 B．100 C．200 D．144
3．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是
A．13 B． C．13或 D．不确定
4．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是
A． B． C． D．
5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则等于
A．45 B．49 C．50 D．53
8．如图，钓鱼竿的长为5.4米，露在水面上的鱼线长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿转到的位置时，露在水面上的鱼线长为4.2米，则的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
9．已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是
A． B．
C． D．
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为
A．7 B．10 C．13 D．15
二．填空题（共6小题）
11．若一个三角形的三边长为3、、5，则使此三角形是直角三角形的的值是 ．
12．如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点，，都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．
13．如图，，，，，，则 ．
14．已知的边，周长为16，当为等腰三角形时，则边的长度是 ．
15．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，则绳索的长是 ．
16．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 组这样的“完美勾股数”．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知，，，，，求阴影部分的面积．
18．满足的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
① ，8，10；②5， ，13：③8，15， ．
（2）任取两个正整数和，请你证明这三个整数，，是勾股数．
19．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．
（1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为 ；
（2）判断的形状，并说明理由．
20．如图，在四边形中，，平分，，为上一点，，，求证：．
21．先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点，，，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
（1）已知点，，试求，两点间的距离；
（2）已知点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为2，，两点间的距离为4，求点的纵坐标；
（3）已知各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由．
22．定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
23．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
24．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
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