四川省雅安市天立教育集团2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题(含答案)

天立教育2023-2024学年第二学期高二入学联合考试
数学试卷
本试卷共4页，22道试题，考试用时120分钟，全卷满分150分。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C．3 D．6
3．已知平面的一个法向量为，则所在直线与平面的位置关系为（ ）
A． B． C． D．与相交但不垂直
4．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．464 B．465 C．466 D．495
5．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，．则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知直线和圆，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点
C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为
7．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．如图，现有一半径为4的圆纸片（为圆心，为圆内的一定点），且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线．在上任取一点，则面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．已知抛物线，圆，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则曲线的离心率为
B．若，则曲线的渐近线方程为
C．若曲线是双曲线，则曲线的焦点一定在轴上
D．若曲线是圆，则的最大值为4
10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面
C．异面直线所成的角为定值 D．直线与平面所成的角为定值
11．已知数列的前项积为，则（ ）
A． B．为递增数列
C． D．的前项和为
12．如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为和交于两点，分别过作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．四边形的面积为
C． D．的取值范围为．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的右焦点到渐近线的距离为______．
14．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则______．
15．如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为______．
16．设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，1822题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（1）求数列前6项的中位数和平均数；
（2）从数列前6项中任取2项，求取出的2项中恰有1项是数列中的项的概率．
19．已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程．
20．已知等差数列满足，等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
21．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
22．如图，已知椭圆的顶点分别为矩形的边的中点，点分别满足，直线与直线的交点为．
（1）证明：点在椭圆上；
（2）设直线与椭圆相交于两点，内切圆的圆心为．若直线垂直于轴，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
天立集团高二年级2024年春入学考试数学答案
一、单选
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B
8．【详解】圆的圆心，半径，显然点为抛物线的焦点，其准线为，设，则，而，由成等差数列得，，因此，即有，解得，设直线的方程为，显然，由消去得：，则有，解得，所以直线的斜率为．
二、多选9．AC 10．ABD 11．AD 12．ACD
11．【详解】由可得，故为等比数列，且公比为3，首项为，故，进而正确，当时，，所以，
当时，不符合上述表达，因此，故C错误，
当时，，由于为单调递增数列，故为单调递减，故错误，的前项和为，故D正确，
12．【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，所以，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，
所以，故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，
设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，
直线，与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，
当，即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确．
三、填空题
13．2 14． 15． 16．
15．【详解】点到的距离等于点到点的距离，由可知点满足阿氏圆，故点的轨迹为一段圆弧，圆弧半径为，圆心角为，圆弧长为
16．【详解】由题可设，则，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，，
，当且仅当时取得最小值，由，所以或，因为，即得最小值为
四、解答题
17．【详解】（1）在中，因为，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，解得；
（2）在中，，则，
由余弦定理得，即，
即，解得或（舍去），
所以的面积为．
18．【详解】（1）数列的前6项分别为：3，6，9，12，15，18
前6项的中位数为10．5，
平均数为
（2）由（1）知，数列的前6项中是数列中的项有两个数，分别是6和12．
从数列的前6项中任取两项的所有可能为：、、、、、、、、、、、、、、，共有15种取法，
记事件“恰有1项是数列中的项”，则事件包含有：、、、、、、、，共有8种取法，
因此，所求概率为．
19．解：（1）因为双曲线，故渐近线方程是：，又渐近线方程是，故，
（2）因为直线的倾斜角为，故直线斜率是1，又直线经过，则直线方程为，
设，由，消去得，
故，解得，又，则，解得，
故，
故双曲线的方程是．
解（1）设等差数列的公差为．
由，可得，解得，
则．
由，
可得是首项为3，公比为3的等比数列，则．
（2）由（1）得，
，
，
所以
，
，
故
21．【详解】（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
在菱形中，，则为等边三角形，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，
则，
因为轴平面，所以可取平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
22．解：（1）解：由题知：，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
解方程组，得，
因为，所以点在椭圆上．
（2）解：由题知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立得，
设，则，
因为直线与轴垂直，所以直线的斜率互为相反数，
所以，
因为，所以，
所以。
化简得，即，
若，则，
此时直线的方程为，直线过点，此时不能构成，故不成立，
所以，即直线的斜率为定值，．
综上，直线的斜率为定值，．