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2024高考物理压轴题冲刺16练
练9 带电粒子在电磁场中的运动
1. . (2024浙江台州期末)如图所示，第一象限存在垂直平面向外的匀强磁场。轴下方的分析器由两块相距为、厚度不计、足够长的平行金属薄板M和N组成，其中位于轴的M板中心有一小孔（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于轴上的某种材料P能不停地发射质量为、电荷量为的正离子，离子速度方向都沿轴正方向，速度大小连续分布在和之间，发射区间的上端点坐标，下端点坐标。已知从处射出的速度大小为的离子经磁场偏转后恰好垂直轴射入孔。未能射入孔的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求第一象限的磁感应强度大小；
（2）求离子打在N板上区域的长度；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时电压；
（4）若将分析器沿着轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔位置坐标之间关系式．
【参考答案】（1）；（2）；（3）（4）
【名师解析】
（1）根据题意可得粒子运动轨迹如下所示
结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律有
解得
（2）根据牛顿第二定律有
由于
故有
根据平移法可知，当粒子从发射区间的上端射出进入孔C时，粒子打在N板的左侧，且距离最远。当粒子从发射区间的最下端射出进入孔C时，粒子打在N板的右侧，且距离最远。运动轨迹如图所示
设离子发射点的坐标，则由几何关系可得
将，分别代入可得
，
由几何关系
，
解得
（3）由（2）分析可知，当粒子从孔C进入时，根据几何关系有
设进入孔C时速度为v，则粒子进入孔C时，竖直方向速度为
结合（1）分析及牛顿第二定律有
解得
电流表示数刚为0，即粒子到达N板时速度竖直方向速度恰好为零，则根据匀变速直线运动规律及牛顿第二定律有
解得
（4）由（2）分析可知，粒子做圆周运动的最大半径为。故当时，所有粒子均无法从孔C射出。当时。根据（3）中分析可得
联立可得
2.（2024湖南长沙高三适应性考试）如图，平面直角坐标系的第三象限中的区域内存在辐向电场，与点（，）等距的各点电场强度大小相等且方向始终指向；在的区域内无电场和磁场；在的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。在点（，0）有一粒子源，能够沿轴负方向发射出甲、乙两种带正电的粒子束，两种粒子的速度均为、电荷量均为，粒子甲的质量为，粒子乙的质量为。粒子甲在电场中做半径为的匀速圆周运动；粒子乙从点（，）与轴正方向成角射出电场。进入磁场后，粒子甲从点（，）射出磁场；粒子乙从点（图中未标出）射出磁场。不计重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小。
（2）求粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间。
（3）已知、间的电势差，，求点的坐标。
【参考答案】（1）；（2）；（3）（0，2a）
【名师解析】
（1）由题意可知，粒子甲在磁场中运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）电场中，有
匀速直线运动，则有
粒子在磁场中运动的圆心角为
则时间为
则总时间为
（3）粒子乙从A到D的过程中，由动能定理可得
解得
在磁场中运动的半径为，则有
解得
由图可知N点的横坐标为0，纵坐标为
解得
则N点坐标为（0，2a）。
3. （2024石家庄辛集市2月质检） 如图所示，在第I象限内的虚线OC（OC与y轴正方向的夹角）与y轴所夹区域内（包括虚线OC）有磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向外的匀强磁场，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子（视为质点）从y轴上坐标为的A点平行于x轴正方向射入磁场。取，不计粒子所受重力。
（1）若粒子能垂直y轴离开磁场，则初速度的最大值；
（2）若粒子离开磁场后能垂直经过x轴．则其在第I象限内运动的时间t；
（3）若在（2）中情况下．在平面内x轴与虚线OC所夹区域加上方向平行OC的匀强电场（图中未画出）结果粒子恰好能到达x轴，求所加电场的电场强度大小E以及粒子到达x轴上的位置的横坐标x（不考虑粒子到达x轴后的运动）。
【参考答案】（1）；（2）；（3），
【名师解析】
（1）当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为时，粒子垂直y轴离开磁场，在此种情况下，当粒子的运动轨迹与OC相切时，粒子的初速度最大（设为），如图所示：
设此时粒子在磁场中运动的轨迹半径为，有
根据几何关系有
解得
（2）粒子运动四分之一圆周后离开磁场，将垂直经过x轴，运动轨迹如图所示：
设轨迹圆的半径为，有
根据几何关系有
解得
，
b点粒子在磁场中做圆周运动的周期
b粒子在磁场中运动的时间
解得
根据几何关系，粒子经过虚线OC时到x轴的距离，设粒子离开磁场后在第I象限内运动的时间为，有
又
解得
（3）粒子沿y轴方向的加速度大小
根据匀变速直线运动的规律有
解得
粒子沿x轴方向加速度大小
设粒子从虚线OC运动到x轴的时间为，有
粒子从虚线OC运动到x轴的过程中沿x轴方向的位移大小
又
解得
4. . （2024广东佛山一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为，圆的半径为。正方形的中心与圆的圆心同在点，圆心与圆周边沿的电势差为。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为，带电量为的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小；
（2）若沿垂直于正方形边界的方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度多大？该粒子在磁场中运动时离点的最大距离多大？
【参考答案】（1）；（2），
【名师解析】
（1）对粒子从O点到离开电场列动能定理
解得
（2）在磁场中做匀速圆周运动，有
当粒子恰好飞不出磁场，如图
由几何关系可知
解得
由几何关系
5 (2024山西吕梁和孝义期末). 2023年是芯片行业重要的里程碑，中国成为了全球生产芯片的重要国家。离子注人是芯片制造过程中一道重要的工序。图甲所示，是离子注入工作原理的示意图，A处的离子无初速的“飘入”加速电场；经电场加速后从P点沿半径方向进入半径为r的圆形匀强磁场区域，经磁场偏转，最后打在竖直放置的硅片上。离子的质量为m、电荷量为q，加速电场的电压为U，不计离子重力。求：
（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小v；
（2）若磁场方向垂直纸面向外，离子从磁场边缘上某点出磁场时，可以垂直打到硅片上，求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）为了追求芯片的精致小巧，需要对硅片材料的大小有严格的控制。如图乙所示，O点到硅片的距离为2r，磁场的磁感应强度满足，要求所有离子都打到硅片上，求硅片的最小长度l。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）离子通过加速电场，由动能定理可知
得到
（2）根据题意，画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
由几何关系知道，离子的轨迹半径
由牛顿第二定律有
从而解得
（3）离子打在硅片上端，设离子的轨迹半径为。根据牛顿第二定律有：
由于
得到
画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
得到
所以
，，，，
由几何关系知道
所以
离子打在硅片下端时，设离子的轨迹半径为，根据牛顿第二定律有
由于
得到
画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
得到
所以
，，，，
由几何关系知道
所以
因为
所以
6.（2024陕西铜川一模）如图所示，纸面内存在半径为的圆形和直角三角形ABC的两匀强磁场（图中均未画出，方向均垂直纸面），AB边长为L，现有一质量为m。电荷量为q的带电粒子从圆形磁场边界上的P点正对圆心O垂直磁场射入，且∠EOP= 60° ，经偏转恰好从D点飞出，并沿DA方向从A点进入三角形区域且恰好不从BC边界射出。已知E、O、D、AB在同一直线上，粒子重力不计。求：
（1）两区域磁感应强度大小的比值；
（2）粒子在两区域运动时间的比值。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）设圆形区域和三角形区域中磁感应强度大小分别为B1和B2。由题意作出粒子运动的轨迹如图所示，根据几何关系可知粒子在圆形区域和三角形区域中做匀速圆周运动的半径分别为
①
②
设粒子的速率为v，根据牛顿第二定律有
③
④
联立①②③④解得
⑤
（2）粒子在圆形区域和三角形区域中做匀速圆周运动的周期分别为
⑥
⑦
根据几何关系可知粒子在圆形区域和三角形区域中转过的圆心角分别为
⑧
⑨
粒子在圆形区域和三角形区域中运动时间之比为
⑩
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练9 带电粒子在电磁场中的运动
1. . (2024浙江台州期末)如图所示，第一象限存在垂直平面向外的匀强磁场。轴下方的分析器由两块相距为、厚度不计、足够长的平行金属薄板M和N组成，其中位于轴的M板中心有一小孔（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于轴上的某种材料P能不停地发射质量为、电荷量为的正离子，离子速度方向都沿轴正方向，速度大小连续分布在和之间，发射区间的上端点坐标，下端点坐标。已知从处射出的速度大小为的离子经磁场偏转后恰好垂直轴射入孔。未能射入孔的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求第一象限的磁感应强度大小；
（2）求离子打在N板上区域的长度；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时电压；
（4）若将分析器沿着轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔位置坐标之间关系式．
2.（2024湖南长沙高三适应性考试）如图，平面直角坐标系的第三象限中的区域内存在辐向电场，与点（，）等距的各点电场强度大小相等且方向始终指向；在的区域内无电场和磁场；在的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。在点（，0）有一粒子源，能够沿轴负方向发射出甲、乙两种带正电的粒子束，两种粒子的速度均为、电荷量均为，粒子甲的质量为，粒子乙的质量为。粒子甲在电场中做半径为的匀速圆周运动；粒子乙从点（，）与轴正方向成角射出电场。进入磁场后，粒子甲从点（，）射出磁场；粒子乙从点（图中未标出）射出磁场。不计重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小。
（2）求粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间。
（3）已知、间的电势差，，求点的坐标。
3. （2024石家庄辛集市2月质检） 如图所示，在第I象限内的虚线OC（OC与y轴正方向的夹角）与y轴所夹区域内（包括虚线OC）有磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向外的匀强磁场，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子（视为质点）从y轴上坐标为的A点平行于x轴正方向射入磁场。取，不计粒子所受重力。
（1）若粒子能垂直y轴离开磁场，则初速度的最大值；
（2）若粒子离开磁场后能垂直经过x轴．则其在第I象限内运动的时间t；
（3）若在（2）中情况下．在平面内x轴与虚线OC所夹区域加上方向平行OC的匀强电场（图中未画出）结果粒子恰好能到达x轴，求所加电场的电场强度大小E以及粒子到达x轴上的位置的横坐标x（不考虑粒子到达x轴后的运动）。
4. . （2024广东佛山一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为，圆的半径为。正方形的中心与圆的圆心同在点，圆心与圆周边沿的电势差为。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为，带电量为的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小；
（2）若沿垂直于正方形边界的方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度多大？该粒子在磁场中运动时离点的最大距离多大？
5 (2024山西吕梁和孝义期末). 2023年是芯片行业重要的里程碑，中国成为了全球生产芯片的重要国家。离子注人是芯片制造过程中一道重要的工序。图甲所示，是离子注入工作原理的示意图，A处的离子无初速的“飘入”加速电场；经电场加速后从P点沿半径方向进入半径为r的圆形匀强磁场区域，经磁场偏转，最后打在竖直放置的硅片上。离子的质量为m、电荷量为q，加速电场的电压为U，不计离子重力。求：
（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小v；
（2）若磁场方向垂直纸面向外，离子从磁场边缘上某点出磁场时，可以垂直打到硅片上，求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）为了追求芯片的精致小巧，需要对硅片材料的大小有严格的控制。如图乙所示，O点到硅片的距离为2r，磁场的磁感应强度满足，要求所有离子都打到硅片上，求硅片的最小长度l。
6.（2024陕西铜川一模）如图所示，纸面内存在半径为的圆形和直角三角形ABC的两匀强磁场（图中均未画出，方向均垂直纸面），AB边长为L，现有一质量为m。电荷量为q的带电粒子从圆形磁场边界上的P点正对圆心O垂直磁场射入，且∠EOP= 60° ，经偏转恰好从D点飞出，并沿DA方向从A点进入三角形区域且恰好不从BC边界射出。已知E、O、D、AB在同一直线上，粒子重力不计。求：
（1）两区域磁感应强度大小的比值；
（2）粒子在两区域运动时间的比值。
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