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2024高考物理压轴题冲刺16练
练14 电磁感应中的功和能
1. （2024河北张家口期末）商场里某款热销小型跑步机如图甲所示，其测速原理简化为图乙所示。该跑步机底面固定有间距，长度的平行金属板电极。电极间存在磁感应强度大小、方向垂直底面向下的匀强磁场区域，绝缘橡胶带上镀有间距也为的平行细金属条，每根金属条的电阻。当健身者在跑步机上跑步时，位于电极区的这根金属条就会单独和外电阻构成闭合回路，已知外电阻，与外电阻并联的理想电压表量程为4V，求：
（1）该跑步机可测量的橡胶带运动的最大速率；
（2）当电压表的示数为2V时，金属条克服安培力做功的功率；
（3）每根金属条从进入磁场到出磁场区域，所受安培力的冲量大小。
2. （2024广东惠州第三次调研）为了确保载人飞船返回舱安全着陆，设计师在返回舱的底部安装了4台完全相同的电磁缓冲装置，如图（a）所示，图（b）为其中一台电磁缓冲装置的结构简图。舱体沿竖直方向固定着两光滑绝缘导轨MN、PQ，导轨内侧安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B。导轨内的缓冲滑块K内部用绝缘材料填充，外侧绕有n匝闭合矩形线圈abcd，其总电阻为R，ab边长为L。着陆时电磁缓冲装置以速度v0与地面碰撞后，滑块K立即停下，此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，从而实现缓冲。导轨MN、PQ及线圈的ad和bc边足够长，返回舱质量为m（缓冲滑块K质量忽略不计），取重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。求：
（1）缓冲滑块K刚停止运动时，舱体的加速度大小；
（2）舱体着陆时（即导轨MN、PQ刚触地前瞬时）的速度v的大小；
（3）若舱体的速度大小从v0减到v的过程中，舱体下落的高度为h，则该过程中每台电磁缓冲装置中产生的焦耳热Q。
3. （2024河南高考适应性考试）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距，左半部分倾斜且粗糙，倾角，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为。右半部分俯视图如图（b）。导体棒借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数。导体棒以的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，棒开始下滑，同时对棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为，两棒的质量均为，棒电阻，棒电阻不计。重力加速度大小取，以棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，棒的加速度大小；
（2）Q棒中电流随时间变化的关系式；
（3）棒达到的最大速度及所用时间。
4. （2024北京东城期末）在如图所示Oxy坐标系中，存在垂直Oxy平面向外的磁场。边长为l的正三角形导线框abc的总电阻为R，顶点a位于x轴上，bc边平行于Ox轴。
（1）若此示意图表示的磁场是由一条通电直导线产生的，
a.说明此直导线在Oxy坐标系中的大致位置和电流方向；
b.说明当磁场增强时，导线框abc中感应电流的方向。
（2）若此示意图表示的磁场有这样的特点：
磁场在x方向是均匀的，即磁感应强度不随x坐标发生变化，；磁场在y方向均匀变化，已知磁感应强度随y坐标均匀增大，且时，。从某时刻开始，此区域中各点的磁感应强度都随时间均匀增大且对时间的变化率为k＇，求经过时间t
a.线框中电流的大小I；
b.bc边受到磁场力的方向和磁场力的大小；
c.导线框受到磁场力的大小F。
5. （2024年1月安徽联考） 如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角的斜面上，其间距。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。两根金属棒和与导轨始终保持垂直且接触良好，棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知棒的质量为棒和棒接入电路的电阻均为，导轨电阻不计。将棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力，作出力随时间t的变化图像如图乙所示（力大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取。求：
（1）时，金属棒的速度大小；
（2）时，外力F的大小；
（3）已知金属棒在的时间内产生的热量为，求这段时间外力F所做的功。
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2024高考物理压轴题冲刺16练
练14 电磁感应中的功和能
1. （2024河北张家口期末）商场里某款热销小型跑步机如图甲所示，其测速原理简化为图乙所示。该跑步机底面固定有间距，长度的平行金属板电极。电极间存在磁感应强度大小、方向垂直底面向下的匀强磁场区域，绝缘橡胶带上镀有间距也为的平行细金属条，每根金属条的电阻。当健身者在跑步机上跑步时，位于电极区的这根金属条就会单独和外电阻构成闭合回路，已知外电阻，与外电阻并联的理想电压表量程为4V，求：
（1）该跑步机可测量的橡胶带运动的最大速率；
（2）当电压表的示数为2V时，金属条克服安培力做功的功率；
（3）每根金属条从进入磁场到出磁场区域，所受安培力的冲量大小。
【参考答案】（1）5m/s；（2）15W；（3）0.48N·s
【名师解析】
（1）设橡胶带运动的最大速率为，橡胶带达到最大速度时匀速，切割磁感线产生的电动势为
由闭合电路欧姆定律有
解得
代入数据可得
（2）金属条所受的安培力为
金属条克服安培力做功的功率
其中
代入数据，可得
（3）设每根金属条经过磁场区域所用的时间为，则所受安培力的冲量
其中
根据法拉第电磁感应定律有
解得
2. （2024广东惠州第三次调研）为了确保载人飞船返回舱安全着陆，设计师在返回舱的底部安装了4台完全相同的电磁缓冲装置，如图（a）所示，图（b）为其中一台电磁缓冲装置的结构简图。舱体沿竖直方向固定着两光滑绝缘导轨MN、PQ，导轨内侧安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B。导轨内的缓冲滑块K内部用绝缘材料填充，外侧绕有n匝闭合矩形线圈abcd，其总电阻为R，ab边长为L。着陆时电磁缓冲装置以速度v0与地面碰撞后，滑块K立即停下，此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，从而实现缓冲。导轨MN、PQ及线圈的ad和bc边足够长，返回舱质量为m（缓冲滑块K质量忽略不计），取重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。求：
（1）缓冲滑块K刚停止运动时，舱体的加速度大小；
（2）舱体着陆时（即导轨MN、PQ刚触地前瞬时）的速度v的大小；
（3）若舱体的速度大小从v0减到v的过程中，舱体下落的高度为h，则该过程中每台电磁缓冲装置中产生的焦耳热Q。
【参考答案】（1）；（2）
（3）
【名师解析】
【详解】（1）缓冲滑块K刚停止运动时，单个闭合矩形线圈产生的感应电动势为
回路电流为
返回舱所受单个闭合矩形线圈的安培力为
根据牛顿第二定律得
解得
（2）返回舱向下做减速运动，受到向上的安培力和向下的重力，随着速度的减小，安培力减小，直到安培力减小到与重力大小相等时，速度最小，此后匀速运动，直至舱体着陆时速度大小为v，可得
，，
由平衡条件可知
解得
（3）由能量守恒
解得
3. （2024河南高考适应性考试）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距，左半部分倾斜且粗糙，倾角，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为。右半部分俯视图如图（b）。导体棒借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数。导体棒以的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，棒开始下滑，同时对棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为，两棒的质量均为，棒电阻，棒电阻不计。重力加速度大小取，以棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，棒的加速度大小；
（2）Q棒中电流随时间变化的关系式；
（3）棒达到的最大速度及所用时间。
【参考答案】（1）；（2）；（3），
【名师解析】
（1）撤去小立柱时，导体棒刚刚进入三角形磁场区域，没有感应电动势，则对Q棒受力分析
（2）只有P棒在切割磁感线，所以感应电动势为
磁场穿过闭合电路的面积与时间的关系为
所以
由闭合电路欧姆定律，Q棒中电流I随时间t变化的关系式
（3）对Q棒受力分析
当Q棒速度达到最大时，加速度为零，有
解得此时 ，
三角形磁场总长有
而P棒在4s内运动的位移为2m，小于L1。
Q棒的加速度与时间的关系为
画出Q棒的a-t图，则Q棒速度的变化量等于图线下方与坐标轴围成的面积，则棒达到的最大速度为
所用时间=4s。
4. （2024北京东城期末）在如图所示Oxy坐标系中，存在垂直Oxy平面向外的磁场。边长为l的正三角形导线框abc的总电阻为R，顶点a位于x轴上，bc边平行于Ox轴。
（1）若此示意图表示的磁场是由一条通电直导线产生的，
a.说明此直导线在Oxy坐标系中的大致位置和电流方向；
b.说明当磁场增强时，导线框abc中感应电流的方向。
（2）若此示意图表示的磁场有这样的特点：
磁场在x方向是均匀的，即磁感应强度不随x坐标发生变化，；磁场在y方向均匀变化，已知磁感应强度随y坐标均匀增大，且时，。从某时刻开始，此区域中各点的磁感应强度都随时间均匀增大且对时间的变化率为k＇，求经过时间t
a.线框中电流的大小I；
b.bc边受到磁场力的方向和磁场力的大小；
c.导线框受到磁场力的大小F。
【参考答案】（1）a.见解析，b.见解析；（2）a.，b.，c.
【名师解析】
（1）a.根据题意，由通电直导线产生的磁场特点，结合题图可知，直导线在bc边上方，与x轴平行，由安培定则可知，电流方向沿x轴负方向。
b. 当磁场增强时，由楞次定律可知，感应磁场垂直纸面向里，由安培定则可知，导线框abc中感应电流方向为顺时针。
（2）a.根据题意可知，经过时间，各点磁感应强度的增加量均为，因此整个导线框的磁通增加量为，其中
由法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律得
b.根据题意，结合上述分析，由左手定则可知，bc边受到磁场力的方向沿y轴负方向，初始时刻bc边所在处磁感应强度用表示，由已知且y＝0时，B＝0，可知
经过时间t，各点磁感应强度都增加了，因此t时刻bc边所在处磁感应强度
由
得
c.先研究ac边受力，可将ac边分为很多小段进行研究，每一小段受力方向都垂直ac边指向三角形内侧。在ac边上紧靠c的位置取一小段长度Δl，这一小段Δl所处位置的磁感应强度为，受力大小记，则有
同时在ac边上紧靠a的位置取一小段长度Δl，这一小段Δl所处位置的磁感应强度
受力大小记为，则有
可知
在ac边上紧靠刚才那一小段的位置再取一小段长度Δl，Δl所处位置的磁感应强度为
受力大小记，则有
同时在ac边另一端取对应的一小段长度Δl，这一小段Δl所处位置的磁感应强度为
受力大小记为，则有
可知
以此类推，可知每两个对应小段所受力的大小之和均为，对ac边求和，记为，得到
同理，ab边的受力情况为各小段受力垂直ab边指向三角形内侧，受力大小情况与ac边相同。由对称关系可知，ac边的磁场力与ab边的磁场力沿x方向的分力合力为零，沿y方向的分力合力沿y轴正向，大小为，因此导线框所受磁场力
F==
5. （2024年1月安徽联考） 如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角的斜面上，其间距。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。两根金属棒和与导轨始终保持垂直且接触良好，棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知棒的质量为棒和棒接入电路的电阻均为，导轨电阻不计。将棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力，作出力随时间t的变化图像如图乙所示（力大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取。求：
（1）时，金属棒的速度大小；
（2）时，外力F的大小；
（3）已知金属棒在的时间内产生的热量为，求这段时间外力F所做的功。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）设棒NQ的质量为M，当t=0时
解得
，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析
根据，解得
感应电动势为
根据，解得
（2）当，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析
根据，解得
感应电动势为
根据，解得
由以上可知棒ab的速度可表示为
由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为
对棒ab分析
解得
（3）在的时间内金属棒的位移为
对金属棒运用动能定理分析
这段时间ab克服安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，因为电路里有两根电阻相等的棒，所以电路中产生的焦耳热为9J。
所以
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