广东省深圳大学附中教育集团2023-2024学年第二学期九年级开学考试数学试卷(含解析）

2023-2024学年广东省深圳大学附中教育集团九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
2.矩形、菱形都具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
3.某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“米”与“米”两个项目的概率是( )
A. B. C. D.
4.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
5.如果有点、、在反比例函数的图象上，如果，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
6.抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
7.如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.小华将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：
若，与相交于，则点不一定是的重心；
若，则的最大值为；
若，∽，则的长为；
若∽，则当时，取得最大值．
其中正确的为( )
A. B. C. D.
10.如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：当时，；当时，有最小值；点在函数的图象上，符合要求的点只有个；将函数的图象向右平移个或个单位长度经过原点其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果：：，那么 ______．
12.现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字，，，，，，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和不小于的概率是______．
13.我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多出钱；每人出钱，则还差钱问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为______．
14.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接若，的面积是，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有张相同的卡片，分别写有景区：宜兴竹海，宜兴善卷洞，阖闾城遗址博物馆，锡惠公园抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区门票的概率是______．
小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区和景区门票的概率．
18.本小题分
教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图象高度抽象成如图所示的，，黑板上投影图象的高度，与的夹角，求的长结果精确到参考数据：，，
19.本小题分
某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元经市场调查发现每天的销售量与销售价格元之间的函数关系如图所示．
求关于的函数表达式；
当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润销售价格采购价格销售量】
20.本小题分
课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在 中，对角线，垂足为．
求证： 是菱形．
知识应用
如图，在 中，对角线和相交于点，，，．
求证： 是菱形；
延长至点，连接交于点，若，求的值．
21.本小题分
定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
现有以下两个函数：；，其中，______为函数的轴点函数填序号
【尝试应用】
函数为常数，的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点若，求的值．
【拓展延伸】
如图，函数为常数，的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形若函数为常数，的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值．
22.本小题分
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系．
初步感知
如图，当点由点运动到点时，
当时， ______；
关于的函数解析式为______．
当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．
延伸探究
若存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．
______；
当时，求正方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选B．
本题考查根的判别式．
先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况．
2.【答案】
【解析】【分析】
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：跳高记为项目、跳远记为项目、米短跑记为项目、米中长跑记为项目，
画树状图得：
共有种等可能的结果，恰好抽到“米”和“米”两项的有种情况，
恰好抽到“米”和“米”的概率是：．
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得或，
由于该方程是一元二次方程，
则有，所以的值为．
故选：．
先把代入方法求出的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；一元二次方程的未知数的最高项次数为，且最高项系数不为零．
5.【答案】
【解析】解：反比例函数为，
函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，
又，
，，，且，
，
故选：．
依据反比例函数为，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，进而得到，，的大小关系．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.【答案】
【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
，
，
，
，
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上，直线一定经过一、四象限．
故选：．
根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
7.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为．
根据旋转性质可知，．
在中，，
．
故选：．
过点作，垂足为，根据旋转性质可知，，把求的问题，转化为在中求．
本题考查了旋转的性质：旋转后对应角相等，考查三角函数的定义及三角函数值的求法．
8.【答案】
【解析】解：设与交于点，
由题意得，，，
，
，
．
故选：．
设与交于点，根据平行线的性质可得，则．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：有种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；
如图，点不是中点，所以点不是重心；
故正确；

当，如图，取得最大值，，
，，，
，
，
错误．
如图，若，∽，
，，，，，，，
，，，
，，
，
错误．
如图，∽，
，
即，
在中，，
，
，
当时，最大为，
故正确．
故选：．
有种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；
当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；
如图，若，∽，根据相似三角形的性质求得，，进而求得，即可求解；
如图，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．
本题考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
通过观察函数图象判断即可；
写出点所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；
通过观察函数图象判断即可．
本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．
【解答】
解：当时，或，
不正确．
由图象可知，当时，有最小值，
正确．
令，，
，
点在直线上．
的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
符合要求的点有个，
不正确．
将函数的图象向右平移个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；
将函数的图象向右平移个单位长度时，原图象上坐标为的点过原点；
正确．
综上，正确的结论有共个．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：：：，
设，，
，
故答案为：．
利用设法进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法进行计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意列表如下：
共有种等可能的结果数，其中所得结果之和不小于的有种结果，
则所得结果之和不小于的概率是；
故答案为：．
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两枚骰子向上一面的数字之和不小于的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】人
【解析】解：设该问题中的人数为人，物品的价格为钱，
根据题意得：，
解得：，
该问题中的人数为人．
故答案为：人．
设该问题中的人数为人，物品的价格为钱，根据“几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多出钱；每人出钱，则还差钱”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转到的位置，
，，
是等边三角形，
，
点的运动路径的长为，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，由旋转的性质可求，，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解．
本题考查了轨迹，旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，求出旋转角是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过点分别作于点，于点，
设点，，
则，则∽，
则，即，
即，
则，则，
则点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，则，
的面积，
则，
故答案为：．
证明∽，得到，即，求出点，则点，由的面积，即可求解．
本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．
16.【答案】解：由题意，原式
．
【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：；
画树状图如下：
一共有种等可能的情况，恰好抽到景区和景区门票的情况有种，
他恰好抽到景区和景区门票的概率为．
【解析】解：一共有种情况，恰好抽到景区门票的概率是，
故答案为：；
见答案．
根据概率公式求解即可；
画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区和景区门票的情况数，即可由概率公式计算．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：在中，，，，
，
，
的长约为．
【解析】在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：当时，设函数表达式为，
将，代入解析式得，，
解得，
函数表达式为：；
当时，设函数表达式为：，
将，代入解析式得，，
解得，
函数表达式为：，
综上，与的函数表达式为：；
设利润为元，当时，，
在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为；
当时，，
当时，取得最大值为；
，
当销售价格为元时，利润最大为元．
【解析】由图象可知，分两种情况：当时，当时，分别利用待定系数法求解即可；
设销售利润为元，再根据销售利润销售价格采购价格销售量列出与的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，垂足为，
是的垂直平分线，
，
是菱形．
证明： 中，对角线和相交于点，，，
，，
又，
在三角形中，，
，
即，
是菱形；
解：如图，设的中点为，连接，
是的中位线，
，
由知：四边形是菱形，
，
又，
，
又，
，
，
是的中位线，
，
∽，
，
又，，
．
【解析】根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定 是菱形；
根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证；
设的中点为，连接，根据已知条件求出、的长，判定∽，然后根据相似三角形的性质即可求出的值．
本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键．
21.【答案】；
令，得，
解得：，
，
令，得，
函数为常数，的图象与轴交于点，
其轴点函数经过点，
，且，
，即，
，
设，
则，
，
，
，，
，
，
，
或；
由题意得：，，，
四边形是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点与点重合，即，如图，
，
，且，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，
消去、，得，
解得：，，
函数的对称轴在轴左侧，
与同号，即，
；
综上所述，的值为或．
【解析】解：函数与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
函数与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
函数与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
函数为函数的轴点函数，函数不是函数的轴点函数，
故答案为：；
令，得，
解得：，
，
令，得，
函数为常数，的图象与轴交于点，
其轴点函数经过点，
，且，
，即，
，
设，
则，
，
，
，，
，
，
，
或；
由题意得：，，，
四边形是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点与点重合，即，如图，
，
，且，
；
当时，轴点函数的顶点在边上，即，如图，
，
消去、，得，
解得：，，
函数的对称轴在轴左侧，
与同号，即，
；
综上所述，的值为或．
根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
由题意得，，即，得出，设，则，得出，再由，可得，即，即可求得的值；
由题意得：，，，，，分两种情况：当时，轴点函数的顶点与点重合，即，可得，整理得，可得；当时，轴点函数的顶点在边上，即，可得，消去、，得，可得．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，新定义等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
22.【答案】
【解析】解：当时，，
又，，
．
故答案为：；
当点由点运动到点时，，
，，
．
故答案为：；
由图可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
设，将代入，得，
解得：，
，
，
在中，，
，
抛物线的解析式为；
如图，则，
，
∽，
，即，
，，
，，
存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
．
当时，，运用勾股定理即可求得答案；
由题意得，运用勾股定理可得；
观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长；
过点作于点，可证得∽，得出，可求得，，根据存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得≌，可得，列出等式即可；
证明≌，得出，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．