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三、利用数量积解决夹角与垂直的问题
1）归纳总结：
① 直接用夹角公式求角；
② 利用方程（方程组）求夹角；
2）方法指导：求两个向量的夹角时，需要求出两个向量的数量积，两个向量模长乘积或者他们之间的倍数关系，再求余弦值进而求夹角.注意夹角范围.
【题干】1.已知向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】2.若，则向量与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】3.若向量与满足，，．则向量与的夹角等于；
【题干】4.已知非零向量，满足且则与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】5.向量，，，则与的夹角为______．
【题干】6.已知向量，，若向量与向量的夹角为，
则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】7.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值为_________.
【题干】8.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】9.已知是内心，若，则__________.
【题干】10.已知，，若，则与夹角的余弦值的最小值等于_________.
【题干】11.在中，，点在边上，且满足，则的最小值为_________.
【题干】12.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
【题干】13.设非零向量，，且，的夹角为钝角，求的取值范围
【题干】14.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围.
【题干】15.已知点，，，且．
（1）若，求与的夹角；
（2）若，求的值．
【题干】16.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角．
【题干】17.，，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【题干】18.设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围
【题干】19.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围________.
【题干】20.给出命题：
（1）在平行四边形中，.
（2）在中，若，则是钝角三角形.
（3），则
以上命题中，正确的命题序号是________．
【题干】21.已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
【题干】22.已知，，且，则________.
【题干】23.在中，，，求值．
【题干】24.（2006重庆）与向量，的夹角相等，且模长为的向量是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【题干】25.已知，则与垂直的单位向量的坐标为________；
【题干】26.已知，，且与垂直，求与的夹角.
【题干】27.若非零向量、满足，证明:
【题干】28.在中，，，且的一个内角为直角，求值
【题干】29.已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A. B. C. D.
【题干】30.已知向量，， ，则实数的值为________.
A. B. C. D.
【题干】31.在中，分别为三个内角所对的边，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【题干】32.已知，，若，则________.
【题干】33.内有一点，满足，且.则一定是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
【题干】34.已知点和，试推断能否在轴上找到一点，使？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
【题干】35.设，，，点上线段上的一个动点，．若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】36.设平面内的向量，，，点是直线上的一个动点，且，求的坐标及的余弦值.
【题干】37.设平面上向量与不共线，
（1）证明向量与垂直
（2）当两个向量与的模相等，求角．
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三、利用数量积解决夹角与垂直的问题
1）归纳总结：
① 直接用夹角公式求角；
② 利用方程（方程组）求夹角；
2）方法指导：求两个向量的夹角时，需要求出两个向量的数量积，两个向量模长乘积或者他们之间的倍数关系，再求余弦值进而求夹角.注意夹角范围.
【题干】1.已知向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【点评】先求向量与的数量积，再直接用夹角公式求解，题目容易.
【题干】2.若，则向量与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】∵，∴，且，∴， ∴向量与的夹角为.
【点评】利用向量的平行四边形法则，直接确定夹角，题目较易.
【题干】3.若向量与满足，，．则向量与的夹角等于；
【答案】.
【解析】设两个向量的夹角为，∵，∴，∴，
即，∴，∵，∴.
【点评】本题考查向量的夹角及垂直的充要条件.先求向量与的数量积，再直接用夹角公式求解，题目容易.
【题干】4.已知非零向量，满足且则与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】由已知非零向量，满足，且，设两个非零向量，的夹角为，所以，即，所以，，所以.
【点评】考查向量的数量积运算及向量的夹角.由已知可得，设与的夹角为，代入公式即得.较易.
【题干】5.向量，，，则与的夹角为______．
【答案】2π/3
【点评】本题考查向量的夹角及垂直的充要条件得代入夹角公式求解.
【题干】6.已知向量，，若向量与向量的夹角为，
则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】向量，，得到，所以向量与向量的夹角为，则.
【点评】考查夹角公式及坐标运算，设求其坐标，带入夹角公式求解，较易.
【题干】7.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值为_________.
【答案】.
【解析】由，，，得，即，∴，即.
【点评】将平方，得向量与的数量积，再利用夹角公式.较易.
【题干】8.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】由题意，可得，且，∴，且，故实数的取值范围为.
【点评】与的夹角为钝角，则且夹角不等于 ，这是本题易错点.
【题干】9.已知是内心，若，则__________.
【答案】.
【解析】如图，取中点，中点，并连接，，则：，.，；在
两边同乘以得：；
∴①；由①得，，带入得②，由①知；∴.
【点评】在两边同乘以，，构造方程组求解.难度一般.
【题干】10.已知，，若，则与夹角的余弦值的最小值等于_________.
【答案】.
【解析】∵，，，∴，代入数据可得. ∴，，∴与夹角的余弦值.
【点评】利用夹角公式，将其看成关于的一元二次方程，该方程有解；进而求出余弦值范围.
【题干】11.在中，，点在边上，且满足，则的最小值为_________.
【答案】.
【解析】如图，；∴；∵，；是向量，的夹角；∴；
∵；∴；
∴.
当时取“”，∴的最小值为.
【点评】因为，所以.建立坐标系，利用坐标运算求解，难度一般.
【题干】12.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
【答案】且.
【解析】∵，，∴，，又∵与的夹角为钝角，
∴ 解得.当 即时向量共线，应去除，∴实数的取值范围为：且.
【点评】与的夹角为钝角，则且夹角不等于，这是本题易错点.
【题干】13.设非零向量，，且，的夹角为钝角，求的取值范围
【答案】.
【解析】∵的夹角为钝角，∵，解得或①， 又由共线且反向可得②.由①②得的取值范围是.
【题干】14.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围.
【答案】.
【解析】根据题意，若与的夹角为锐角，则有且与不平行，由，可得，解可得或.若与不平行，则有且，即且.综合可得：的取值范围是.
【题干】15.已知点，，，且．
（1）若，求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）∵，∴，∴，
又，又∵.
（2）∵，又∵，∴，
∴ ，又由及.
∴.
【题干】16.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角．
【答案】.
【解析】由题意，，且与的夹角为，所以，，∵，
∴，同理可得．
而，设为与的夹角，
则．
【题干】17.，，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】设所求两向量的夹角为，∵，，
∴，∴，
即，∴．
【题干】18.设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围
【答案】.
【解析】∵，的夹角为钝角，，解得或，
（1）又由共线且反向可得；
（2）由（1），（2）得的范围是.
【题干】19.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围________.
【答案】或且.
【解析】与的夹角为锐角即且，可得或且.
【题干】20.给出命题：
（1）在平行四边形中，.
（2）在中，若，则是钝角三角形.
（3），则
以上命题中，正确的命题序号是________．
【答案】（1）（2）（3）.
【解析】（1）平行四边形法则，因此正确；
（2），∴，∴是钝角三角形；
（3），即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直，∴．
【题干】21.已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
【答案】.
【解析】由题意可得：化简得：①，化简得：②，两式相减得：，代入①或②得：，设的夹角为，则，
∴，即与的夹角为．
【题干】22.已知，，且，则________.
【答案】.
【解析】，又，∴，解得：.
【题干】23.在中，，，求值．
【答案】.
【解析】当时，，∴，∴，当时，，，
∴，∴，当时，，
∴，∴．
【题干】24.（2006重庆）与向量，的夹角相等，且模长为的向量是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B.
【解析】设是满足条件的向量，则，
即，于是有：，
又，解得：，或，．
【题干】25.已知，则与垂直的单位向量的坐标为________；
【答案】，.
【解析】设所求单位向量为，∵，∴，解得：，又，，解得：，∴，
【题干】26.已知，，且与垂直，求与的夹角.
【答案】.
【解析】设与的夹角为，∵与垂直，∴即，
∴，∴，∵，∴，
∴与的夹角为.
【题干】27.若非零向量、满足，证明:
【答案】见解析.
【解析】得：，∴，展开得:，故.
【题干】28.在中，，，且的一个内角为直角，求值
【答案】.
【解析】当时，，∴，∴，当时，，=，
∴，∴，当时，，
∴，∴.
【题干】29.已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由可得即所以角，
且及可得.
【题干】30.已知向量，， ，则实数的值为________.
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】，.
【题干】31.在中，分别为三个内角所对的边，设向量，，若，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由可得即，，所以角.
【题干】32.已知，，若，则________.
【答案】.
【解析】，，所以可得.
【题干】33.内有一点，满足，且.则一定是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
【答案】D.
【解析】为重心，由可知一定是等腰三角形.
【题干】34.已知点和，试推断能否在轴上找到一点，使？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
【答案】不存在.
【解析】令，则，，因为，
所以，即，得，此方程无实数解，
所以这样的点不存在．
【题干】35.设，，，点上线段上的一个动点，．若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】，，，，
故有，解得．又点在线段上，
故，综上知．
【题干】36.设平面内的向量，，，点是直线上的一个动点，且，求的坐标及的余弦值.
【答案】.
【解析】设，∵点在直线上，∴与共线，而，
∴，即，有. ∵，，∴，
即．又，∴，所以，，此时．．于是，，，∴．
【题干】37.设平面上向量与不共线，
（1）证明向量与垂直
（2）当两个向量与的模相等，求角．
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1），，∴；
（2）由题意：，得：，所以，得，又，得或.
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