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二、利用数量积解决模的问题
1）归纳总结：
① 求向量的模时，可先求向量模的平方，在通过向量数量积求解.
② 利用模的几何意义求解.
③ 利用向量的坐标求模.
2）方法指导：数量积满足数乘结合律，交换律，分配率类似于实数的多项式运算，常与平方公式结合，应用方程思想解题.
3）做题步骤：
① 确定平面向量的基底或者建系，将两点间的距离转化成向量的长度.
② 运用公式求出向量的长度.
③ 将向量长度还原成两点间的距离.
【题干】1.平面向量与的夹角为，，则等于_______.
【题干】2.已知向量与的夹角为，.则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】3.设单位向量的夹角为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】4.已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】5.已知平面向量，若，则_________．
【题干】6.已知和，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】7.已知向量，满足 则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】8.向量，与的夹角为，则最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】9.已知点是的重心，若，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】10.已知向量，满足，与的夹角为，则的值为 （ ）
A. B.
C. D.
【题干】11.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】12.已知，，，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】13.已知向量，若与垂直，则__________.
【题干】14.已知，与的夹角为，那么等于（ ）
A. B.
C. D.
【题干】15.设是边长为的正三角形， 则___________.
【题干】16.已知，，且．
（1）求的值；（2）求的值．
【题干】17.在中，已知，，，求．
【题干】18.已知，，与的夹角为，求：
（1）；（2）；（3）；（4）
【题干】19.已知向量，若与垂直，则________．
【题干】20.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【题干】21.已知与的夹角为，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【题干】22.设是边长为的正三角形， 则________.
【题干】23.已知，，和的夹角为，则为（ ）
A. B. C. D.
【题干】24.已知平面向量，．若，则__________．
【题干】25.已知，是非零向量，且，夹角为，则向量的模为________．
【题干】26.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【题干】27.在中，已知，．
（1）求边的长度；
（2）证明：；
（3）若，求．
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二、利用数量积解决模的问题
1）归纳总结：
① 求向量的模时，可先求向量模的平方，在通过向量数量积求解.
② 利用模的几何意义求解.
③ 利用向量的坐标求模.
2）方法指导：数量积满足数乘结合律，交换律，分配率类似于实数的多项式运算，常与平方公式结合，应用方程思想解题.
3）做题步骤：
① 确定平面向量的基底或者建系，将两点间的距离转化成向量的长度.
② 运用公式求出向量的长度.
③ 将向量长度还原成两点间的距离.
【题干】1.平面向量与的夹角为，，则等于_______.
【答案】.
【解析】，则，，.所以.
【点评】考查向量的模，将要求的向量平方即可，较容易.
【题干】2.已知向量与的夹角为，.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】∵向量与的夹角为，，
∴，∵，∴
∴（舍去）或.
【点评】将 两边平方，结合与的夹角为平面向量的数量积．题目较易. 求向量的模时，可先求向量模的平方，在通过向量数量积求解.为高频考点.
【题干】3.设单位向量的夹角为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【点评】考查向量的模及数量积，题目较易.
【题干】4.已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】根据已知条件，.
【点评】考查向量的模，直接平方计算，题目较易.
【题干】5.已知平面向量，若，则_________．
【答案】.
【解析】. ，，∴为.
【点评】考查平面向量的坐标运算及平面向的数量积与模.求向量是关键.较容易.
【题干】6.已知和，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【点评】考查向量垂直的条件以及向量模的运算，较容易.
【题干】7.已知向量，满足 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【点评】考查向量的模，将要求的向量平方即可，较容易.
【题干】8.向量，与的夹角为，则最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】由题得可设，， .
∴，
∴，当时，取最小值，此时
【点评】由几何性质知，当与方向相反时取得最小值，解三角形可知答案，题目一般.
【题干】9.已知点是的重心，若，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】∵，.所以，∴，
又∵点是的重心，∴. ∴的最小值为.
【点评】考查向量的模，向量的平方和模的平方是相等的，三角形重心的性质．难度一般.
【题干】10.已知向量，满足，与的夹角为，则的值为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】由乙知得，，∵，与的夹角为，∴，∴.
【点评】考查向量的数量积运算及向量的模，难度一般.
【题干】11.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】由题意，为直径，所以.所以为时，.所以的最大值为.
【点评】考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质.与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到.圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
【题干】12.已知，，，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】由题意可知：，故四边形为圆内接四边形，且圆的直径为，由勾股定理可得，因为为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：.
【点评】本题考查向量数量积的几何意义及向量模的几何意义．由几何性质知点、在以线段为直径的圆上，当为圆的直径时，取得最大值，题目较难.
【题干】13.已知向量，若与垂直，则__________.
【答案】.
【解析】∵，∴，∵，
∴，∴，∴. ∴.
【点评】本题的关键是向量垂直的条件是两个向量的数量积等于，还要清楚向量模长的计算公式.
【题干】14.已知，与的夹角为，那么等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】由已知得，，∵与的夹角为，
∴，∴.
【题干】15.设是边长为的正三角形， 则___________.
【答案】.
【解析】∵是边长为的正三角形，∴，，，
【点评】
【题干】16.已知，，且．
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1），（2）.
【解析】（1），∴；
（2）.
【题干】17.在中，已知，，，求．
【答案】.
【解析】∵，∴，∴，
∵，
∴.
【题干】18.已知，，与的夹角为，求：
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【题干】19.已知向量，若与垂直，则________．
【答案】.
【解析】，．
【题干】20.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】∵，∴.
【题干】21.已知与的夹角为，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【题干】22.设是边长为的正三角形， 则________.
【答案】.
【解析】.
【题干】23.已知，，和的夹角为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】，又可得.
【题干】24.已知平面向量，．若，则__________．
【答案】.
【解析】由，∴，∴.
【题干】25.已知，是非零向量，且，夹角为，则向量的模为________．
【答案】．
【题干】26.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】法一：由与垂直，知向量的终点落在以为直径的圆上，如图，易得：；
法二：，即（为与的夹角），即得最大值为.
【题干】27.在中，已知，．
（1）求边的长度；
（2）证明：；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）∵，
∴，∵，∴， 即边的长度为；
（2）由 得，，即，由①②得，
由正弦定理得，∴，∴；
（3）∵，由（2）中①得，由余弦定理得，∴.
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