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三、平面向量的坐标运算
1）归纳总结：
① 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识和任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习向量常用到的一种解题手段.
② 向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化.
2）规律方法：关键是理解平面向量的线性运算和坐标形式的运算性质和规律，解题时要注意方程思想的运用以及正确使用运算法则.
【题干】1.四边形是平行四边形，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】∵四边形为平行四边形，∴.
∴.
【点评】考查向量的加减及向量的相等，因为.题目容易. 向量相等的充要条件是方向相同大小相等，或者说坐标对应相等.
【题干】2.已知向量，，则向量的坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】∵向量，，∴.
【点评】考查向量的坐标运算，基础题，较易.
【题干】3.若向量，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】根据向量的加法和相反向量得.
【点评】考查向量的坐标运算，及向量的线性运算，题目较易.
【题干】4.已知，，，将用表示的表达式为________.
【答案】.
【解析】设. ∴，∴，∴.
【点评】考查平面向量的坐标运算及平面向量的基本定理.设，解方程组可得，题目容易.
【题干】5.已知点和向量，若，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】设，点和向量，若，可得.解得.
【点评】考查向量的坐标运算，设，由，解方程组可得.题目容易.
【题干】6.已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】根据平面向量基本定理，得向量，不共线，∵，.∴，∴.
【点评】考查平面向量基本定理及坐标运算.是平面向量的一组基底，即为不共线的非零向量.
【题干】7.已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】作为基底不共线即可，A.，共线，B.，共线.C.，不共线.D.，共线.
【点评】考查平面向量的坐标运算及平面向量的基本定理. 解方程组可得.题目容易.
【题干】8.已知，若，求的坐标；
【答案】
【解析】∵，∴，.
∴
【题干】9.在平行四边形中，为一条对角线，若，，
则_______．
【答案】.
【解析】∵由向量加法的平行四边形法则可知..∴.
∴.
【点评】考查平面向量坐标运算及线性运算，将用，表示出来即得.
【题干】10.若， 且，求点的坐标；
【答案】的坐标为.
【解析】∵， 且，∴令的坐标为.
则 ，解得.的坐标为.
【点评】考查平面向量的坐标运算及平面向量的基本定理.解方程组可得.题目容易
【题干】11.在中，点，满足，.
若，则_________；_________.
【答案】，.
【解析】.所以，.
【点评】注意解方程组利用的对应向量相等，对应项的系数相同，从而列出方程组.
【题干】12.在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，，则点的坐标为___________.
【答案】.
【解析】平行四边形中，，
∴.
【题干】13.已知向量，，，若，则 ．
【答案】
【解析】
【题干】14.在直角坐标系中，已知，，，求证：、、三点共线．
【答案】见解析.
【解析】由已知条件，得，，∵，∴，∴三点共线.
【题干】15.已知，，当与平行，为何值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由已知，，得，．
因，故．得．
【题干】16.已知，当实数取何值时，与平行？
【答案】.
【解析】方法一：∵，∴存在唯一实数使，将、的坐标代入上式得，得，且，
解得，
方法二：同法一有，即—2，
∵与不共线，∴ ，∴.
【题干】17.点、、，若，试求为何值时，点在一、三象限角平分线上．
【答案】.
【解析】设点的坐标为，则，
∵，
∴，
∵，∴，又∵在一、三象限角平分线上，∴，解得：.
【题干】18.如图，已知，，求线段的其中一个四等分点的坐标．
【答案】
【解析】方法一：∵，设中点为，
则，∴的中点为，
则
方法二：∵，
∴
【题干】19.若平面向量，满足，平行于轴，，
则________.
【答案】
【解析】或，则
或.
【题干】20.设为坐标原点，向量．将绕着点按逆时针方向旋转得到向量，则的坐标为________．
【答案】
【解析】设，则有，解得或，又易知点在第二象限内，故，．
【题干】21.正方形对角线交点为，坐标原点不在正方形内部，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，有，，有，
即，解得或，∵坐标原点不在正方形内部，∴结合草图可知点必在第一象限内，故．．
【题干】22.已知，
①求；
②当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？
【答案】①；②
【解析】①因为，所以，
则；
②，，因为与平行，
所以，即得．此时，，则，即此时向量与方向相反．
【题干】23.已知、、且，，求点、的坐标及向量的坐标.
【答案】
【解析】∵、、∴ ，
∴，，设，
则，因此 得，∴，同理可得，∴.
【题干】24.已知向量，若不超过，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】解得的取值范围是.
【题干】25.已知向量，，则的最大值为________.
【答案】.
【解析】.
【题干】26.已知向量，，若，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】已知、的坐标，当求时，运用两向量平行的充要条件可求值．，
【题干】27.已知点，，及，
求（1）为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限.
（2）四边形能否构成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不能.
【解析】（1），若在轴上，只需，
∴；若在轴上，只需，∴；若在第二象限，只需，∴.
（2）∵若为平行四边形，则，
由于无解，故四边形不能构成平行四边形.
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三、平面向量的坐标运算
1）归纳总结：
① 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识和任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习向量常用到的一种解题手段.
② 向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化.
2）规律方法：关键是理解平面向量的线性运算和坐标形式的运算性质和规律，解题时要注意方程思想的运用以及正确使用运算法则.
【题干】1.四边形是平行四边形，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】2.已知向量，，则向量的坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】3.若向量，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【题干】4.已知，，，将用表示的表达式为________.
【题干】5.已知点和向量，若，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】6.已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】7.已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）．
A. B.
C. D.
【题干】8.已知，若，求的坐标；
【题干】9.在平行四边形中，为一条对角线，若，，
则_______．
【题干】10.若， 且，求点的坐标；
【题干】11.在中，点，满足，.
若，则_________；_________.
【题干】12.在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，，则点的坐标为___________.
【题干】13.已知向量，，，若，则 ．
【题干】14.在直角坐标系中，已知，，，求证：、、三点共线．
【题干】15.已知，，当与平行，为何值（ ）
A. B. C. D.
【题干】16.已知，当实数取何值时，与平行？
【题干】17.点、、，若，试求为何值时，点在一、三象限角平分线上．
【题干】18.如图，已知，，求线段的其中一个四等分点的坐标．
【题干】19.若平面向量，满足，平行于轴，，
则________.
【题干】20.设为坐标原点，向量．将绕着点按逆时针方向旋转得到向量，则的坐标为________．
【题干】21.正方形对角线交点为，坐标原点不在正方形内部，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【题干】22.已知，
①求；
②当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？
【题干】23.已知、、且，，求点、的坐标及向量的坐标.
【题干】24.已知向量，若不超过，则的取值范围是________．
【题干】25.已知向量，，则的最大值为________.
【题干】26.已知向量，，若，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
【题干】27.已知点，，及，
求（1）为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限.
（2）四边形能否构成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.
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