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四、平面向量共线的坐标运算
1）归纳总结：两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
① 已知两个向量的坐标判定两向量共线，联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
② 已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
2）规律方法：
① 与向量共线的向量可以设为，结合其他条件列出关于的方程，求出.
② 坐标表达式运用，直接利用向量相等坐标对应相等.向量平行坐标对应成比例即可.
【题干】1.已知向量，向量，且，则等于（ ）．
A. B.
C. D.
【题干】2.已知三点共线，且，若点的横坐标为，则点的纵坐标为（ ）．
A. B.
C. D.
【题干】3.已知向量，则下列选项中与共线的一个向量为（ ）．
A. B.
C. D.
【题干】4.中，三内角所对边长分别为，若向量，，且 ，则角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】5.证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数满足等式，使得．
【题干】6.已知 ，直线 与线段交于，且，
则实数等于________.
【题干】7.已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】8.在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，，则点的坐标为________．
【题干】9.已知向量，，若向量与平行，则______.
【题干】10.如图所示，已知点 ，求与的交点的坐标．
【题干】11.已经向量，，点.若点满足，求和的值.
【题干】12.已知三点，其中
（1）若是坐标原点，且四边形是平行四边形，试求的值.
（2）若三点共线，试求的最小值.
【题干】13.已知四点.求证：四边形是梯形.
【题干】14.已知平面上三点的坐标分别为，求点的坐标使这四点构平行四边形四个顶点.
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四、平面向量共线的坐标运算
1）归纳总结：两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
① 已知两个向量的坐标判定两向量共线，联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
② 已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
2）规律方法：
① 与向量共线的向量可以设为，结合其他条件列出关于的方程，求出.
② 坐标表达式运用，直接利用向量相等坐标对应相等.向量平行坐标对应成比例即可.
【题干】1.已知向量，向量，且，则等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】∵，∴ ，解得.
【点评】直接利用向量共线的坐标表示，列方程求解，坐标表达式运用，直接利用向量相等坐标对应相等.向量平行坐标对应成比例即可.题目容易.
【题干】2.已知三点共线，且，若点的横坐标为，则点的纵坐标为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】∵，∴直线的斜率是，∴直线的方程是.即 ，∵三点在同一直线上，∴.
∴.
【点评】三点共线问题，用三个点构造两个向量共线，解方程求解.
【题干】3.已知向量，则下列选项中与共线的一个向量为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】利用共线向理定理，只需找到一个实数，使得，即可得，经验证，只有选项D，满足题意.
【点评】利用共线向量的性质定理直接判断，题目容易.
【题干】4.中，三内角所对边长分别为，若向量，，且 ，则角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】，∴.∴，，
∴.
【点评】考查平面向量共线坐标表示，由知，结合余弦定理求解，难度一般.
【题干】5.证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数满足等式，使得．
【答案】见解析.
【解析】证明：∵向量的终点共线，∴三点共线，
设，则.，
令 .那么，反之，，所以.所以，即三点共线.
【点评】利用向量共线的基本定理的方法来证明三点共线是一种常用方法，一定要明白其道理.向量平行且共点是证明三点共线的关键.
【题干】6.已知 ，直线 与线段交于，且，
则实数等于________.
【答案】.
【解析】设，则，∵，
∴ ，解得，∴.又∵在直线上，
∴，∴.
【点评】设出点坐标，利用得点坐标后，代入直线方程可解，题目较易.
【题干】7.已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】∵，∴.由于与平行，得，解得.
【点评】向量平行或垂直的坐标运算是高考的重点，但是这种题很容易得分，为必会题.
【题干】8.在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，，则点的坐标为________．
【答案】.
【解析】设，向量.向量.，，.
【题干】9.已知向量，，若向量与平行，则______.
【答案】0
【点评】考查平面向量的坐标运算及平面向量平行的判定与性质，依题意可得，，用共线向量的坐标表示列方程求解，题目容易.
【题干】10.如图所示，已知点 ，求与的交点的坐标．
【答案】点坐标为.
【解析】设.
则.，
由共线的充要条件知，解得，
∴，∴点坐标为.
【点评】考查共线向量坐标运算，设．因为三点共线，列方程求解．题目较易.
【题干】11.已经向量，，点.若点满足，求和的值.
【答案】.
【解析】（1）设，∵，∴，∴ 解得 ，即，同理可得.所以线段的中点的坐标为.
（2）∵，∴由得，
∴解得.
【点评】本题主要考共线向量的坐标运算.由三点坐标和可得出关于的方程组，求解即可.难度一般.
【题干】12.已知三点，其中
（1）若是坐标原点，且四边形是平行四边形，试求的值.
（2）若三点共线，试求的最小值.
【答案】见解析
【解析】解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以 →OA= →BC，即(a，0)=(2，2-b)，
解得a=2，b=2.
(2)根据题意，A(a，0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，可得kAB=kBC，
即b 00 a=b 20 2，化简可得-a(2-b)-2b=0，即ab=2a+2b.
因为a>0，b>0，
所以2(a+b)=ab≤(a+b2)2，
即(a+b)2-8(a+b)≥0，
解得a+b≥8或a+b≤0.
因为a>0，b>0，
所以a+b≥8，
即a+b的最小值是8，当且仅当a=b=4时，“=”成立.
【点评】（1）由向量相等列方程组求的值.（2）把三点共线转化为向量共线，由向量共线列关于的等量关系式，再根据基本不等式求的取值范围.难度一般.
【题干】13.已知四点.求证：四边形是梯形.
【答案】见解析.
【解析】∵直线的斜率，直线的斜率.
∴，∵.，∴.∴四边形一组对边平行而不相等，∴四边形是梯形.
【点评】考查共线向量坐标运算，由易证.
【题干】14.已知平面上三点的坐标分别为，求点的坐标使这四点构平行四边形四个顶点.
【答案】
【解析】设，以和为边形成的平行四边形， 即.解得：，所以.以和为边形成的平行四边形， 即.解得：，所以.以和为边形成的平行四边形， 即 解得：，所以.因此当的坐标为时，使这四点构成平行四边形四个项点.
【点评】考查共线向量，本题有三种情况需要考虑，学生易丢解.难度一般.
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