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二、平面向量基本定理的应用
归纳总结：
1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；
2）这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
3）规律方法：
① 该平面内任何一个向量都可以表示成基底的线性组合，基底不同，表示方法也不一样.
② 利用已知向量表示未知向量，实质上就是利用平行四边形法则或三角形法则加减数乘运 算.
【题干】1.如图，在中， ，是上的一点，
若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】∵三点共线，∴存在实数使得.又，∴，
解得.
【点评】本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理.三点共线是解题关键，难度一般.
【题干】2.已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点，），则等于（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A.
【解析】设是对角线上的一点（不含），过分别作的平行线，则可得.设 ，则且，于是.
【题干】3.如图所示，是上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于外的一点，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】根据题意我们可以对向量关系式进行两边平方，然后在进行化简求范围，最后就能得到其结果，计算的时候要小心，不能马虎大意，这类题很基础.
【点评】本题考查平面向量基本定理．共线，故存在，使得且，难度一般.
【题干】4.在中，为边上任意一点，为中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】设，则.∴，∴.
【点评】利用平面向量基本定理，且若三点共线，则 求解.
【题干】5.在中，，，且与相交于点是的中点，与相交于点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】根据题意，可得，∴，即.
【点评】本题考查平面向量基本定理及向量线性运算，难度一般.
【题干】6.在四边形中，，且不共线，则四边形的形状是（ ）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 矩形
【答案】A
【解析】，，∴，∴，且，四边形为梯形.
【点评】本题考查平面向量基本定理及共线向量定理，难度一般.
【题干】7.在如图所示的平行四边形中，，为的中点，则_________.(用表示)．
【答案】.
【解析】由，得，即.
又∵，所以.
【点评】本题考查平面向量基本定理及向量线性运算，由得出，难度一般.
【题干】8.如图，已知 的面积为，分别为边上的点，
且，与交于.设存在和使，，，
（1）求及 ；（2）用表示；
【难度】***
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由于，，则.，.，..由①②得
（2）.
【点评】考查平面向量基本定理，本题易出现为边上任意一点这一条件不会用，不会转化，从而误解.难度一般.
【题干】9.如图，中，为的中点，为的中点，过点任作一直线分别交于两点．若，，求的值．
【答案】.
【解析】设，，则，，.
∴..
∵与共线，∴存在实数 ，使.
∴，∵与不共线，
∴消去，得.
【题干】10.设为所在平面内一点，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】由已知得到如图：由
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二、平面向量基本定理的应用
归纳总结：
1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；
2）这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
3）规律方法：
① 该平面内任何一个向量都可以表示成基底的线性组合，基底不同，表示方法也不一样.
② 利用已知向量表示未知向量，实质上就是利用平行四边形法则或三角形法则加减数乘运 算.
【题干】1.如图，在中， ，是上的一点，
若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【题干】2.已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点，），则等于（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【题干】3.如图所示，是上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于外的一点，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】4.在中，为边上任意一点，为中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【题干】5.在中，，，且与相交于点是的中点，与相交于点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【题干】6.在四边形中，，且不共线，则四边形的形状是（ ）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 矩形
【题干】7.在如图所示的平行四边形中，，为的中点，则_________.(用表示)．
【题干】8.如图，已知 的面积为，分别为边上的点，
且，与交于.设存在和使，，，
（1）求及 ；（2）用表示；
【题干】9.如图，中，为的中点，为的中点，过点任作一直线分别交于两点．若，，求的值．
【题干】10.设为所在平面内一点，则（ ）．
A. B.
C. D.
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