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四、向量与解析几何的综合问题
1）归纳总结：向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决.
2）方法：把点坐标转化成向量坐标，进行向量的运算.利用向量相等，共线，垂直的坐标形式进行运算.
【题干】1.在平面直角坐标系中，已知点是半圆上的一个动点，点在线段的延长线上；当时，点的轨迹为（ ）.
A. 线段 B. 圆弧
C. 抛物线一段 D. 椭圆一部分
【题干】2.已知直线：与圆:交于、两点且，则（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】3.已知直线与抛物线交于，两点，点，若，则（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】4.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】5.已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则等于（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】6.已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为、，则的取值范围为________.
【题干】7.已知过点且斜率为的直线与圆：交，两点.
（1）求的取值范围；
（2），其中为坐标原点，求.
【题干】8.已知，，曲线上的任意一点满足:．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与轴的交点分别为、，过的任意直线（直线与轴不重合）与曲线交于、两点，直线与交于点．问：点是否在同一直线上 若是，请求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．
【题干】9.已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于两点，若，，求直线的方程
【题干】10.已知两动圆和，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．
（1）求曲线的方程；
（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求面积的最大值．
【题干】11.在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点 满足，，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设直线与曲线有唯一公共点，且与直线相交于点，试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
【题干】12.已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，求的最小值.
【题干】13.已知平面上一定点 和直线，为该平面上一动点，作，垂足为，且
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若为圆的任一条直径，求的最值．
【题干】14.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点满足，当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程．
【题干】15.如图，抛物线上有两点、，且，又.
（1）求证：；
（2）若，求所在直线方程．
【题干】16.已知向量，，若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离
【题干】17.已知，若动点满足，求动点的轨迹方程.
【题干】18.已知两点，且点使成公差小于的等差数列.
（1）点的轨迹是什么曲线？
（2）若点的坐标为，记为与的夹角，求.
【题干】19.如图，给出定点和直线：，是直线上的动点，的平分线交于点，求点的轨迹方程.
【题干】20.如图，设点为抛物线上非原点的两个动点，已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
【题干】21.已知射线、的方程分别为，，动点、分别在、上滑动，且.
（1）若，求点的轨迹的方程；
（2）已知，，请问在曲线上是否存在动点满足条件，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【题干】22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，若点满足，点的轨迹与抛物线交于、两点.
（1）求的轨迹方程；
（2）求证：；
（3）在轴正半轴上是否存在一定点，使得过点的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的倍，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【题干】23.已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且．
（1）求点的轨迹；
（2）直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
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四、向量与解析几何的综合问题
1）归纳总结：向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决.
2）方法：把点坐标转化成向量坐标，进行向量的运算.利用向量相等，共线，垂直的坐标形式进行运算.
【题干】1.在平面直角坐标系中，已知点是半圆上的一个动点，点在线段的延长线上；当时，点的轨迹为（ ）.
A. 线段 B. 圆弧
C. 抛物线一段 D. 椭圆一部分
【答案】A
【解析】设，，其中，则，
∵，
∴，由，得：，∴.
从而，故点的轨迹是一条线段，其两个短点的坐标分别为，.
【点评】利用向量的运算求轨迹要理解解析几何关系与向量表示的内在联系，正确理解向量条件是解题的基础.
【题干】2.已知直线：与圆:交于、两点且，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得弦长对的圆心角等于，故弦心距等于半径的二分之根二倍，等于，故有 ，求得.
【点评】考查直线与圆、向量的数量积，利用条件转化为的方程求解.难度一般.
【题干】3.已知直线与抛物线交于，两点，点，若，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，，解得或，则，，点，若，可得.化简，解得.
【点评】考查直线与抛物线的位置关系、向量的数量积，利用条件转化为的方程求解.难度一般.
【题干】4.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设直线的方程为： ，点，，直线与 轴的交点为， 代入，可得，根据韦达定理有，∵，∴ ，从而，∵ 点位于 轴的两侧，∴，故.不妨令点在轴上方，则 ，又 ，∴ ，当且仅当，
即 时，即“=”号，∴与面积之和的最小值是.
【点评】考查抛物线的几何性质、向量的数量积，利用三角形面积公式.难度一般.
【题干】5.已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则等于（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】（1）若，，代入直线方程得：，代入圆的方程得：；∴，，或∴，；
∴；
（2）若，由直线方程得，代入圆的方程并整理得：；将代入上面方程得；解得；∴时， ；时，；
∴，；
∴；
【点评】考查直线与圆的位置关系、向量的数量积，利用圆心到直线的距离公式，进而求，难度一般.
【题干】6.已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为、，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】设与的夹角为，则，
∴.
记，则，∵在椭圆的左顶点时，，∴，∴的最大值为，
∴的范围为.
【点评】考查椭圆的几何性质、平面向量数量积的运算.难度一般.
【题干】7.已知过点且斜率为的直线与圆：交，两点.
（1）求的取值范围；
（2），其中为坐标原点，求.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题设，可知直线的方程为，因为与交于两点，所以
，解得，所以的取值范围是：.
（2）设，，将代入方程，
整理得，所以，
，由题设可得，解得，所以直线的方程为：.故圆心在引线上，所以.
【点评】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于的不等式，即可求出的取值范围；（2）设，，将直线方程代入圆的方程化为关于的一元二次方程，利用韦达定理将用表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及列出关于方程，解出，即可求出.
【题干】8.已知，，曲线上的任意一点满足:．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与轴的交点分别为、，过的任意直线（直线与轴不重合）与曲线交于、两点，直线与交于点．问：点是否在同一直线上 若是，请求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设点 ，得，，，代入，化简得，所以曲线的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，将直线方程代入曲线
中，化简得，
设点，，利用根与系数的关系得，，在曲线的方程中令得，不妨设，，则，则直线:，同理直线：，由直线方程，，消去，得
当直线的斜率不存在时，则直线方程为，可得点的横坐标为.
综合（1）（2）得，点是在同一条直线上.
【点评】考查向量的坐标运算、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系．（1）设点则由及向量的坐标运算可求；（2）过点的直线可分斜率存在与不存在两种情况讨论.属难题.
【题干】9.已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于两点，若，，求直线的方程
【答案】（1） （2） 或
【解析】（1）由已知到点的距离等于它到直线的距离，故点在以为焦点，以为准线的抛物线上，∴曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，联立 得，∴，，
，∴，∴，
故直线的方程为或.
【点评】（1）中动点的轨迹与抛物线的定义类似，因此可结合抛物线定义求解；（2）中求直线方程采用待定系数法，将直线设出，与曲线联立方程，找到交点坐标与向量关系式的联系，代入点的坐标化简，从而求得直线斜率，化简过程中注意利用根与系数的关系
【题干】10.已知两动圆和，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．
（1）求曲线的方程；
（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1）曲线的方程是： （2） （3）
【解析】（1）设两动圆的公共点为，则有，由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，，所以曲线的方程是：.
（2）证明：由题意可知：，设，，当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：，过定点；
当的斜率存在时，设直线： ，联立方程
把②代入①有：，③， ④，因为 ，所以有，
，把③④代入整理：
，（有公因式）继续化简得， 或（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点.
（3）的面积，由第（2）小题的③④代入整理得： ，因在椭圆内部，所以，可设，，∵ ，
∴ （时取到最大值），所以面积的最大值为.
【点评】本题解析几何问题，考查学生的运算求解能力，考查逻辑推理能力，（1）定义法求椭圆方程；（2）可看作是直线与椭圆的位置关系问题，解决它的方法一般是设直线的方程为（需另外讨论斜率不存在时的情形）.
【题干】11.在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点 满足，，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设直线与曲线有唯一公共点，且与直线相交于点，试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）;（2）在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.
【解析】（1）设 由得 ，又因为，
∴，，由得，即，∴ 曲线的方程式为.
（2）解法1：由曲线关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，又因为设，
由直线与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由，得，∴，∴直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴，，∵点在以为直径的圆上，∴，要使方程对恒成立，必须有，解得，∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.
解法2：设点，由与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由，得，∴，∴直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴以为直径的圆方程为：①
分别令和，由点在曲线上，得，将的值分别代入①得：②；③，
②③联立解得 或，∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，将的坐标代入①式得，①式，
左边右边，将的坐标代入①式得，①式，左边不恒等于，
∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为
【点评】（1）设点的坐标，由得的坐标，进而可得，，的坐标，利用，代入，化简，即可得曲线的方程；（2）设点，，由已知得直线与抛物线相切，利用导数可得直线的方程，令 可得点的坐标，利用，即可得的值
【题干】12.已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，求的最小值.
【答案】（1）抛物线的标准方程为；（2）
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
则题意得，，∴，，∴椭圆的标准方程为 ，∴右顶点的坐标为，设抛物线的标准方程为 ，∴，，∴抛物线的标准方程为.
（2）设的方程为：，的方程，，，，，由消去得，
∴，，由 ，得
∴， ∴
，当且仅当即时，有最小值.
【点评】考查椭圆的标准方程，抛物线的标准方程、平面向量的数量积、直线与抛物线的位置关系.属难题.
【题干】13.已知平面上一定点 和直线，为该平面上一动点，作，垂足为，且
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若为圆的任一条直径，求的最值．
【答案】（1）；（2）最小值为 .
【解析】（1）设 ，则．由，
得，即，化简得，
所以点 在椭圆上，其方程为.
（2）如下：，是椭圆上的任一点，设，
则有，即又因为，
所以
因 ，所以当 时，取得最大值，故的最大值为；当 时，取得最小值，（此时），故的最小值为
【点评】第（1）问直接设动点的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第（2）问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点与定点的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解．
【题干】14.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点满足，当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程．
【答案】 ．
【解析】设为所求轨迹上任一点，设，，
则，，，由，
得.①由，得，∴，∴ ，把代入①，
得，整理得 ．
【题干】15.如图，抛物线上有两点、，且，又.
（1）求证：；
（2）若，求所在直线方程．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由题意得：、，∵，
∴ ∴，，，
∵，
∴，即：；
（2）∵，∴，∴，
∴，∴为或，得或，
∴的方程为：．
【题干】16.已知向量，，若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离
【答案】C.
【解析】由题设有，
即，
而圆心到直线的距离为，因圆的半径也为，
所以直线与圆相切．
【题干】17.已知，若动点满足，求动点的轨迹方程.
【答案】
【解析】，由已知得，化简得，即，这就是动点的轨迹方程.
【题干】18.已知两点，且点使成公差小于的等差数列.
（1）点的轨迹是什么曲线？
（2）若点的坐标为，记为与的夹角，求.
【答案】（1），（2）
【解析】设，则，，，
由题设得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆在轴的右侧部分.
（2），， ，故，.
【题干】19.如图，给出定点和直线：，是直线上的动点，的平分线交于点，求点的轨迹方程.
【答案】.
【解析】设，由平分，
可得：，当时有， （*）又由三点共线得，与（*）联立消去，
可得：，即，
若，则也满足上式，故点的轨迹方程为.
【题干】20.如图，设点为抛物线上非原点的两个动点，已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
【答案】见解析.
【解析】设，，，所以有，，，，，由，
易得①，又由②，
再由③，将①②两式代入③式并化简整理，得为点的轨迹方程，它表示以点为圆心，
以为半径的圆（除去原点）.
【题干】21.已知射线、的方程分别为，，动点、分别在、上滑动，且.
（1）若，求点的轨迹的方程；
（2）已知，，请问在曲线上是否存在动点满足条件，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在.
【解析】（1）设，，
则，，
所以，即，又因为，
所以 ，代入得：.
（2），所以，，
因为，所以，得，
又，联立得，因为，所以不存在这样的点.
【题干】22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，若点满足，点的轨迹与抛物线交于、两点.
（1）求的轨迹方程；
（2）求证：；
（3）在轴正半轴上是否存在一定点，使得过点的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的倍，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】（1）设，由知，点的轨迹为.
（2）由消得：，设，，
则，，所以，
所以，于是.
（3）假设存在过点的弦符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为，由消得：，设，，则，，因为过点作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的倍，所以即，所以得，所以存在.
【题干】23.已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且．
（1）求点的轨迹；
（2）直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1），（2）或.
【解析】（1）设，则，
∵，∴，，∴，又，
即为的中点，∴，因此，的轨迹方程为：，其轨迹为以为焦点的抛物线.
（2）设，与联立得：（*），
设，则是（*）式的两根，且，
由得：，即，∴，
∴，∴.因此，直线方程可写为：，
（*）式可化为：，
而，
即：，令，解得，∴，
∴或.
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