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三、向量与三角的综合问题
归纳总结：向量与三角函数综合在一起的题目，通过向量作载体，重点考查三角函数的化简，性质，一般属于中低档题目.
【题干】1.已知的面积为且满足，设和的夹角为．
（1）求的取值范围；
（2）求函数的值域．
【题干】2.在中，角为锐角，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量，共线．
（1）求角的大小；
（2）如果，且，求的值．
【题干】3.在中，角、、所对的边分别是，，向量，且与共线．
（1）求角的大小;
（2）设，求的最大值及此时角的大小．
【题干】4.已知，且.
（1）在中，若，求的大小；
（2）若，将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到的图像，求的单调减区间.
【题干】5.已知函数，其中，，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，，，且向量与共线，求边长和的值.
【题干】6.已知向量，，函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求，和的面积.
【题干】7.已知，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，且，求的值．
【题干】8.设函数，其中向量，，．
（1）求的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，、、分别是角，，的对边，已知，， 的面积为，求的值．
【题干】9.已知向量与互相平行，其中．
（1）求和的值；
（2）若，，求的值．
【题干】10.已知向量，，，.
（1）当时，求向量与的夹角；
（2）当时，求的最大值；
（3）设函数，将函数的图像向右平移个长度单位，向上平移个长度单位后得到函数的图像，且，
令，求的最小值．
【题干】11.已知向量，，设函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值．
【题干】12.已知，，
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求函数的值域．
【题干】13.已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【题干】14.已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角________．
【题干】15.已知向量，，且，那么与的夹角的大小是________．
【题干】16.已知向量，，且.
（1）求及；
（2）若的最小值是，求的值．
【题干】17.设平面上、两点的坐标分别是，，
其中．
（1）求的表达式；
（2）记，求函数的最小值．
【题干】18.为的内角、、的对边，，，且与的夹角为，求.
【题干】19.在中，分别为角、、的对边；若向量与的夹角为，求角的大小.
【题干】20.已知、、三点的坐标分别为、、.
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值.
【题干】21.已知：、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.求角的大小.
【题干】22.在中，已知角为锐角，向量，，．
（1）向量时，求；
（2）求的最大值．
（3）若，求的三个内角和边的长．
【题干】23.如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直线的倾斜角为，，设，．
（1）用表示点的坐标及；
（2）若，求的值．
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三、向量与三角的综合问题
归纳总结：向量与三角函数综合在一起的题目，通过向量作载体，重点考查三角函数的化简，性质，一般属于中低档题目.
【题干】1.已知的面积为且满足，设和的夹角为．
（1）求的取值范围；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）向量夹角的范围为; （2）的取值范围为
【解析】（1）由题意可得，∵的面积为，
∴，变形可得，∴，
由，可得，解得，又∵，
∴向量夹角的范围为；
（2）化简可得
，∵由（1）知，
∴，∴，∴，
∴的取值范围为.
【点评】利用三角形面积公式表示面积为，再利用平面向量数量积公式表示，把等式中的代入不等式中解三角不等式求出的范围；第二步先用降幂公式再用辅助角公式把函数式化为标准形式，再根据，求出的范围，最后求出函数的值域.
【题干】2.在中，角为锐角，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量，共线．
（1）求角的大小；
（2）如果，且，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由向量，共线有: ，
∴.又因为，∴，∴，.
（2）由，得，由余弦定理得：，得，故.
【点评】（1）先用数量积的概念转化为三角函数的形式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（2）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
【题干】3.在中，角、、所对的边分别是，，向量，且与共线．
（1）求角的大小;
（2）设，求的最大值及此时角的大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因与共线，所以，即，故.而，所以.
（2）∵，∴，故，此时，因，所以.
【点评】（1）直接由共线定理可得等式，然后运用余弦定理可求出角的余弦值，进而判断角的大小即可；（2）由（1）知，可将函数的表达式化简为，然后根据角的取值范围即可得出的最大值并求出此时角的大小即可.
【题干】4.已知，且.
（1）在中，若，求的大小；
（2）若，将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到的图像，求的单调减区间.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）由题意，
∴，或，∵，
（2）∵，由题意，由，，得，.
【点评】（1）利用数量积公式以及二倍角公式得到关于的方程，解方程得到的值，结合角的范围，得到角；（2）求出，利用三角恒等变形化为的形式，再利用图像变换法则得到，然后利用整体思想求其单调区间.
【题干】5.已知函数，其中，，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，，，且向量与共线，求边长和的值.
【答案】（1），；（2）略
【解析】（1）由题意知：
，∴的最小正周期. 由，.求得，，∴的单调递减区间，.
【点评】利用数量积公式 、降幂公式和辅助角公式求出函数，借助余弦函数的单调性求递减区间；第二步利用余弦定理.
【题干】6.已知向量，，函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求，和的面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】（1）.因为，
所以
（2），因为，，
所以，，则 ，
所以，即，则，
从而.
【点评】考查向量数量积、三角函数性质、解三角形的相关知识，（1）由向量的数量积坐标运算可得；（2）利用余弦定理求解.
【题干】7.已知，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知：，，则：
，所以函数的最小正周期为：.
（2）由于，所以，解得：，所以：因为，所以，则，
解得：.
【点评】（1）利用辅助角公式把三角函数化简，然后利用周期公式（2）代入值，得到关于的方程，利用已知范围，可求得．
【题干】8.设函数，其中向量，，．
（1）求的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，、、分别是角，，的对边，已知，， 的面积为，求的值．
【答案】（1），单调递减区间是，
（2）
【解析】（1），所以函数的最小正周期，
令，，解得：，函数的单调递减区间是，
（2）由，得，即，在中，
∵，∴，∴，解得，
又∵，∴在中，由余弦定理得：，∴.由，
得，，∴
【点评】（1）根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式可得；（2）由余弦定理可得.
【题干】9.已知向量与互相平行，其中．
（1）求和的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）∵向量与互相平行，∴，
由，由，则，；
（2）∵，，又因为，则，
则，
则有
【点评】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中；（2）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定；（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.
【题干】10.已知向量，，，.
（1）当时，求向量与的夹角；
（2）当时，求的最大值；
（3）设函数，将函数的图像向右平移个长度单位，向上平移个长度单位后得到函数的图像，且，
令，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）当时，向量，，，，
，∴
（2） . ∴，∴，当，即，，
（3）函数，将函数的图象向右平移个长度单位，
向上平移个长度单位后得到函数的图象，且，
∴，，，.，
【点评】考查向量的数量积、三角恒等变换及最值问题.（1）先确定当时的、，再根据向量的数量积的坐标表示及模的表示确定、、的模，然后根据求出；（2）利用二倍角公式及三角恒等变化；（3）利用二倍角公式及三角恒等变化.
【题干】11.已知向量，，设函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】 .
（1）当时，单调递增，解得， ∴的单调递增区间为，
（2）
【点评】（1）利用向量的数量积及二倍角的正、余弦公式，求出的解析式，再根据余弦函数的单调性，确定单调增区间；（2）借助于，将转化为用表示的式子即可求出.
【题干】12.已知，，
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1），；（2）
【解析】，
令，，得，
∴函数的单调增区间为，.
（2）时，，∴，
∴当时，函数的值域为.
【点评】先利用平面向量的数量积运算化简成的形式，再利用整体思想与三角函数的图像与性质进行求解．
【题干】13.已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】，又.
【题干】14.已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角________．
【答案】.
【解析】，又为三角形的内角，故，由，及正弦定理知：，
或（舍去），故，于是．
【题干】15.已知向量，，且，那么与的夹角的大小是________．
【答案】
【解析】，故它们的夹角为．
【题干】16.已知向量，，且.
（1）求及；
（2）若的最小值是，求的值．
【答案】.
【解析】（1），，
∵，∴.
（2），，∴，①当时，时，
有，故，又，故；
②当时，时，有；
③当时，时，有，舍去.
综上所述：.
【题干】17.设平面上、两点的坐标分别是，，
其中．
（1）求的表达式；
（2）记，求函数的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）（∵）.
（2），∵，∴当时，；当时，；当时，，．
【题干】18.为的内角、、的对边，，，且与的夹角为，求.
【答案】.
【解析】∵，，
∴，又，∴，∴.
【题干】19.在中，分别为角、、的对边；若向量与的夹角为，求角的大小.
【答案】.
【解析】由题意得：，
即，∴，∴，
∴或（舍去），∵，∴
【题干】20.已知、、三点的坐标分别为、、.
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，
∴，，由得，，又，∴.
（2）由，得，
∴，∴，
又.
【题干】21.已知：、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.求角的大小.
【答案】.
【解析】（1），， ∵，∴，
∴，∵，∴，∴，.
【题干】22.在中，已知角为锐角，向量，，．
（1）向量时，求；
（2）求的最大值．
（3）若，求的三个内角和边的长．
【答案】（1），（2）（3）
【解析】（1），
，时有，，又角为锐角，
故；
（2），
又，故，于是当，即时，有最大值．
（3）由（2）知，又，故，故，解得，于是，，，由正弦定理知，，，解得（负根舍去）．（若用角则需要利用“边最长”舍去增根）
【题干】23.如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直线的倾斜角为，，设，．
（1）用表示点的坐标及；
（2）若，求的值．
【答案】
【解析】（1）由三角函数的定义，得点的坐标为．
在中，，，，
由正弦定理，得，即，
所以．
（2）由（1）得，
因为，，所以，，
又，
所以．
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