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一、平面向量的数量积的基本运算及其几何意义
1）归纳总结：
① 用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角，当时，要注意夹角有和两种情况；
② 数量积的坐标运算
③ 平面向量的数量积的几何意义.
2）方法指导：平面向量的数量积运算有两种形式.
① 根据长度和夹角计算.
② 利用坐标计算.对于第一种形式注意向量的夹角取决于两个向量相同起点，第二种形式可以通过建立坐标系，确定相关向量坐标后计算.
【题干】1.已知向量，，则_________．
【题干】2.已知是等腰直角三角形，是斜边的中点，，
则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【题干】3.设向量，，则向量在向量方向上的投影为_________．
【题干】4.已知点，，，则向量在方向上的投影为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】5.已知正方形边长为，为中点，为中点， _________.
【题干】6.已知，满足，，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【题干】7.如图，在等腰直角中，设，，为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】8.设在中，，，是边上的高，
则的值等于（ ）
A. B.
C. D.
【题干】9.设四边形为平行四边形，..若点满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】10.已知菱形的边长为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】11.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】12.在中，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【题干】13.已知向量，满足：，，，则在上的投影长度的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】14.若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】15.等边的边长为，则________.
【题干】16.设是单位向量，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【题干】17.如图，在中，，是边上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【题干】18.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】19.若向量，满足，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【题干】20.直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则________．
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平面向量数量积
一、两个向量的夹角
已知两个非零向量，，作，，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有．当时，我们说向量和向量互相垂直，记作．
二、向量的数量积（内积）定义
叫做向量和的数量积（或内积），记作，即
三、向量数量积的运算律
1）交换律：；．
2）分配律：
四、向量内积的性质
1）是单位向量，则；
2），且；
3），即；
4）；
5）．
向量数量积的运算律
1）交换律：；．
2）分配律：
五、向量数量积的坐标运算与度量公式
1）向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知，，.
2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：.
3）向量的长度公式：已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
4）两点间的距离公式：如果，，则．
5）两个向量夹角余弦的坐标表达式：
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一、平面向量的数量积的基本运算及其几何意义
1）归纳总结：
① 用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角，当时，要注意夹角有和两种情况；
② 数量积的坐标运算
③ 平面向量的数量积的几何意义.
2）方法指导：平面向量的数量积运算有两种形式.
① 根据长度和夹角计算.
② 利用坐标计算.对于第一种形式注意向量的夹角取决于两个向量相同起点，第二种形式可以通过建立坐标系，确定相关向量坐标后计算.
【题干】1.已知向量，，则_________．
【答案】9
【点评】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题．
【题干】2.已知是等腰直角三角形，是斜边的中点，，
则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】，
【点评】考查向量的数量积的基本运算，题目容易.
【题干】3.设向量，，则向量在向量方向上的投影为_________．
【答案】.
【解析】向量，，根据投影的定义可得：向量在向量方向上的投影为.
【点评】考查平面向量数量积的几何意义．向量在向量方向上的投影为
题目较易.注意以课为本，以纲为纲，例如课本上“数量”的定义好多人就容易忽略，造成题丢分.
【题干】4.已知点，，，则向量在方向上的投影为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】由已知可得，，，∴， 设，的夹角为，则向量在方向上的投影为：
【点评】考查平面向量向量数量积坐标运算及向量投影定义，题目较易.
【题干】5.已知正方形边长为，为中点，为中点， _________.
【答案】.
【解析】.
【点评】考点是平面向量数量积的坐标运算．但首先要建立平面直角坐标系，题目较易.
【题干】6.已知，满足，，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】∵满足，，且.
∴由数量积运算和不等式的性质分别得出
，.分别将两式化简为，，整理即可得出答案∴的最小值为
【点评】考查平面向量数量积的运算性质但涉及绝对值不等式的性质．综合性较强，难度一般.
【题干】7.如图，在等腰直角中，设，，为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】设中点为，则 .
. ∴ .
【题干】8.设在中，，，是边上的高，
则的值等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】∵，，是边上的高，∴.，，∴.
【点评】考查向量的数量积的基本运算，题目容易.
【题干】9.设四边形为平行四边形，..若点满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】∵四边形为平行四边形，点满足，，
∴根据图形可得：..
∴，∵....，∴.
【点评】利用平面向量基本定理，把要求的向量用已知的向量表示出来，题目一般.
【题干】10.已知菱形的边长为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】菱形的边长为，，∴，则.
【点评】考查平面向量的线性运算与数量积.题目较易.
【题干】11.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以.
【点评】考查平面向量的线性运算与数量积的坐标运算.题目较易.
【题干】12.在中，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】在中，由余弦定理得：..
【点评】考查三角形余弦定理和向量的数量积，综合性较强，题目一般.破解向量与“三角”的交友题的关键是：一是利用三角公式巧化简，二是利用向量共线，向量垂直的形式出现的条件还其本来面目，转化为对应向量坐标乘积之间的关系.三是活用两定理，边角互化，注意三角形边长和向量模的等价性.
【题干】13.已知向量，满足：，，，则在上的投影长度的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】设向量，的夹角为，∵.，∴，∴，
.∴，在上的投影.
【点评】本题考查数量积的几何意义，但涉及不等式的性质，难度一般.需注意投影的定义.
【题干】14.若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】因为，而；而方向与方向不一定同向．
【题干】15.等边的边长为，则________.
【答案】．
【解析】∵向量与的夹角为，∴.
【题干】16.设是单位向量，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】．
【题干】17.如图，在中，，是边上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】由已知，则需将转化成用与表示，又，即，∴，∴，化简得：.
【题干】18.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C．
【解析】，，.
【题干】19.若向量，满足，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】．
【题干】20.直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则________．
【答案】.
【解析】.
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