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平面向量的基本定理
一、平面向量的基本定理
1）平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，使.
2）基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作.叫做向量关于基底的分解式．
注意：
① 定理中，是两个不共线向量；
② 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；
③ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．
3）平面向量基本定理的证明：
① 在平面内任取一点，作，，.由于与不平行，可以进行如下作图：
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和.分别有，，所以.
② 证明唯一性：如果存在另对实数使，则，即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，不妨设，则，由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，，即，．
4）证明，，三点共线或点在线上的方法：
已知是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为①，并且满足①式的点一定在上．
证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使，∴，设点满足等式，则，即在上．其中①式可称为直线的向量参数方程式
5）向量的中点的向量表达式：点是的中点，则．可推广到中，若为边中点，则有存在．
二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算
1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
3）向量的直角坐标运算：
设，，则① ；
② ；③ .
注意：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
4）若，，则向量；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．
5）用平面向量坐标表示向量共线条件：
设，，则就是两个向量平行的条件．若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．
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一、平面向量基本定理
1）归纳总结：平面向量基本定理中，实数的唯一性是相对于基底而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
2）解题思路：先选择一组不共线的向量作为基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【题干】1.若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】B.
【解析】存在一个实数，使得 ，此两向量共线，故不能作为基底找不到一个非零实数 使得成立，其它两项中的两个向量不共线，可以为基底.
【点评】考查基底的定义，作为基底的两个向量不能共线，题目较易.
【题干】2.在正方体中，点为上底面的中心，若，则的值是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A.
【解析】如图所示，∵.又因为
∴. ∵
∴
【点评】考查空间向量的分解．用到向量加法的三角形法则，较易.
【题干】3.在中，点是的重心，若存在实数，
使，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】试题分析：设为边的中点，由题可知，
则，故.
【点评】考查平面向量基本定理，涉及向量的加法，三角形重心的性质 ，题目较易.
【题干】4.在下列条件中，使与一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】，即，所以与共面.
【点评】考查平面向量基本定理，，即，所以与共面.
【题干】5.已知向量与的夹角是，则向量与的夹角是________．
【答案】
【点评】考查两向量的夹角，与反向，与反向，故与的夹角等于与的夹角，题目较易.
【题干】6.设是两个不共线向量，已知，
若三点共线，则________.
【答案】.
【解析】∵若三点共线，∴，又因为. ∴.
【点评】考查平面向量基本定理，涉及三点共线知识，难度一般.
【题干】7.设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为另一组基向量的线性组合，即________.
【答案】.
【解析】∵①.②.①+②得，代入②得，， ∴
【点评】考查平面向量基本定理，基底的定义，题目较易.
【题干】8.如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若，，试以，为基底表示，，．
【答案】，，.
【解析】（1）.
（2）.，∵是的重心，
∴.
【题干】9.设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示，，.
．
【答案】..
【解析】设正方形的中心为，则四边形，均为平行四边形，由向量的平行四边形法则，有，∵，∴.在中，根据向量的三角形法则，..
（如图题所示）.
【题干】10.在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，若，其中，，则________．
【答案】
【解析】由可知，①，由可知，，又，将①②转化③，④，
③④得：，，∴．
【点评】三角形中的线段关系有一个结论：在中，，
求证：．证明：要得到所证的关系式，要将已知的关系式进行转化，尽量凑出，∵，，整理即得．
【题干】11.证明：若向量的终点、、共线，当且仅当存在实数满足等式，使得．
【答案】见解析.
【解析】一般的结论：向量的终点、、共线的充要条件是存在不全为零的实数，，使得.
必要性：设、、三点共线，则共线，于是存在实数，使得．而，∴，
∴，令，有，且;
充分性：若，且，
则，于是，
即，∴共线，从而、、三点共线．
【题干】12.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为________．
【答案】.
【解析】∵点为边的中点，∴，∵，，∴，∵三点，，在一条直线上，
∴，即得.
【题干】13.在中，，与交于点，设，，用，表示.
【答案】.
【解析】设，则，，∵点、、共线，∴与共线，∴，∴①，而，，∵、、共线，∴与共线，∴，∴②，联立①②解得：，，∴.
【题干】14.如图所示，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________；
当时，的取值范围是________．
【答案】；
【解析】由已知点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内，
则有，∵，∴，即得，∴，
当时，，∵，∴．
【题干】15.已知是所在平面内一点，的中点为，的中点为，的中点为，证明只有唯一的一点使得与重合.
【答案】见解析.
【解析】设，则，由题设知：，∴，
∴由于，是确定的向量，所以是唯一的一个向量，即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.
【题干】16.点、、分别是的边、、上的点，，，
（1）若、分别是、的中点，线段与的交点为，求；
（2）若是的角平分线，求．
（3）若，，线段与交于点，求．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）∵是的中线，故点为的重心，从而；
（2）可设，又三点共线，，，由，且不共线得：，解得．从而．
（3）设，则，又，三点共线，故，从而有，即①，又，，同理由三点共线可得到②，联立①②解得：，，故．
【题干】17.如图，设、为内的两点，且， ，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】如图，设，则由平行四边形法则知，所以，同理可得.
【题干】18.如图，已知的面积为，、分别为边、上的点，
且，、交于点，求的面积．
【答案】.
【解析】法一：设，为一组基底，则，，
∵点、、与、、分别共线，∴存在和使，，又∵，
∴，解得：，∴，，∴.
法二：以为原点，为轴建立直角坐标系．设，，，
则，，，，，又∵，
∴，由②得，代入①，化简得，
∵，∴以下同解法一．
【题干】19.设正六边形的对角线分别被内点分成为，如果共线，求的值．
【答案】.
【解析】如图设，由知，即分的比为，∴；再由知，即分的比为，
∴，∵，
∴，∵共线，∴存在，使，∴，
∴，又由题意知，∴．
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1）归纳总结：平面向量基本定理中，实数的唯一性是相对于基底而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
2）解题思路：先选择一组不共线的向量作为基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【题干】1.若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【题干】2.在正方体中，点为上底面的中心，若，则的值是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【题干】3.在中，点是的重心，若存在实数，
使，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】4.在下列条件中，使与一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】5.已知向量与的夹角是，则向量与的夹角是________．
【题干】6.设是两个不共线向量，已知，
若三点共线，则________.
【题干】7.设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为另一组基向量的线性组合，即________.
【题干】8.如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若，，试以，为基底表示，，．
【题干】9.设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示，，.
．
【题干】10.在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，若，其中，，则________．
【题干】11.证明：若向量的终点、、共线，当且仅当存在实数满足等式，使得．
【题干】12.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为________．
【题干】13.在中，，与交于点，设，，用，表示.
【题干】14.如图所示，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________；
当时，的取值范围是________．
【题干】15.已知是所在平面内一点，的中点为，的中点为，的中点为，证明只有唯一的一点使得与重合.
【题干】16.点、、分别是的边、、上的点，，，
（1）若、分别是、的中点，线段与的交点为，求；
（2）若是的角平分线，求．
（3）若，，线段与交于点，求．
【题干】17.如图，设、为内的两点，且， ，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【题干】18.如图，已知的面积为，、分别为边、上的点，
且，、交于点，求的面积．
【题干】19.设正六边形的对角线分别被内点分成为，如果共线，求的值．
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