成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届数学周练二
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是定义域为的奇函数，直线是函数的图象的一条对称轴，当时，，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．方程恰有10个解
12．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
14．已知中，为边上一个动点，若，则的最小值为 ．
15．已知函数，且与均为偶函数，则的最小值是 .
16．已知定义在R上的偶函数f（x），当时，函数，则满足的x的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17． 已知函数的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求在上的单调递增区间.
18．设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
19．已知函数
(1)若，求函数的值域．
(2)若是第一象限角，求的值
20．一根长为L的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽米.
(1)假设材料卡在直角走廊中，和都紧靠走廊墙壁，此时设，试将L表示为的函数，并写出的取值范围；
(2)由于材料太长，现想换一段短一些的材料，试求能够通过这个直角走廊的材料的最大长度.
（提示：若材料能完全通过走廊，需要保证材料不会卡在直角走廊中）
21．已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求的值.
22．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届数学周练二
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.
3．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】. 故选：C
4．已知为角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，，所以，所以，
所以. 故选：B
5．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，取AD的中点为M，连接BM，CM，延长AB，CD交于点O，
由题意，△AOB为等腰三角形，又∵，∴AD//BC，
又∵M为AD的中点，，∴AM与BC平行且相等，
∴四边形ABCM为平行四边形，∴，同理，
∴△ABM，△CDM都是等边三角形，∴△BOC是等边三角形，
∴该玉佩的面积. 故选：B.
6．如图，在中，，点是的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为即，点为的中点，
所以，
所以. 故选：D.
7．已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题可知，若在区间上恰有4个零点，等价于方程在上有4个不相等的实根，又，所以时，，
由正弦函数图像性质可知需满足，解得. 故选：C
8．已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，则，解得. 故选：B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由于是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，
故，则四边形为平行四边形，所以，故A错误；
因四边形为平行四边形，故是的中点，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：ABD
10．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】，又其为偶函数，则图像关于轴对称，则，
得，又，则或. 故选：BC.
11．已知函数是定义域为的奇函数，直线是函数的图象的一条对称轴，当时，，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．方程恰有10个解
【答案】AC
【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，得，由函数是上的奇函数，得，则，
即，，函数是周期函数，周期为4，A正确；
当时，，则，B错误；
显然函数在上单调递增，由奇函数的性质知，在上单调递增，因此函数在上单调递增，又的图象关于直线对称，则在上单调递减，C正确；
方程的根，即函数与函数图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与函数的部分图象，如图，
观察图象知，函数与函数的图象共有9个交点，
所以方程恰有9个解，D错误.
故选：AC
12．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】BCD
【详解】因为方程有两根，，
所以，所以，
且或. 所以，
因为，所以，从而可得，
所以.
当时，，所以，，此时锐角三角形.
当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形.
若，则，此时，所以，解得或（舍），
当时，是等腰三角形.
因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
【答案】1
【详解】，则，，
所以. 故答案为：1
14．已知中，为边上一个动点，若，则的最小值为 ．
【答案】12
【详解】由点在边上，得三点共线，又，因此，
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值12. 故答案为：12
15．已知函数，且与均为偶函数，则的最小值是 .
【答案】3
【详解】因函数是偶函数，则，又，则，
，此时，，而为偶函数，，
因此，，，即，，于是得，
所以的最小值是3. 故答案为：3
16．已知定义在R上的偶函数f（x），当时，函数，则满足的x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】∵当时，函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
不等式可化为，
又∵函数f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（|x|），
∴不等式可化为，∴，∴，
∴，
即满足的x的取值范围是.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17． 已知函数的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求在上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）
，
因为的周期为，，所以，则.
（2）由（1）知，
令，，解得，，
当时，；当时，；当时，，
所以在上的单调增区间为，.
18．设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，则与共线.
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
（2）因为与共线，
所以存在实数，使.
因为，不共线，所以 解得.
19．已知函数
(1)若，求函数的值域．
(2)若是第一象限角，求的值
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
因为，所以，所以的值域为；
（2），因为是第一象限角，
所以，故，,
所以，
.
20．一根长为L的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽米.
(1)假设材料卡在直角走廊中，和都紧靠走廊墙壁，此时设，试将L表示为的函数，并写出的取值范围；
(2)由于材料太长，现想换一段短一些的材料，试求能够通过这个直角走廊的材料的最大长度.
（提示：若材料能完全通过走廊，需要保证材料不会卡在直角走廊中）
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意知，，可得，，
所以，.
（2）令，
∵，∴，，
则，易知在上单调递增，在上单调递减
∴，即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为.
21．已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求的值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）由条件可知，周期，所以，又，得，
，因为，所以，即函数；
（2），当，设，
由条件转化为与，在上的图象恰有3个不同的交点，
作出与的图象，如图所示，
由图可知，.
（3）由上述换元，知，，
则
，
所以.
22．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若，关于的方程恰有两个实根，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）观察图象可得为函数，的对称轴，其中，
所以函数的周期，又，所以，
因为，在函数的图象上，所以①，②，
由②可得，又，所以，因为，所以，将代入①得，， 所以，即函数的解析式为；
（2）由(1) 可得，则
令，，则方程可化为
方程没有实数解，则，即，此时方程在上无解，与条件矛盾，
若方程有且只有一个解，则，所以，
当时，方程的解为，而有且只有一解，与已知矛盾，
当时，方程的解为，而有且只有一解，与已知矛盾，
当时，方程有两个解，设其解为，则，，
故，观察函数图象可得，方程有且只有一个实数解，
由已知方程在恰有两个实根，所以方程，有且只有一个实数解，观察函数可得或，
所以，其中或，又函数在上为增函数，所以，
当时，方程有两个解，设其解为，，则，，
故，观察函数图象可得，方程有且只有一个实数解，
由已知方程在恰有两个实根，所以方程，有且只有一个实数解，观察函数可得，
所以，其中，又函数在上为增函数，所以，
