课时分层作业(十一) 条件概率
一、选择题
1．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )
A． B． C． D．
2．某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则P(B|A)＝( )
A．
3．(2023·宁夏吴忠青铜峡高级中学期末)某班组织甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )
A．
4．气象资料表明，某地区每年7月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区7月份既刮台风又下大雨的概率为( )
A．
5．(2023·江西赣州十六县期中)已知事件A与B独立，且P(A)>0，若P(B|A)＝0.32，则P(B)＝( )
A．0.34 B．0.68
C．0.32 D．1
二、填空题
6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．
7．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________．
8．某种病毒使人患病的概率为0.03，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.87，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为________．
三、解答题
9．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．
10．(多选)将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则( )
A．“至少出现一个1点”的情况数目为91
B．三个点数都不相同的情况数目为＝120
C．P(A|B)＝
D．P(B|A)＝
11．某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
12．(2023·浙江台州期末)当P(A)>0时，若P(B|A)＋P()＝1，则事件A与B( )
A．互斥 B．对立
C．独立 D．不独立
13．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．
(1)取出球的最大号码为6的概率为______．
(2)已知取出4号球的条件下，取出球的最大号码为6的概率为________．
14．某地一高中生在进行高考选考科目“7选3”的选择时，因自身实力有限，暂时只确定技术作为自己的选考科目，另外2门准备随机抽取．已知在剩下的6门科目中有3门理科科目(物理、化学、生物)和3门文科科目(政治、历史、地理)，如果他从中依次抽取2门，求：
(1)第1次抽到理科科目的概率；
(2)第1次抽到理科科目且第2次抽到文科科目的概率；
(3)在第1次抽到理科科目的条件下，第2次抽到文科科目的概率；
(4)在第1次抽到理科科目的条件下，第2次抽到政治或地理的概率．
15．某技术部门招工有四项考核，已知每个应聘者能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的．每个应聘者都要经过这四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰．
(1)求应聘者被淘汰的概率；
(2)求应聘者通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率．
课时分层作业(十一)
1．C [记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝，n(AB)＝，所以P(B|A)＝．]
2．D [由题意可知，P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝×．故选D．]
3．A [设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B为“学生丙第一个出场”，
则n(A)＝＝78，
n(AB)＝＝18，
所以P(B|A)＝．]
4．B [设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB．
由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×．]
5．C [因为事件A与B独立，且P(A)>0，所以P(B|A)＝＝P(B)＝0.32，故选C．]
6． [甲、乙二人相邻的情形有2＝48个，甲与乙、丙都相邻的情形有2＝12个，
∴所求概率P＝．]
7．0.72 [设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”．
因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，
且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．]
8．0.0261 [设事件A＝“血检呈阳性”，B＝“患该种疾病”，依题意知，P(B)＝0.03，P(A|B)＝0.87，
由概率的乘法公式可得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.03×0.87＝0.0261．]
9．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，
则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55．
(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，
则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15．
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝，
因此其保费比基本保费高出60%的概率为．
10．ABC [根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个1点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个1点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个1点，共×5×4＝60种，所以P(A|B)＝；P(B|A)的含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个1点”的概率，三个点数都不相同的情况数目为＝120，
所以P(B|A)＝．]
11．D [记“水稻种子发芽”为事件A，“出芽后的幼苗成活”为事件B，则“水稻种子成长为幼苗”为事件AB．∵P(B|A)＝，∴P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72．]
12．C [∵P(B|A)＋P()＝P(B|A)＋1－P(B)＝1，
∴P(B|A)＝P(B)，即＝P(B)，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B独立．
故选C．]
13．(1) (2) [令事件A＝{取出的4个球中含4号球}，B＝{取出的4个球中最大号码为6}，
(1)P(B)＝．
(2)法一：依题意知P(A)＝，P(AB)＝，
所以P(B|A)＝．
法二：依题意知n(A)＝＝84，n(AB)＝＝6，
所以P(B|A)＝．]
14．解：(1)根据题意，从6个科目中依次抽取2门，该试验的样本空间Ω包含的样本点个数n(Ω)＝＝30．设“第1次抽到理科科目”为事件A，则n(A)＝×＝15，于是P(A)＝．
(2)设“第2次抽到文科科目”为事件B，则“第1次抽到理科科目且第2次抽到文科科目”为事件AB，n(AB)＝×＝9，所以P(AB)＝．
(3)法一(定义法)：P(B|A)＝．
法二(基本事件法)：P(B|A)＝．
(4)设“第2次抽到政治”为事件C，“第2次抽到地理”为事件D，
则P(C∪D|A)＝P(C|A)＋P(D|A)＝．
15．解：(1)记事件B＝“应聘者最终通过考核”，Ai(i＝1，2，3，4)分别表示应聘者通过第一、二、三、四项考核，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.8，P(A3)＝0.9，P(A4)＝0.65．因为各项考核是相互独立的，所以P(B)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.6×0.8×0.9×0.65＝0.2808，
因此应聘者被淘汰的概率为1－P(B)＝1－0.2808＝0.7192．
(2)在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)＝＝0.52．
所以通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1－P(B|A1A3)＝1－0.52＝0.48．课时分层作业(十二) 全概率公式
一、选择题
1．某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为( )
A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88
2．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症．随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( )
A．
3．(多选)5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则下列结论正确的是( )
A．第二次取出的卡片是2的概率为
B．第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为
C．第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为
D．第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的数字的概率为
4．(2023·山西运城高中联合体期中)长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过2 h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A．
5．(多选)(2023·河北石家庄二中期末)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件A1，A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球、白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
二、填空题
6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________．(精确到0.001)
7．(2023·江苏扬州期中)某病毒会造成“持续的人传人”，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被分别称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者传染的概率分别为0.9，0.8，0.7．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会时仅和感染的10个人中的一个有所接触，则他被传染的概率为________．
8．假设播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．
三、解答题
9．某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%，2%，3%．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．
10．一批同型号的螺钉由编号为1，2，3的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%，现从这批螺钉中抽到一颗次品，则次品来自2号机器生产的概率为( )
A．
11．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为、、，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
12．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为( )
A．
13．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．
14．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线生产的该产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，求抽到不合格品的概率．
15．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为( )
A． B．
C． D．
课时分层作业(十二)
1．C [设B＝“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”，
Ai＝“提出的一台产品是第i车间生产的”，i＝1，2，
则有B＝A1B∪A2B，由题意，P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88．
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．故选C．]
2．B [设A＝“男子”，B＝“女子”，C＝“这人有色盲”，
P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.0025，
P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，
P(A|C)＝＝．]
3．AB [由乘法公式得，第二次取出的卡片是2的概率为P1＝×，A正确；由全概率公式得第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为P2＝×1＋×××，B正确，C错误；易知第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的数字的概率为1－P2＝，故D错误．]
4．A [令A1＝“每天玩手机时间超过2h”，A2＝“每天玩手机时间不超过2h”，
B＝“任意调查一人，此人近视”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥．
依题意，P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.6，P(B)＝0.3，
由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.6＋0.6×P(B|A2)＝0.3，
解得P(B|A2)＝．
故选A．]
5．BD [由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故B正确；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×××，故A不正确；易知C不正确．故选BD．]
6．0.087 [由题设，有P()＝1－P(C)＝0.995，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，由贝叶斯公式，
得P(C|A)＝≈0.087．]
7．0.83 [用事件E，F，G分别表示小明与第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被传染，则P(E)＝0.5，P(F)＝0.3，P(G)＝0.2，P(D|E)＝0.9，P(D|F)＝0.8，P(D|G)＝0.7，所以P(D)＝P(D|E)P(E)＋P(D|F)P(F)＋P(D|G)P(G)＝0.9×0.5＋0.8×0.3＋0.7×0.2＝0.83．]
8．0.482 5 [用B表示事件“从这批种子中任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”，从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%，P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%，P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5，P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0.05，
＝0.5×95.5%＋0.15×2%＋0.1×1.5%＋0.05×1%＝0.482 5．]
9．解：设A1＝“抽到甲厂的产品”，A2＝“抽到乙厂的产品”，A3＝“抽到丙厂的产品”，B＝“抽到不合格品”，
则A1，A2，A3两两互斥，且Ω＝A1∪A2∪A3．
于是B＝B(A1∪A2∪A3)＝BA1∪BA2∪BA3．
由题意可知BA1，BA2，BA3两两互斥，
又P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.45，P(A3)＝0.15，
P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.03，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.4×0.01＋0.45×0.02＋0.15×0.03
＝0.0175．
10．B [设A＝“螺钉是次品”，B1＝“螺钉由1号机器生产”，B2＝“螺钉由2号机器生产”，B3＝“螺钉由3号机器生产”，
则P(B1)＝0.35，P(B2)＝0.40，P(B3)＝0.25，
P(A|B1)＝0.03，P(A|B2)＝0.02，P(A|B3)＝0.01，
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.35×0.03＋0.40×0.02＋0.25×0.01＝0.021，
所以P(B2|A)＝．]
11．A [以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×××＝0.08．]
12．C [设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示“取到y＝2”，则P(B|A1)＝0，
P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
P(B|A4)＝，
＝＝．]
13． [设B1表示“使用的枪校准过”，B2表示“使用的枪未校准”，A表示“射击时中靶”，
则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3．
由贝叶斯公式，得P(B1|A)
＝＝．
所以所用的枪是校准过的概率为．]
14．解：设A＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，Bi＝“任取一件这种产品，结果是第i(i＝1，2，3，4)条流水线生产的产品”，则Ω＝B1∪B2∪B3∪B4，且B1，B2，B3，B4两两互斥，
根据题意，得P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02，由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＋P(B4)P(A|B4)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.0315，故从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315．
15．A [设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则B＝AB＋B，由全概率公式知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，
由题意P(A)＝，
P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，
所以P(B)＝．]课时分层作业(十三) 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1．(多选)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚1点，第二枚5点
2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回袋中5次”的事件为( )
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤4
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝( )
A．0 B． C． D．
4．(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则( )
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
5．(2023·银川一中期末)已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P(X2
A．[4，9] B．(4，9]
C．[4，9) D．(4，9)
二、填空题
6．(2023·陕西西安中学期中)设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
7．设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．则
(1)a的值为________；
(2)P＝________；
(3)P＝________．
8．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．
三、解答题
9．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
10．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
11．(2023·辽宁大连二十四中模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog2，则P(2A． B．
C． D．log2
12．(2023·辽宁辽阳期末)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为( )
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
13．若随机变量X的分布列如表所示，则a＋b＝________，a2＋b2的最小值为________，此时P(X≤2)＝________．
X 0 1 2 3
P a b
14．某旅游景点为了增加人气，吸引游客，特推出一系列活动．其中有一项活动是凡购买该景点门票的游客，可参加一次抽奖．抽奖规则如下：掷两枚6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，点数之和为12获一等奖，奖品价值120元；点数之和为11或10获二等奖，奖品价值60元；点数之和为9或8获三等奖，奖品价值20元；点数之和小于8的不得奖．
(1)求同行的两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率；
(2)设一位游客在该景点处获奖的奖品价值为Y，求Y的分布列．
15．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中所有的白球的个数；
(2)求随机变量ξ的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
课时分层作业(十三)
1．AB [由题意可知，第一枚骰子掷出的点数是6，第二枚骰子掷出的点数是2或第一枚骰子掷出的点数是5，第二枚骰子掷出的点数是1时，ξ＝4．故选AB．]
2．C [根据题意可知，如果没有抽到红球，那么将黑球放回，然后继续抽取，抽取次数X的可能取值为1，2，3，…，所以“放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球，第6次抽到了红球，所以X＝6，故选C．]
3．B [设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p．依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝．故P(ξ＝0)＝1－p＝．故选B．]
4．BD [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c．
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝．
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－．]
5．B [由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0，1，4，9，
且P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝，
P(X2＝4)＝，P(X2＝9)＝．
P(X2∴实验m的取值范围是(4，9]．]
6． [由分布列的性质得＋m＋＝1，解得m＝，故P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝．]
7．(1) (2) (3) [(1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝．
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝＝．
(3)P＝P＋P＋＝＝．]
8．
ξ 0 1
P
[ξ的可能取值为0，1，．
若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，
所以P(ξ＝0)＝，
若两条棱平行，则它们之间的距离为1或的棱共有6对，
则P(ξ＝)＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
]
9．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝×．
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400．
则P(X＝200)＝，
P(X＝300)＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－．
故X的分布列为
X 200 300 400
P
10．C [由X<4知X＝1，2，3，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＝，解得n＝10．]
11．C [因为P(X＝k)＝alog2＝a[log2(k＋1)－log2k](1≤k≤7，k∈Z)，
P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝7)＝1，
所以a(log22－log21＋log23－log22＋…＋log28－log27)＝3a＝1，解得a＝，
所以P(212．D [由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝(1－0.8)×(1－0.7)＝0.06，
P(X＝1)＝(1－0.8)×0.7＋0.8×(1－0.7)＝0.38，
P(X＝2)＝0.8×0.7＝0.56，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D．]
13． [由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时等号成立，此时P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝．]
14．解：(1)设掷出的点数和为X，则X的分布列为
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
一位游客获一等奖的概率为××．
(2)由题意知，Y可取0，20，60，120，且P(Y＝0)＝P(X<8)＝．
P(Y＝20)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＝．
P(Y＝60)＝P(X＝10)＋P(X＝11)＝．
P(Y＝120)＝P(X＝12)＝．
所以Y的分布列为
Y 0 20 60 120
P
15．解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知．
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5．
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝；
P(ξ＝4)＝；P(ξ＝5)＝．
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则
P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝．课时分层作业(十四) 离散型随机变量的均值
一、选择题
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P m
则X的数学期望E(X)＝( )
A． B．1
C． D．2
2．若随机变量X的概率分布列如表：
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
则E(5X＋2 023)等于( )
A．2 035 B．12 C．2.4 D．15.2
3．不透明的口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A． B．
C．2 D．
4．(多选)已知0≤a≤，随机变量ξ的分布列如图所示，则当a增大时，ξ的期望E(ξ)的变化情况是( )
ξ －1 0 1
P a b
A．E(ξ)增大
B．E(ξ)减小
C．E(ξ)的最大值为
D．E(ξ)的最小值为
5．掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四面点数分别为1，2，3，4)，则底面掷出点数的数学期望为 ( )
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
二、填空题
6．离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，则E(X)＝________．
7．某彩票3D游戏(以下简称3D)，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票．投注者从000～999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1 000元，反之则获得奖金0元．某人随机投了一注，他获得奖金的期望是________元．
8．某同学在上学路上要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为，若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为；若他在第一个十字路口没遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为．记他在上学路上遇到红灯的次数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，ξ的数学期望为________．
三、解答题
9．体育课排球发球项目考试的规则是：每名学生最多发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，求p的取值范围．
10．(多选)设p为非负实数，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是( )
A．p∈
B．E(X)最大值为
C．p∈
D．E(X)最大值为
11．(2023·广东惠州联考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}．若记“|a－b|的取值”为随机变量ξ，则ξ的数学期望E(ξ)为( )
A． B．
C． D．
12．甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，两人的日产量相等，每天出废品的情况如表所示：
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
则下列结论正确的是( )
A．甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些
B．乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些
C．两人生产的产品质量一样好
D．无法判断谁生产的产品质量好一些
13．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i＝1，2)，则E(ξ1)＋E(ξ2)的值为________．
14．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
15．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值．
课时分层作业(十四)
1．B [由＋m＋＝1，得m＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．]
2．A [据题意，得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，所以E(5X＋2023)＝5E(X)＋2023＝5×2.4＋2023＝2035．]
3．D [由题意知X＝2，3．
所以P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以E(X)＝2×＋3×．]
4．BC [由题意可知 E(ξ)＝－－a＝－a，
所以当a增大时，ξ的期望E(ξ)减小，E(ξ)的最大值为．]
5．B [设掷一枚质地均匀的正四面体骰子，底面掷出的点数为X，则X的可能取值为1，2，3，4，且底面掷出每种点数的概率均为，则底面掷出点数X的数学期望E(X)＝(1＋2＋3＋4)×＝2.5，故选B．]
6． [因为离散型随机变量X的分布列为
P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，
所以a＋2a＋3a＝1，解得a＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×．]
7．1 [由题意，此人中奖的概率为，
不中奖的概率为，
所以此人随机投注一次，他获得奖金的期望为：
1000×＋0×＝1(元)．]
8． 1 [由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝×，
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．]
9．解：由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈．
10．AB [由题表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝．]
11．A [由于对称轴在y轴左侧，故－<0，故a，b同号，故符合条件的抛物线有2＝126(条)．易知ξ的可能取值为0，1，2，且P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝．故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×．故选A．]
12．B [由题知，甲生产的废品数的期望是0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
乙生产的废品数的期望是0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，
因为甲生产的废品数的期望大于乙生产的废品数的期望，所以乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些．
故选B．]
13． [甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，
则P(ξ1＝1)＝，P(ξ1＝2)＝，
则E(ξ1)＝1×＋2×；
甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，
则P(ξ2＝1)＝，P(ξ2＝2)＝，P(ξ2＝3)＝，
则E(ξ2)＝1×＋2×＋3×．
∴E(ξ1)＋E(ξ2)＝．]
14．解：设“部件1需要调整”为事件A，“部件2需要调整”为事件B，“部件3需要调整”为事件C．
(1)由题意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3．部件1，2中至少有1个需要调整的概率P＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28．
(2)由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，
且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，
P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]·P(B)·[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092，
P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
所以E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6．
15．解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12．从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为P＝．
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，
P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，
P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3．
由P(X＝k)＝，得
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝．
故所求Y的分布列为
Y 51 48 45 42
P
因此所求年收获量Y的均值为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46(kg)．课时分层作业(十五) 离散型随机变量的方差
一、选择题
1．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为 ( )
A．0.5和0.25 B．0.5和0.75
C．1和0.25 D．1和0.75
2．已知ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P
则在下列各式①E(ξ)＝－；②D(ξ)＝；③P(ξ＝0)＝中，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示，
表1 股票甲收益的分布列
收益X/元 －1 0 2
P 0.1 0.3 0.6
表2 股票乙收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
P 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是( )
A．投资股票甲的期望收益较小
B．投资股票乙的期望收益较小
C．投资股票甲比投资股票乙的风险高
D．投资股票乙比投资股票甲的风险高
4．设随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，则D(X)等于( )
A． B．
C．1 D．2
5．(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(0<ξ<3.5)＝
B．E(3ξ＋1)＝7
C．D(ξ)＝2
D．D(3ξ＋1)＝6
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列是
ξ 2 4
P a b
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________．
7．若随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P a
D(X)为随机变量X的方差，则D(3X＋1)＝_______________．
8．已知离散型随机变量X的分布列如下表．
X －1 0 1 2
P a b c
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________．
三、解答题
9．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合．把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ．
(1)求巧合数ξ的分布列；
(2)求巧合数ξ的期望与方差．
10．(2023·广西钦州期中)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝( )
A．19 B．16
C． D．
11．(2023·浙江宁波十校期末联考)将3个小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球放入各盒子的概率相等．记X为放入后所剩空盒的个数，Y为放入后不空盒子的个数，则( )
A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
D．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
12．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是( )
X x y
P y x
A．存在x，y∈(0，1)，E(X)>
B．对任意x，y∈(0，1)，E(X)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(X)D．存在x，y∈(0，1)，D(X)>
13．已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则当p＝时，E(X)＝________；当014．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示，其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度．
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
试比较甲、乙两种材料的稳定程度(哪一个稳定性较好)．
15．为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，并事后进行了测试(满分100分)，根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示．
等级 不合格 合格
得分 [20，40) [40，60) [60，80) [80，100]
频数 6 a 24 b
(1)求a，b，c的值；
(2)用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(3)设函数f(ξ)＝(其中D(ξ)表示ξ的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数．当f(ξ)≥2.5时，认定教育方案是有效的，否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
课时分层作业(十五)
1．A [∵X服从两点分布，
∴X的分布列为
X 0 1
P 0.5 0.5
∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，
D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25．故选A．]
2．C [由题意，根据随机变量的期望与方差的计算公式可得：
E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
所以①正确；
D(ξ)＝＝，所以②不正确；
又由分布列可知P(ξ＝0)＝，所以③正确．]
3．BC [甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，
乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，
方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，
所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，
则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．]
4．B [因为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
所以D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝．]
5．ABC [因为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，
所以P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝5)＝，
所以＝1，解得a＝1，
P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝，故A选项正确；
因为E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，
所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B选项正确；
D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C选项正确；
D(3ξ＋1)＝32D(ξ)＝9×2＝18，故D选项错误．]
6． [由分布列的性质可得，a＋b＝1，①
又因为E(ξ)＝，所以2a＋4b＝，②
联立①②，解得a＝，b＝，
所以D(ξ)＝＋＝．]
7．6 [由题意可知＋a＝1，
可得a＝，所以E(X)＝(0＋1＋2)＝1，
则D(X)＝[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2]＝，
所以D(3X＋1)＝9×＝6．]
8． [由分布列的性质知a＋b＋c＋＝1，①
由均值和方差的计算公式，得
－a＋c＋＝0，②
(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，③
联立①②③，解得a＝，b＝，c＝．]
9．解：(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，
数字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的总数为，ξ＝5时，5个数字均在对应位置，有1种排法，所以P(ξ＝5)＝；ξ＝3，有3个数字在对应位置，另外2个数字互换位置，P(ξ＝3)＝；ξ＝2，有2个数字在对应位置，另外3个数不在对应位置，所以P(ξ＝2)＝；ξ＝1，有1个数字在对应位置，另外4个数字不在对应位置，所以P(ξ＝1)＝；ξ＝0，所有5个数字均不在对应位置，所以P(ξ＝0)＝．
则巧合数ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 5
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1，D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1．
10．A [由题知P(X＝0)＝，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a＝－a，因此E(X)＝0×＋1×a＋2×＋3×，解得a＝，因此离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
则D(X)＝＋＋＋＝，
因此D(4X－3)＝16D(X)＝19．
故选A．]
11．C [由题意得X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×，
D(X)＝＝．
Y的可能取值为1，2，3，
P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，∴E(Y)＝1×＋2×＋3×，
D(Y)＝＝，
∴E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．
故选C．]
12．BC [依题意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy，又2xy≤，所以E(X)≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴A错误，B正确；
D(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx，
∵0∴0<(2x－1)2<1，
∴D(X)∵D(X)＝(1－2x)2yx13． [由期望公式可得
E(X)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
当p＝时，E(X)＝，
当0当且仅当p＝时，等号成立，故D(X)的最大值为．]
14．解：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125．
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165．
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)15．解：(1)由频率分布直方图可知，得分在[20，40)的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为＝60，又由频率分布直方图可知，得分在[80，100]的频率为0.2，
所以b＝60×0.2＝12．
又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18．
c＝＝0.015．
(2)“合格”与“不合格”的人数比例为36∶24＝3∶2，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以ξ的可能取值为40，35，30，25，20．
P(ξ＝40)＝，P(ξ＝35)＝，
P(ξ＝30)＝，P(ξ＝25)＝，P(ξ＝20)＝．
故ξ的分布列为
ξ 40 35 30 25 20
P
E(ξ)＝40×＋35×＋30×＋25×＋20×＝32．
(3)由(2)可得：
D(ξ)＝(40－32)2×＋(35－32)2×＋(30－32)2×＋(25－32)2×＋(20－32)2×＝16，
所以f(ξ)＝＝2<2.5．
故可以认为该校的安全教育方案是无效的，需要调整安全教育方案．课时分层作业(十六) 二项分布
一、选择题
1．若某地居民中高血压的患病率为p，从该地区随机抽查n人，则下列说法正确的是( )
A．样本患病率服从二项分布X～B(n，p)
B．n人中患高血压的人数X服从二项分布X～B(n，p)
C．患病人数与样本患病率均不服从二项分布X～B(n，p)
D．患病人数与样本患病率均服从二项分布X～B(n，p)
2．(2023·天津杨柳青一中期中)设随机变量X～B，则P(X＝2)等于( )
A． B．
C． D．
3．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，则D(X)＝( )
A．1.8 B．6
C．2.1 D．4.2
4．(多选)若随机变量X服从二项分布B，则( )
A．P(X＝1)＝P(X＝3)
B．P(X＝2)＝3P(X＝1)
C．P(X＝4)＝2P(X＝0)
D．P(X＝3)＝4P(X＝1)
5．(多选)某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列说法中正确的是( )
A．这5个家庭均有小汽车的概率为
B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
二、填空题
6．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝1，且ξ～B(8，p)，E(ξ)＝2，则E(η)＝________；D(η)＝________．
7．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为_________________．
8．(2022·山东枣庄三模)已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．
三、解答题
9．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且每次击鼓是否出现音乐相互独立．
(1)若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；
(2)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．
10．连续投掷2枚大小相同、质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为( )
A． B．
C． D．
11．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．
B．
C．
D．
12．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)等于( )
A． B．
C． D．
13．某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若D(X)＝2.1，P(X＝3)14．某科技公司为5G基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A和元件B按如图方式连接而成．已知元件A至少有一个正常工作，且元件B正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件A和元件B正常工作超过10 000小时的概率分别为和．
(1)求该装置正常工作超过10 000小时的概率；
(2)某城市5G基站建设需购进1 200台该装置，估计该批装置能正常工作超过1 0 000小时的台数．
15．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．
课时分层作业(十六)
1．B [由二项分布的定义知B正确．]
2．C [由二项分布的概率公式可得，P(X＝2)＝＝，故选C．]
3．D [因为X~B(20，p)，所以E(X)＝20p＝6，解得p＝0.3，故D(X)＝np(1－p)＝20×0.3×0.7＝4.2，故选D．]
4．BD [由题意，根据二项分布中概率的计算公式P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝·＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，因此P(X＝2)＝3P(X＝1)，P(X＝3)＝4P(X＝1)．故选BD．]
5．ACD [由题得小汽车的普及率为，
A．这5个家庭均有小汽车的概率为＝，所以正确；
B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为·＝，所以错误；
C．这5个家庭平均有5×＝3.75(个)家庭拥有小汽车，所以正确；
D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为＋＝，所以正确．故选ACD．]
6．－1 [因为随机变量ξ，η满足ξ＋η＝1，
且ξ~B(8，p)，E(ξ)＝2，
所以E(ξ)＝8p＝2，解得p＝，
所以D(ξ)＝8××，
因为ξ＋η＝1，所以η＝1－ξ，
所以E(η)＝1－E(ξ)＝1－2＝－1，
D(η)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝．]
7． [获奖的概率为p＝＝，
记获奖的人数为ξ，ξ～B，
所以4人中恰好有3人获奖的概率为
P＝·＝．]
8．24 [由题意可知，P(X＝k)＝0.26-k0.8k，
要使P(X＝k)最大，则P(X＝k)≥P(X＝k－1)且P(X＝k)≥P(X＝k＋1)，
即0.26-k0.8k≥0.27-k0.8k-1且0.26-k0.8k≥0.25-k0.8k+1，
即0.8×≥0.2且0.2≥0.8×，
解得≤k≤，故k＝5．
易知D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，
所以D(kX＋1)＝D(5X＋1)＝52D(X)＝24．]
9．解：(1)若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得100分的概率为P＝×．
(2)X可能的取值为10，20，100，－200，
P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，
P(X＝100)＝＝，
P(X＝－200)＝＝．
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
10．B [连续投掷2枚大小相同、质地均匀的骰子1次，基本事件总数n＝6×6＝36，
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共有6个，所以每次投掷，两骰子点数之和不小于10的概率为，又投掷3次，相当于3重伯努利试验，故恰有两次点数之和不小于10的概率为××．]
11．B [由S7＝3知，在前7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，所以S7＝3的概率为，故选B．]
12．B [由题意得该产品能销售的概率为＝，
易知X的所有可能取值为－320，－200，－80，40，160，
设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，所以P(ξ＝k)＝，
所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝＝，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝＝，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝＝，
故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝＝．]
13．0.7 [由题意可知X~B(10，p)，
∴
即解得p＝0.7．]
14．解：(1)元件A至少有一个正常工作超过10 000小时的概率为1－＝，则该装置正常工作超过10 000小时的概率为＝．
(2)设1 200台该装置能正常工作超过10 000 小时的有X台，则X～B，所以这1 200台装置能正常工作超过10 000小时的约有1 200×＝840(台)．
15．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．则P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108．
(2)依题意，知X~B(3，0.6)，
P(X＝k)＝0.6k(1－0.6)3-k，
X的可能取值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝×0.63＝0.216，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3，0.6)，
所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72．课时分层作业(十七) 超几何分布
一、选择题
1．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
2．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽取2件，则出现2件次品的概率为( )
A． B． C． D．
3．已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ．若P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
4．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3名学生代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中女生的人数为变量X，男生的人数为变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于( )
A．
B．
C．
D．
5．(2023·陕西渭南咸林中学期中)一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，则小明得分大于6分的概率是( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝______，随机变量X的均值E(X)＝______．
7．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．
8．生产方提供一批产品，共50箱，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则如下：从该批产品中任取5箱进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率为_____________________．(结果用最简分数表示)
三、解答题
9．厂家在产品出厂前需对产品进行检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验，以决定是否接收这批产品．
(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定，商家从这20件产品中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．
10．某班级有男生32人、女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员．男生当选的人数记为X，则X的数学期望为( )
A．
11．根据现行国家标准，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
工作人员从某自然保护区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：
PM2.5日均值 (微克/立方米) (25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85]
频数 3 1 1 1 1 3
从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是( )
A．
12．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ．若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________．
13．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n＝______；现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是________．
14．(2023·北京八中期末)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的期望．
15．某市在城市总体规划中提出若干年后实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6～1)、良好小区(指数为0.4～0.6)、中等小区(指数为0.2～0.4)以及待改进小区(指数为0～0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标的调查数据：
权重 A小区 B小区 C小区
教育与文化(0.20) 0.7 0.9 0.1
医疗与养老(0.20) 0.7 0.6 0.3
交通与购物(0.32) 0.5 0.7 0.2
休闲与健身(0.28) 0.5 0.6 0.1
注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T＝w1T1＋w2T2＋w3T3＋w4T4，其中w1，w2，w3，w4为该小区四个方面的权重，T1，T2，T3，T4为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0～1之间的一个数值)．
现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组 [0，0.2) [0.2，0.4) [0.4，0.6) [0.6，0.8) [0.8，1]
频数 10 20 30 30 10
(1)分别判断A，B，C三个小区是否为优质小区，并说明理由；
(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层随机抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
课时分层作业(十七)
1．B [本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．]
2．A [设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2．于是出现2件次品的概率为P(X＝2)＝．]
3．B [设这10件产品中有n件次品，则P(ξ＝1)＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8．又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%．故选B．]
4．C [由题意得，P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝，
所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝．
故选C．]
5．A [记小明的得分为X分，则X的可能取值为5，6，7，8，
且P(X＝7)＝，
P(X＝8)＝，
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝．]
6． [X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，E(X)＝．]
7． [设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝．]
8． [设进行检测的5箱产品中不合格产品有X箱，则X服从超几何分布，
∴该批产品被接收的概率为P(X≤1)＝．]
9．解：(1)记“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”为事件A，
则事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”两个基本事件，
∴P(A)＝×0.72×0.3＋0.73＝0.784．
(2)X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∵只有2件都合格时才接收这批产品，
∴商家拒收这批产品的概率为．
10．C [依条件知X服从超几何分布，其中N＝52，M＝32，n＝4，故E(X)＝．]
11．A [依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，故E(X)＝．]
12．1 [由题意得P(ξ＝2)＝＝36，所以m＋n＋4＝9．因为P(一红一黄)＝，所以m＝3，所以n＝2，所以m－n＝1．]
13．50 [依题意0.016×10n＝8，则n＝50．
成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4个为女生，2个为男生．ξ的可能取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
故E(ξ)＝0××1＋2×．]
14．解：(1)设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”，则P(A)＝．
(2)依题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，
则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×．
15．解：(1)A小区的指数T＝0.7×0.2＋0.7×0.2＋0.5×0.32＋0.5×0.28＝0.58，
0.58<0.60，所以A小区不是优质小区．
B小区的指数T＝0.9×0.2＋0.6×0.2＋0.7×0.32＋0.6×0.28＝0.692，
0.692>0.60，所以B小区是优质小区．
C小区的指数T＝0.1×0.2＋0.3×0.2＋0.2×0.32＋0.1×0.28＝0.172，
0.172<0.60，所以C小区不是优质小区．
(2)依题意，抽取10个小区中，共有优质小区10×＝4(个)，其他小区10－4＝6(个)．
依题意ξ的所有可能取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×．课时分层作业(十八) 正态分布
一、选择题
1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等
2．设随机变量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，则( )
A．E(X)＝4，D(X)＝9
B．E(X)＝3，D(X)＝3
C．E(X)＝4，D(X)＝3
D．E(X)＝3，D(X)＝9
3．设随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1A．1 B．2 C．3 D．4
4．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(180，σ2)，且P(z≤190)＝0.9，P(z≤160)＝0.04，则P(190A．0.1 B．0.04
C．0.05 D．0.06
5．(多选)若随机变量X，Y的正态密度函数分别为f(x)＝，g(x)＝，f(x)，g(x)的图象如图所示(σ1>0，σ2>0)，则下列结论正确的是( )
A．P(X>1)＝P
B．σ1<σ2
C．P(X>2)＝0.158 65
D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.042 8
二、填空题
6．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
7．若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则P(－3≤ξ≤13)＝________．
参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
8．(2023·河南郑州期末)在某次高三联考中，学生的数学成绩(单位：分)服从正态分布N(95，100)．已知参加本次考试的学生有100 000人，则本次考试数学成绩大于105分的大约有________人．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．
三、解答题
9．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
10．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，则P(ξ≤0)＝( )
A．0.16 B．0.34
C．0.66 D．0.84
11．甲、乙两类产品的质量(单位：kg)分别服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B．乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C．甲类产品的平均质量为1 kg
D．乙类产品的质量的方差为2
12．(多选)若随机变量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2φ(x)
C．P(|ξ|D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)
13．设随机变量ξ服从正态分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝_____________．
14．某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；
(3)在这50名身高在172 cm以上(含172 cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
15．已知某训练营新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：
X 4 5 6 7 8 9
频数 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个训练营随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m 步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率．
参考数据：≈0.9．
课时分层作业(十八)
1．D [对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]
2．A [∵随机变量X~N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝＝4，∴E(X)＝4，D(X)＝9．故选A．]
3．C [由于随机变量X~N(μ，σ2)，满足P(X≤1)＝0.3，P(1因此P(X≥5)＝1－P(X≤1)－P(14．D [因为生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(180，σ2)，
所以P(z>190)＝1－P(z≤190)＝0.1，
P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，
所以P(190190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]
5．AC [由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A选项正确，B选项错误；P(X>2)＝[1－P(06．0.14 [由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(27．0.84 [∵随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，
∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4，
则P(－3≤ξ≤13)＝P(μ－3σ≤ξ≤μ＋σ)
＝[P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈(0.9973＋0.6827)＝0.84．]
8．15865 [设本次联考中学生的数学成绩为X分，由题意知X~N(95，100)，∴μ＝95，σ＝10，∴P(85≤X≤105)≈0.6827，
∴P(X>105)≈＝0.15865，∴本次考试数学成绩大于105分的大约有100000×0.15865＝15865(人)．]
9．解：(1)∵X~N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
故尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%，
∴这批零件中不合格的零件大约有5000×2.14%＝107(个)．
10．A [由题意得随机变量ξ的样本均值为3，
所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，
又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，
所以P(ξ≤0)＝0.16．]
11．A [由题图可知，甲类产品的平均质量为μ1＝0.5kg，乙类产品的平均质量为μ2＝1kg，甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差．
故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右，故A正确，B、C错误；由正态密度函数的解析式f(x)＝，
可知当x＝μ时，f(x)取得最大值，
∴＝4，∴σ＝，
∴σ2＝≠2，故D错误．
故选A．]
12．ACD [因为ξ~N(0，2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，
所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确；
因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确；
因为P(|ξ|因为P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正确．]
13．4 [因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4．]
14．解：(1)由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．
(2)由频率分布直方图知，后3组的频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10．
(3)全市100000名男生的身高X服从正态分布N(168，16)，则P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.9973．
由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)≈＝0.00135，且0.00135×100000＝135，
故全市约前135名男生的身高在180cm及以上．
这50人中身高在180cm及以上的人数为50×0.01×4＝2．
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，则
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×．
15．解：(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，
方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8．
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8．
(2)由(1)知X~N(7，0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9，
因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，
所以P(7.9≤X≤8.8)
＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.9545－0.6827)＝0.1359，
即从这个训练营随机抽取1名新兵，此新兵的50m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率约为0.1359．课时分层作业(十九) 成对数据的统计相关性
一、选择题
1．若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在的关系是( )
A．相关关系 B．函数关系
C．无任何关系 D．不能确定
2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是( )
A B
C D
3．对四组不同数据进行统计，获得如图所示的散点图，对它们的样本相关系数进行比较，正确的是( )
A．r2B．r4C．r4D．r24．某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11
根据统计资料，则利润的中位数( )
A．是16，x与y有正线性相关关系
B．是17，x与y有正线性相关关系
C．是17，x与y有负线性相关关系
D．是18，x与y有负线性相关关系
5．(多选)(2023·临沂高二检测)对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是 ( )
A．r1<0 B．r2>1
C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2|
二、填空题
6．对于任意给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是________．(填序号)
①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系；③都可以作出散点图；④都可以用确定的表达式表示两者的关系．
7．某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x与日销售量y之间有如下关系：
x 5 6 7 8
y 10 8 7 3
x，y之间的相关系数为________．(结果保留四位小数)
8．某部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值x与工业增加值y的资料如表(单位：百万元)：
x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根据上表资料计算的相关系数约为______．(结果保留四位小数)
三、解答题
9．某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？
10．北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一．白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰，被称为“北极变暗”现象，21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象．如图为北极年平均海冰面积(单位：106 km2)与年平均CO2浓度(单位：ppm)统计图．则下列说法正确的是( )
A．北极年海冰面积逐年减少
B．北极年海冰面积减少速度不断加快
C．北极年海冰面积与年平均CO2浓度大体成负相关
D．北极年海冰面积与年平均CO2浓度大体成正相关
11．(多选)下表是某城市2022年1月至10月各月最低气温与最高气温(℃)的数据表，已知该城市的各月最低气温与最高气温具有相关关系，根据该表，则下列结论正确的是( )
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高气温/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低气温/℃ －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10
A．最低气温与最高气温为正相关
B．每月最低气温与最高气温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D．2022年1月至4月温差(最高气温减最低气温)相对于7月至10月，波动性更大
12．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋3上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B． C．－ D．1
13．已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2，2)，(3，－1)，(5，－7)，则成对样本数据的样本相关系数是________．
14．近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi(i＝1，2，3，4，5)，数据如表所示：
城市 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标数x 2 4 5 6 8
B指标数y 3 4 4 4 5
试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系．
附：样本相关系数公式
参考数据：≈0.55，≈0.95．
15．某农科所对冬季昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度(如图1)，以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况(如图2)，得到如下资料：
(1)请画出发芽数y与温差x的散点图；
(2)用变量y与x的样本相关系数r说明发芽数y和温差x的线性相关程度的强弱．
参考公式：(当|r|>0.75时，具有较强的相关关系)．
课时分层作业(十九)
1．A [这句话比喻学识丰富的人对于培养人才的重要，但是“名师”不是“出高徒”的唯一因素，所以名师与高徒之间存在相关关系．]
2．D [A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；在两个变量的散点图中，若样本点成直线型带状分布，则两个变量具有相关关系，对照图形：BD样本点成直线型带状分布，B是负相关，D是正相关，C样本点不成直线型带状分布．所以两个变量具有正相关关系的图象是D．]
3．A [由给出的四组数据的散点图可以看出，图①和图③中的成对数据是正相关的，样本相关系数大于0，图②和图④中的成对数据是负相关的，样本相关系数小于0，图①和图②中的点相对更加集中于一条直线附近，所以相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r24．B [利润的中位数是＝17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系．]
5．AC [由题中散点图可知，线性相关系数r1的图象表示y与x成负相关，故－1|r1|，故r1＋r2>0，故C正确，D错误．]
6．③ [给出两个变量的统计数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关，不一定能用一条直线近似地表示，故①②不正确，③正确．两个变量不一定有函数关系，即不一定可以用确定的表达式表示两者的关系，故④不正确．]
7．－0.9648 [根据参考数据，得
相关系数＝≈－0.9648．]
8．0.9918 [因为×(3＋3＋…＋10)＝6.6，
×(15＋17＋…＋45)＝31.5，
所以样本相关系数为
＝≈0.9918．]
9．解：(1)以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．
(2)从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正线性相关关系．
10．C [对于A，B，由统计图可知北极年海冰面积既有增加又有减少，故A，B错误；对于C，D，由统计图可知随着年平均CO2浓度增加，北极年海冰面积总体呈下降趋势，所以北极年海冰面积与年平均CO2浓度大体成负相关，故C正确，D错误．]
11．ACD [对于A，由题意可知该城市的各月最低气温与最高气温具有相关关系，由数据分析可得最低气温与最高气温正相关，故A正确；
对于B，由题表数据可得，每月最高气温与最低气温的平均值依次为－3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，故B错误；
对于C，由题表数据可得，月温差依次为17，12，8，13，10，7，8，7，6，11，所以月温差的最大值出现在1月，故C正确；
对于D，由C的结论，分析可得2022年1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，故D正确．]
12．A [因为所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋3上，所以|r|＝1且r<0，即r＝－1．]
13．－1 [数据对(2，2)，(3，－1)，(5，－7)依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
，＝－2，
由样本相关系数公式得
＝＝－1，
所以成对样本数据的样本相关系数是－1．]
14．解：＝5，＝4，
＝≈0.95．
因为r≈0.95，所以可以推断y与x是线性正相关，且具有较强的线性相关关系．
15．解：(1)散点图如图所示．
(2)≈0.959>0.75，
所以y与x的线性相关程度较强．课时分层作业(二十) 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
一、选择题
1．对于经验回归方程＝x＋(>0)，下列说法错误的是( )
A．当x增加一个单位时，的值平均增加个单位
B．点()一定在＝x＋所表示的直线上
C．当x＝t时，一定有y＝t＋
D．当x＝t时，y的值近似为t＋
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得经验回归方程可能为( )
A．＝0.4x＋2.3
B．＝2x－2.4
C．＝－2x＋9.5
D．＝－0.3x＋4.4
3．根据如下成对样本数据得到的经验回归方程为＝x＋，则( )
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
A．>0，>0 B．>0，<0
C．<0，>0 D．<0，<0
4．(多选)数据(x，y)的5组测量值(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，已知
若y对x的经验回归方程记作＝x＋，则( )
A．＝1.2
B．＝0.2
C．y与x正相关
D．x＝8时，y的估计值为7
5．(多选)中国女排的影响力早已超越体育本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人持续奋斗、自强不息的精神符号．以下是某届世界杯比赛最终结果的相关数据，记前6名球队中，每个队的胜场数为变量x，积分为变量y(只列出了前6名)．
排名 1 2 3 4 5 6
胜场数x 11 10 8 7 6 6
积分y 32 28 23 21 19 18
若y与x之间具有线性相关关系，根据表中数据可求得y关于x的经验回归方程为＝2.59x＋，则下列说法正确的有( )
A．的值为2.78
B．的值为2.14
C．若整队在此次比赛中获胜的场数是4，根据经验回归方程其得分约为13分
D．由经验回归方程可知，当某个队伍胜场增加1场时，其积分约增加2.59分
二、填空题
6．若根据5名儿童的年龄x(单位：岁)和体重y(单位：kg)的数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的经验回归方程是＝2x＋18，已知这5名儿童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是________kg．
7．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知＝20，由最小二乘法求得经验回归方程为＝0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝________．
8．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表：
广告费用x/万元 3 4 5 6
销售额y/万元 25 30 40 45
根据上表可得经验回归方程＝x＋中的为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．
三、解答题
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y/件 90 84 83 80 75 68
(1)求经验回归方程＝x＋，其中＝－20；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
10．若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
11．(多选)湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区．已知某种饲料的投放量x(单位：吨)与小龙虾的产量y(单位：吨)的统计数据如表：
投放量x/吨 2 3 4 5 6
产量y/吨 31 42 52 64 73
由表中的数据，得到经验回归方程为＝10.6x＋，则下列结论正确的是( )
A．＝9
B．产量y与投放量x正相关
C．经验回归直线＝10.6x＋过点(4，52.4)
D．当x＝8时，小龙虾产量的预测值是93.8
12．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知经验回归方程为＝6.3x＋6.8，下列说法正确的是( )
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 40 44
A．看不清的数据★的值为33
B．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨
C．据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨
D．经验回归直线＝6.3x＋6.8恰好经过点(4，★)
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ________．
14．某工厂1～8月份某种产品的产量x(单位：t)与成本y(单位：万元)的统计数据如表．
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
产量x/t 5.6 6.0 6.1 6.4 7.0 7.5 8.0 8.2
成本y/万元 130 136 143 149 157 172 183 188
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系，若有，求出其经验回归方程．
15．改革开放以来，我国高等教育事业迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率．现得到某城市从2016—2020年的本科录取成绩，为了便于计算，将2016年编号为1，2017年编号为2，…，2020年编号为5，如果将每年的本科录取率记作y%，把年份对应编号1到5作为自变量，记作x，得到如下数据：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
自变量x 1 2 3 4 5
本科录取率y% 24.5% 27.5% 29% 31.5% 32.5%
(1)试建立y关于x的经验回归方程；
(2)已知该城市2021年本科录取率为35.5%，2022年本科录取率为37.4%．若|－y|≤0.5，则认为该经验回归方程精确度较高，试用2021年和2022年的数据判断能否用该方程预测2023年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2023年该城市的本科录取率．
课时分层作业(二十)
1．C [经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，故有些散点不一定在经验回归直线上．]
2．A [由x与y正相关，排除选项C，D．
将＝3，＝3.5代入选项A，B，经检验B不成立．]
3．B [画出散点图，知>0，<0．
]
＝＝＝1.2，
＝5－1.2×4＝0.2，所以经验回归方程为＝1.2×8＋0.2＝9.8．故A、B、C选项正确，D选项错误．]
5．ACD [由题意知，＝8，，
代入经验回归方程＝2.59x＋＝2.78，
故A正确，B不正确；
将x＝4代入经验回归方程＝2.59x＋2.78，
得＝13.14≈13，故C正确；
经验回归方程中x的系数是2.59，故D正确．]
6．26 [由题意：＝4，由于经验回归方程过样本的中心点(＝2＋18＝2×4＋18＝26，则这5名儿童的平均体重是26kg．]
7．300 [因为经验回归直线过点()，
∴将＝20代入经验回归方程得＝60，
∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5＝300．]
8．73.5 [由题意得＝4.5，
＝35．
∵经验回归方程x＋＝7，
∴35＝7×4.5＋，
解得＝3.5，
∴＝7x＋3.5．
∴当x＝10时，＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．]
9．解：(1)由于×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80．
所以＝80＋20×8.5＝250，从而经验回归方程为＝－20x＋250．
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
10．D [因为财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，
所以Y＝0.7x＋3＋e．
当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，
所以9.5≤Y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元．]
11．BC [由表可知，投放量x的均值
＝4，
小龙虾的产量y的均值
＝52.4，
所以经验回归直线恒过定点(4，52.4)，故选项C正确；
代入经验回归方程＝10.6x＋＝10，故选项A错误；
经验回归方程为＝10.6x＋10，故选项B正确；
当x＝8时，＝10.6×8＋10＝94.8，故选项D错误．]
12．D [对于A，
因为＝4，
将＝4代入＝6.3x＋6.8，
故＝6.3×4＋6.8＝32，
∴★＝32×5－(19＋25＋40＋44)＝32，故A错误；
对于B，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故B错误；
对于C，当x＝8时，＝6.3×8＋6.8＝57.2，故C错误；
对于D，因为＝4，＝32，故＝6.3x＋6.8必经过点(4，32)，故D正确．]
13．0.5 0.53 [小李这5天的平均投篮命中率(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，＝3，＝0.01，＝0.5－0.03＝0.47．∴经验回归方程为＝0.01x＋0.47，则当x＝6时，＝0.53．
∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53．]
14．解：(1)散点图如图．
(2)由图可看出，这些点基本分布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关．
∴＝＝
∴经验回归方程为＝22.169x＋5.392．
≈157.25－22.169×6.85≈5.392．
∴经验回归方程为＝22.169x＋5.392．
15．解：(1)由表中数据可以计算出
＝3，＝29，
＝＝＝2，
＝29－2×3＝23，
故y关于x的经验回归方程为
＝2x＋23．
(2)当x＝6时，＝35，
|－y|＝|35－35.5|≤0.5；
当x＝7时，＝37，
|－y|＝|37－37.4|≤0.5，
则该经验回归方程可用来预测2023年该城市的本科录取率，
当x＝8时，＝39，
故预测2023年该城市的本科录取率为39%．