第七章 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共24张PPT)

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本章引入
第七章 复数
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我们知道，对于实系数一元二次方程，当时没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中， 如果限于实数集，有些问题就无法解决．事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决．在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等．
本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会 “数”与 “形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用．
第七章
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解引进虚单位i的必要性和数系扩充的过程. 1.拓展创新的素养.
2.理解复数的概念、表示法及相关概念. 2.归纳推理的素养.
3.掌握复数的分类和复数相等的充要条件. 3.化归转化的素养.
温故知新
回顾我们已经学过的数系
数集
扩充原因
自然数集
整数集
有理数集
实数集
计数的需要
表示相反意义的量（方程x+8=5）
解决等额分配的问题（方程3x=5）
度量的需要（方程x2=2）
知新探究
在解决求判别式小于０的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关．
从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解．
想一想，这是为什么？
知新探究
我们知道，方程在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关．例如，为了解决正方形对角线的度量， 以及这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集．
数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
依照数系扩充思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得．
是瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler.1707-1783）最早引入的，它取自imaginary(想象的，假设的)一词的词头， .
知新探究
把新引进的数i添加到实数集中，我们希望i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律，那么，实数系经过扩充，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想：把实数相乘，结果记作把实数相加，结果记作.注意 所有实数以及都可写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
我们把形如的数叫做复数(complex number)，其中叫做虚数单位(imaginary unit). 全体复数所构成的集合C 叫做复数集(set of complex).
复数通常用字母表示，即.以后不作特殊说明时，复数中都有，其中把实数叫做复数的实部(real part)，把实数b叫做复数的虚部(imaginary part).
这样，方程在复数集C中就有解了.
知新探究
在复数集C 中任取两个数， ，我们规定：
当且仅当.
练习：
1.复数,的实部、虚部是什么？
2.求满足下列条件的的值：
它们的实部分别为
1，
，
-2，
0，
1
它们的虚部分别为
3，
-1，
，
-，
1
解：由复数相等的条件得
解得.
知新探究
对于复数，当且仅当时，它是实数；
当且仅当时，它是实数0；
当时，它叫做虚数(imaginary number)；
当且时，它叫做纯虚数.
练习：指出下列各数中，哪些是实数 哪些是虚数 哪些是纯虚数 为什么？
.
实数：，
虚数：
纯虚数：.
知新探究
复数集C与实数集R之间有什么关系？
显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C.
这样，复数可以分类如下：
复数z=a+bi
(a, b∈R)
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数
(a=0, b≠0)
非纯虚数
(a≠0, b≠0)
复数集
实数集
纯虚数集
虚数集
N
Z
Q
R
C
知新探究
知新探究
注意：
1.设复数时，一定要有，否则不能说实部为，虚部为；
2.虚部是复数代数形式中的实数系数，不含,不能说虚部为；
3.复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数.
新知探究
【例1】⑴给出下列几个命题：
①若，则； ②虚部是；
③的实部是0； ④若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
解：
令，则＝－1<0，故①不正确,
②中的虚部应是2，故②不正确,
④当＝0时，＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤正确.故选C.
新知探究
【例1】⑵以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A. B. C. D.
解：
∵的虚部为3,的实部为-3
∴该复数为 ，故选A.
新知探究
【例2】当实数取什么值时，复数 是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
分析：∵,∴都是实数.由复数是实数，虚数和纯虚数的条件可以确定的取值.
解：
（1）当m-1=0,即m=1时，复数z是实数；
（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
（3）当m+1=0且m-1≠0时，即m=-1时，复数z是纯虚数.
初试身手
解：
则有3个说法错误，故选C.
复数的虚部是5，①错；
形如的数不一定是虚数，②错；
只有当时，才是纯虚数，③错；
若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确.
1.给出下列说法：①复数的虚部是；②形如的数一定是虚数；③若，则是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　)
A．1　　　　 B．2　　　 　C．3　　　　 D．4
初试身手
2.如果，则实数的值分别为(　　)
A． B．
C． D．
解：
∴
当时，
∵
∴
∴.
故选A.
初试身手
3.求当实数为何值时，分别是:
(1)实数； (2)虚数； （3）纯虚数.
解：
∴
解得，
(1)∵,
∴
(2)∵为虚数,
∴
则，
（3）∵为纯虚数,
∴
课堂小结
1.虚单位的引入：.
2.复数有关概念：
复数z=a+bi
(a, b∈R)
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数
(a=0, b≠0)
非纯虚数
(a≠0, b≠0)
3.复数相等：
当且仅当.
4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数集
复数集
虚数集
纯虚数集
作业布置
作业： P73 习题7.1 第1，2，3题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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