江苏省南京市五校2023-2024学年高二下学期期初调研测试数学试卷（含解析）

江苏省南京市五校2023-2024学年高二下学期期初调研测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．直线倾斜角为( )
A. B. C. D.
2．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列,其中前几项分别为2,5,9,14,20,27,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列,则( )
A.8 B.9 C.10 D.11
4．已知数列均为等差数列,,,则( )
A.9 B.18 C.16 D.27
5．已知F为椭圆的右焦点,A为C的左顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若直线AB的斜率为,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．设,若函数有极值点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．已知圆,点P是圆上的一点,过点P作圆O的切线与圆相切于点M,N,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．已知a,b,,,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.直线是曲线的切线
D.若在区间上的最大值为3,则
10．已知数列和满足,,,.则( )
A.是等比数列 B.是等差数列
C. D.
11．已知点M在圆上,点,,则( )
A.存在点M,使得 B.存在点M,使得
C. D.
三、填空题
12．若函数的图象是连续平滑曲线,且在区间上恒非负,则其图象与直线,
,轴围成的封闭图形的面积称为在区间上的“围面积”.根据牛顿-莱布尼茨公式,计算面积时,若存在函数满足,则为在区间上的围面积.函数在区间上的围面积是____________.
13．在等比数列中,,为该数列的前n项和,为数列的前n项和,且,则实数t的值是____________.
14．双曲线的左,右焦点分别是,,离心率为,点P是C的右支上异于顶点的一点,过作的平分线的垂线,垂足是M,,若C上一点T满足,则T到C的两条渐近线距离之和为____________.
四、解答题
15．设,函数的单调增区间是.
（1）求实数a;
（2）求函数的极值.
16．已知点P到点的距离比到直线的距离小1,记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）过点F的直线与C交于A,B两点,且,求.
17．已知数列的各项均大于1,其前n项和为,数列满足,,,数列满足,且,.
（1）证明:数列是等差数列;
（2）求的前项和.
18．在平面直角坐标系xOy中,已知点,,,记M的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）过点的直线l与C交于P,Q两点,,,设直线AP,BP,BQ的斜率分别为,,.
(i)若,求;
(ii)证明:为定值.
19．已知函数,.
（1）若函数在定义域上单调递增,求a的取值范围;
（2）若函数有两个极值点,.
(i)求a的取值范围;
(ii)证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：D
解析：抛物线的焦点坐标为:,
故选:D.
3．答案：C
解析：由题意可知,,,,,,,所以.
4．答案：A
解析：由题意,两式相加可得,,
则.
故选A.
5．答案：B
解析：已知F为椭圆的右焦点,
则,
又A为C的左顶点,
则,B为C上的点,且BF垂直于x轴,
联立,
解得:,
又直线AB的斜率为,
则,
即,
即,
即,
又,
则.
则椭圆C的离心率为.
故选:B.
6．答案：A
解析：有极值点,
有解,
故选:A.
7．答案：B
解析：根据题意,圆,其圆心为,半径,
过点P作圆O的切线与圆O相切于点M,N,
由圆的性质可得
,
当取得最小值时,最小,圆的圆心,半径为2,
又由点P是圆上的一点,
则的最小值为,
所以的最小值为,
所以的最小值为.
故选:B.
8．答案：D
解析：令,
则,
在上单调递减且,
又,即,
同理,可得,,,作出函数的大致图象,结合函数图象可知,
故选:D.
9．答案：ABD
解析：因为,则,
令,得,解得,
当或时,,当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,在处取得极小值,且,,图象如图所示:
故A,B正确;
令,则,且,故函数在处的切线斜率为-3,此时切线方程为,
即在处的切线方程为,故C错误;
因为,且,
所以要使在区间上的最大值为3,
则,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：由,,
两式相加可得,
即,
即是首项为,公比为的等比数列,可得,故A正确,C错误;
由,,两式相减可得,
即有是首项为,公差为2的等差数列,可得,故B正确;
由,,
解得,故D正确.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：将圆化为标准方程得:,则圆心,半径,
又,所以,因为点M在圆上,
所以,所以存在点M,使得,故A对;
因为,所以点Q在圆外,又,则点P在圆内,所以当QM与圆C相切时,取最大值,此时,所以,故C对;
设,若,则即,所以,又点M在圆上,所以一定成立,故D对,B错.
故选:ACD.
12．答案：
解析：令,则,
由题意可知,
函数在区间上的围面积是
,
故答案为:.
13．答案：
解析：设等比数列的公比为q,
则,解得,
故,,,
所以,,,
则,解得,
故答案为:.
14．答案：
解析：点P是C的右支上异于顶点的一点,过作的平分线的垂线,垂足是M,,延长交于点Q,
则,,
则,
则,
即,
又双曲线的离心率为,
则,
即,
则,
即双曲线的方程为,浙近线方程为,
设,
由,
则,
即,
又,
则,
不妨设,
则T到C的两条渐近线距离之和为.
故答案为:.
15．答案：见解析
解析：
因为函数的单调增区间是,所以,,解得.
当时,令,则或
列表如下:
x 1
f'(x) + 0
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
当时,有极小值,当时,有极大值0.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,P到的距离和到直线的距离相等..
故点P的轨迹是以F为焦点,直线为准线的抛物线,
故曲线C的方程为;
（2）设直线AB的方程为,
联立,消去x得,设,,
则,,
因为,则,
解方程组,可得,或
所以
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）①,
,②,
①-②得,
整理得,
或,
又,得或(舍去),
若,则,得,舍去,
,即,
数列是以3为首项,2为公差的等差数列;
（2）由（1）可得,即,
,
,
令,
则,
两式相减得
,
,
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为,根据椭圆的定义可知曲线C为以,为焦点的椭圆,......
其中,,所以
椭圆方程:..
（2）(i)易知直线PQ的斜率不为零,所以设直线PQ的方程为,,,
,得,
则,
则,,.
,
,.
(ii)因为,
为定值.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）在上恒成立,
所以在上恒成立,
因为,所以,经检验,符合题意
(i)由题设且,
若,则在上恒成立,即递增,不可能有两个极值点,不符;
故,又有两个极值点,则是的两个不同正根,
所以,可得,即实数a的取值范围是.
（2）(ii)由(i)且,,不妨设,
则
,
要证,需证,即,
只需证,即,令,则证,
由（1）可知当时,上递增,又,故,即,综上,.