邓州市第六高级中学校2023-2024学年高二下学期开学测试数学试卷（含解析）

邓州市第六高级中学校2023-2024学年高二下学期开学测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则( )
A. B.2 C. D.3
2．如果椭圆的焦距 短轴长 长轴长成等差数列，则其离心率为( )
A. B. C. D.
3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
4．已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
5．已知集合，集合（其中Z表示整数集），则( )
A. B. C. D.
6．从点向圆作切线（T为切点），则等于( )
A.5 B. C.3 D.
7．设函数若关于x的方程有四个实根，，，则的最小值为( )
A. B.23 C. D.24
8．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论错误的为( )
A.是偶函数 B.
C.的图象关于对称 D.
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A.若复数，则
B.若复数z满足，则复平面内z对应的点Z在一条直线上
C.若是纯虚数，则实数
D.若复数z满足，则复数的虚部为
10．在中，内角A，B，C满足，的面积S满足记a，b，c是内角A，BC，所对的边，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有( )
A. B. C. D.
12．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是( )
A.常值函数为回旋函数的充要条件是
B.若为回旋函数，则
C.函数不是回旋函数
D.若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点
三、填空题
13．已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________.
14．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为_________.
15．已知，，且，则的最大值为_________.
四、双空题
16．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________，_________.
五、解答题
17．已知函数（其中e为自然对数的底）是定义域为R的奇函数.
（1）求t的值，并写出的解析式；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若函数在上的最小值为，求k的值.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知.
（1）求B；
（2）若，，求b.
19．设函数，其中.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，，都有，求实数t的取值范围.
20．如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；
（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S；
（2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？
21．如果对于三个数a，b，c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a，b，c，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”.
（1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由；
（2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由.
22．已知定义在R上的偶函数和奇函数，且.
（1）求函数，的解析式;
（2）设函数，
记
探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立 若存在，求出所有满足条件的正整数n的值;若不存在，请说明理由.
参考结论:
设a，b均为常数，函数的图像关于点对称的充要条件是.
参考答案
1．答案：C
解析：由余弦定理得，又，所以，
又，故，
故选：C.
2．答案：A
解析：依题意，，，
由于，所以，
，，
由于为正数，所以，.
故选：A.
3．答案：C
解析：从三视图可以还原直观图，如图：三棱锥即为直观图，
可以看出该几何体的外接球即为正方体的外接球，
设外接球半径为R，则，所以，
故外接球的表面积为.
故选：C.
4．答案：C
解析：因为，，
所以.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为，所以，
又，所以.
故选：D.
6．答案：C
解析：设圆的圆心为M，故可得，；
故由三角形为直角三角形可得：，
代值可得：，解得.
故选：C.
7．答案：B
解析：做出函数的图像如图所示，
由图可知，，由，可得或，
所以，又因为，
所以，故，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
8．答案：D
解析：为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，
，
，所以是周期函数，4是它的一个周期.
，
，B正确；
，是偶函数，A正确；
因此的图象也关于点对称，C正确；
对任意的，，且，都有，即时，，所以在是单调递增，
，，，
，，D错.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A：因为，所以.故A正确；
对于B：设，代入，得，整理得：，即点Z在直线上.故B正确；
对于C：是纯虚数，则，即.故C错误；
对于D:设，由，可得：，所以，，复数的虚部为-2，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：CD
解析：，
，
故，
即，
展开得到，
即，A错误，D正确；
，
故，故，B错误C正确；
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：已知两方程化为，，
所以a，b分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，
易知和的图象关于直线对称，
而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，
，，
，A正确；
又，所以，，
从而，B正确；
，
当且仅当即时取等号，
由于，而，因此，等号不成立，即，C错误，
，
设，则，
，，
所以，所以，
时，是减函数，所以由得，
所以，D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：A.若，则，则，解得：，故A正确；
B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；
C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；
D.若是的回旋函数，则，对任意的实数x都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，2，4，…，，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.
故选：ACD.
13．答案：或
解析：因为，所以或，即或，解得或.
故答案为：或.
14．答案：3
解析：令得，即，所以的零点问题可以转化成与的交点，
令得，即，所以函数的零点问题可以看成与的交点，
令解得，将x与y互换，得，所以与互为反函数，其图象关于对称，绘制函数图像，得到
结合对称可知，，而，所以，而，，G点坐标为，所以，
故答案为：3.
15．答案：
解析：由，，得，
即，
又，
当且仅当，即时，取等，
故，
解得或（舍），
故，即的最大值为，
故答案为：.
16．答案：；
解析：由三角函数的定义得，，
故答案为：；.
17．答案：（1）或，
（2）在R上单调递减，证明见解析
（3）
解析：（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以，即，
解得:或，所以，
又此时满足，所以.
（2）在R上单调递减.证明如下：
设，则，
因为，所以，所以，，
可得，即，
所以在R上单调递减.
（3）由（1）可知，
令，则，
因为在R上是增函数，且，所以.
因为在上的最小值为-2，
所以在上的最小值为-2.
因为，
所以当时，即时，
解得或（舍去）；
当时，即时，不符合题意，舍去；
综上可知，.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
，
即，
，
，，
，
.
（2），
，
由，
得，
.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）当时，则，，
由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；
当时，的最大值为10；
所以在区间值域的为.
（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”.
由（1）知时，，
由二次函数的性质知函数的图象开口向上，
所以在上的最大值为或，
则，即，解得：，
故实数a的取值范围为区间.
（3）设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的，，都有”等价于“”，
又在上单调递减，在上单调递增，
①当时，在上单调递增，
则，，
即，解得，
即；
②当，，.
由，解得：，
即；
③当时，，.
由，得，
即；
④当时，，.
由，得，
即.
综上，t的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）A在弧的四等分点处，
解析：（1）作，垂足为H，交于E，连接，，
由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即A，B关于直线对称，
则，，则，，
而，故为等腰直角三角形，则，
故，
则
.
（2）因为，则，，
，
故，
则
，
因为，所以，故时，取最大值，
即当时，，
即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，.
21．答案：（1）不是，理由见解析
（2）是，理由见解析
解析：（1）因为，取，
则，，，
显然，即，，不能构成三角形的三边，
故函数不是“保三角形函数”.
（2）①当时，，所以最大.
，
，
，
由得，所以，
故，即，，能构成三角形的三边；
②当时，，所以最大.
，
由得，，
故，即，，能构成三角形的三边；
③当时，，所以最大.
，
，
，
由得，所以，
故，即，，能构成三角形的三边；
综合①②③可知，函数是“保三角形函数”.
22．答案：（1），
（2），3
解析：（1），，
又为偶函数，为奇函数，，，
，
，.
（2）由题意，为奇函数，其图象关于中心对称，
函数的图象关于点中心对称，
即对任意的，，
，
，
，
.
由可得，
即.
，，
由此可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，，则，，
任取，，且，
则，
，，，，
则在上单调递增，
在上单调递增，
，，
又，，
，3.