1.1.1集合的含义与表示
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课件42张PPT。15:261集合的含义与表示15:262问题:体育课的时候，当老师一声口令：“高一（6）班集合”，
高一（6）班的同学们就会从四面八方聚集到体育老师身边来，
不是高一（6）班的同学就会自动走开.
15:263鸟群羊群鱼群集合同一类对象汇集在一起15:264“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:同一类对象汇集在一起，也就是许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？15:265 定 义把一些元素组成的总体一般地, 我们把研究对象统称为元素.叫做集合.15:266 考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数； 思考：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述2个集合中的元素分别是什么？知识探究：集合的概念15:267知识探究：集合元素的特性任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？提示：集合中的元素必须是确定的，即确定性.思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？提示：集合中的元素是不重复出现的，即互异性.思考3：某班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？提示：集合中的元素是没有顺序的，即无序性.15:268集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．如：{1，2}，{2，1}为同一集合.只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的15:269 ①数 1，3，5，7．
②满足3x－2＞x＋3的全体实数．
③到角两边距离之和相等的点．
④所有直角三角形．
⑤高一（6）班全体同学． 数数点形人集合元素的特征:15:2610练习.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( )15:26113.已知集合S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形D解析：根据元素的互异性可知，
a≠b，a≠c，b≠c。m≠015:2612集合常用大写字母A，B，C，D，……表示，
元素常用小写字母a，b，c，d，……表示。元素与集合的表示及之间的关系例如:A={1，2，3，4，5} 则3∈A ，15:26136.设集合M={平行四边形}，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p___M,q_____M.15:2614常用的数集及其记法一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作_______;
正整数集记作______________;
整数集记作_______;
有理数集记作______;
实数集记作________;NN*或N+ZQR注意：自然数集包括015:2615315:26162.已知集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6-a∈A，则a为（ ）
A.2 B.2或4 C.4 D.0B解析：当a=2时，6-a=4∈A;
当a=4时，6-a=2∈A；
当a=6时，6-a=0?A,
∴a=2或a=4.15:2617【例2】 已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成且2∈A，求m.解：∵2∈A，则m＝2或m2＋1＝2，∴m＝2或m＝±1，当m＝2时，集合中的元素为2,5,1，符合集合中元素的互异性．当m＝1时，不符合元素的互异性，舍去．当m＝－1时，集合中的元素为－1,2,1，符合集合中元素的互异性．综上，可知m＝2或m＝－1.15:2618知识探究：集合的表示方法观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
(3)不等式x－2≥3的解集；
(4)所有正偶数组成的集合．思考1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)(2)中的元素可以一一列举出来．
(3)(4)中的元素不能一一列举，因为元素有无穷多个.15:2619*有限集与无限集*⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集15:2620集合的表示法 (1)列举法
当集合中的元素的个数较少时，在表示集合时，可以把集合中的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把元素括起来．这种表示集合的方法叫做列举法． 例如，
不大于10的正偶数的集合可以用
{2，4，6，8，10}表示.地球上的四大洋组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.15:2621 例1：用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有质数组成的集合__________;
(2)由大于3小于10的整数组成的集合___________________;
(3)方程x2-16=0的实数解组成的集合_________;
{ 2, 3, 5, 7 }{ 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 }{ -4, 4}15:2622【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．解：(1)方程x(x2－1)＝0的实数根为0,1，－1，故其实数根组成的集合为{－1,0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．15:2623【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．15:2624知识探究：集合的表示方法观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
(3)不等式x－2≥3的解集；
(4)所有正偶数组成的集合．思考2：设(3)(4)中的元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．
提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.15:2625（2）描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.15:2626思考你能用描述法表示不等式x－7<3的解集吗？代表元素符号元素共同特征或满足的条件15:2627练习：用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合_____________;
(2)所有偶数组成的集合_____________________;
(3)直角坐标系内,第二象限内的点组成的集合
_______________________;说明:如果从上下文的关系来看,x∈R,x∈Z等是明确的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只写其元素x.如:不等式x-7<3的解集可以表示为A={x | x<10}.所有奇数组成的集合可以表示为:B={x| x=2k+1,k∈Z}.{x∈Q | x < 10 }{x | x=2n,n∈Z }{(x,y) |x<0 , 且y>0 }15:2628例2 试用列举法和描述法表示下列集合:(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.15:2629例2 试用列举法和描述法表示下列集合:(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.15:26302．用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合；
(3)不等式4x－6<5的解集；解：(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．(3){x|4x－6<5，x∈R}．15:2631说明:
(1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种方法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具体分析.
要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，
例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不能写成{全体整数}。下列写法{实数集}，{R},{高一级全体学生}也是错误的。15:2632(2)在集合的书写形式上,要注意规范性.(3)在没有指定集合的表示方法时,能明确表示集合的要明确表示出来. 如关于x的方程x-a=0的解集应写成{a},而不是a. 如所有小于20的既是奇数又是素数的数组成的集合表示为{3,5,7,11,13,17,19}更为明确; 又如非负奇数组成的集合表示为：{x|x=2n+1,n∈N}更为恰当,这一点需要注意.15:26335.集合A={a,b,(a,b)}含有______个元素。33.已知集合M={x∈N|8-x∈N}，则M中的元素最多有_____个。915:2634 图示法------画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示.如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为: 1 2 3 4 515:2635 课堂练习 (课本5页) 练习： 1.用符合“∈”或“?”填空：
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则：
中国_____A；美国_____A；印度_____A；
英国_____A．
(2)若A＝{x|x2＝x}， 则－1_____A；
(3)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3_____B；
(4)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8_____C，9.1_____C；∈∈∈练习：2课本P11 A 215:2636例 、 用适当的方法表示下列集合
（1）大于1小于10的偶数与质数所成的集合
（2）正有理数集
（3）偶数集
奇数集
正奇数集
能被3整除的整数
集合的表示方法举例{x∈Q| x＞0 }{x| x＝2n，n∈Z }{x| x＝2n+1，n∈Z }{x| x＝2n+1，n∈N* }{x| x＝3n，n∈N }15:2637【例2】 用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(4)在平面直角坐标系中，两坐标轴上点的集合．解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；(4){(x，y)|xy＝0}．【例3】 用适当的方法表示集合：比5大3的数；解：比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．15:26382.集合M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}是指（ ）
A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集
C.第一、三象限内的点集
D.第二、四象限内的点集C3.下列集合中表示同一集合的是（ ）
A. M={(3，2)}, N={(2，3)}
B. M={3，2}, N={2，3}
C. M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1}
D. M={1,2} N={(1,2)}B15:2639{5,4,2,-2}8.集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0}，若点P(2,3)∈A且P(2,3)?B,试求m,n的取值范围。解：∵点P∈A,∴2×2-3+m>0.
∴m>-1.
∵点P?B，∴2+3-n>0.
∴n<5.
∴所求m,n的取值范围分别是
{m|m>-1},{n|n<5.}15:2640B15:2641(1)解：∵2∈S,2≠1，∵－1∈S，－1≠1，15:2642(2)证明：由a∈S，(a≠0)，
高一（6）班的同学们就会从四面八方聚集到体育老师身边来，
不是高一（6）班的同学就会自动走开.
15:263鸟群羊群鱼群集合同一类对象汇集在一起15:264“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:同一类对象汇集在一起，也就是许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？15:265 定 义把一些元素组成的总体一般地, 我们把研究对象统称为元素.叫做集合.15:266 考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数； 思考：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述2个集合中的元素分别是什么？知识探究：集合的概念15:267知识探究：集合元素的特性任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？提示：集合中的元素必须是确定的，即确定性.思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？提示：集合中的元素是不重复出现的，即互异性.思考3：某班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？提示：集合中的元素是没有顺序的，即无序性.15:268集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．如：{1，2}，{2，1}为同一集合.只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的15:269 ①数 1，3，5，7．
②满足3x－2＞x＋3的全体实数．
③到角两边距离之和相等的点．
④所有直角三角形．
⑤高一（6）班全体同学． 数数点形人集合元素的特征:15:2610练习.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( )15:26113.已知集合S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形D解析：根据元素的互异性可知，
a≠b，a≠c，b≠c。m≠015:2612集合常用大写字母A，B，C，D，……表示，
元素常用小写字母a，b，c，d，……表示。元素与集合的表示及之间的关系例如:A={1，2，3，4，5} 则3∈A ，15:26136.设集合M={平行四边形}，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p___M,q_____M.15:2614常用的数集及其记法一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作_______;
正整数集记作______________;
整数集记作_______;
有理数集记作______;
实数集记作________;NN*或N+ZQR注意：自然数集包括015:2615315:26162.已知集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6-a∈A，则a为（ ）
A.2 B.2或4 C.4 D.0B解析：当a=2时，6-a=4∈A;
当a=4时，6-a=2∈A；
当a=6时，6-a=0?A,
∴a=2或a=4.15:2617【例2】 已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成且2∈A，求m.解：∵2∈A，则m＝2或m2＋1＝2，∴m＝2或m＝±1，当m＝2时，集合中的元素为2,5,1，符合集合中元素的互异性．当m＝1时，不符合元素的互异性，舍去．当m＝－1时，集合中的元素为－1,2,1，符合集合中元素的互异性．综上，可知m＝2或m＝－1.15:2618知识探究：集合的表示方法观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
(3)不等式x－2≥3的解集；
(4)所有正偶数组成的集合．思考1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)(2)中的元素可以一一列举出来．
(3)(4)中的元素不能一一列举，因为元素有无穷多个.15:2619*有限集与无限集*⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集15:2620集合的表示法 (1)列举法
当集合中的元素的个数较少时，在表示集合时，可以把集合中的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把元素括起来．这种表示集合的方法叫做列举法． 例如，
不大于10的正偶数的集合可以用
{2，4，6，8，10}表示.地球上的四大洋组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.15:2621 例1：用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有质数组成的集合__________;
(2)由大于3小于10的整数组成的集合___________________;
(3)方程x2-16=0的实数解组成的集合_________;
{ 2, 3, 5, 7 }{ 4, 5, 6, 7 ,8 ,9 }{ -4, 4}15:2622【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．解：(1)方程x(x2－1)＝0的实数根为0,1，－1，故其实数根组成的集合为{－1,0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．15:2623【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．15:2624知识探究：集合的表示方法观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
(3)不等式x－2≥3的解集；
(4)所有正偶数组成的集合．思考2：设(3)(4)中的元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．
提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.15:2625（2）描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.15:2626思考你能用描述法表示不等式x－7<3的解集吗？代表元素符号元素共同特征或满足的条件15:2627练习：用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合_____________;
(2)所有偶数组成的集合_____________________;
(3)直角坐标系内,第二象限内的点组成的集合
_______________________;说明:如果从上下文的关系来看,x∈R,x∈Z等是明确的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只写其元素x.如:不等式x-7<3的解集可以表示为A={x | x<10}.所有奇数组成的集合可以表示为:B={x| x=2k+1,k∈Z}.{x∈Q | x < 10 }{x | x=2n,n∈Z }{(x,y) |x<0 , 且y>0 }15:2628例2 试用列举法和描述法表示下列集合:(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.15:2629例2 试用列举法和描述法表示下列集合:(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.15:26302．用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合；
(3)不等式4x－6<5的解集；解：(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．(3){x|4x－6<5，x∈R}．15:2631说明:
(1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种方法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具体分析.
要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，
例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不能写成{全体整数}。下列写法{实数集}，{R},{高一级全体学生}也是错误的。15:2632(2)在集合的书写形式上,要注意规范性.(3)在没有指定集合的表示方法时,能明确表示集合的要明确表示出来. 如关于x的方程x-a=0的解集应写成{a},而不是a. 如所有小于20的既是奇数又是素数的数组成的集合表示为{3,5,7,11,13,17,19}更为明确; 又如非负奇数组成的集合表示为：{x|x=2n+1,n∈N}更为恰当,这一点需要注意.15:26335.集合A={a,b,(a,b)}含有______个元素。33.已知集合M={x∈N|8-x∈N}，则M中的元素最多有_____个。915:2634 图示法------画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示.如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为: 1 2 3 4 515:2635 课堂练习 (课本5页) 练习： 1.用符合“∈”或“?”填空：
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则：
中国_____A；美国_____A；印度_____A；
英国_____A．
(2)若A＝{x|x2＝x}， 则－1_____A；
(3)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3_____B；
(4)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8_____C，9.1_____C；∈∈∈练习：2课本P11 A 215:2636例 、 用适当的方法表示下列集合
（1）大于1小于10的偶数与质数所成的集合
（2）正有理数集
（3）偶数集
奇数集
正奇数集
能被3整除的整数
集合的表示方法举例{x∈Q| x＞0 }{x| x＝2n，n∈Z }{x| x＝2n+1，n∈Z }{x| x＝2n+1，n∈N* }{x| x＝3n，n∈N }15:2637【例2】 用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(4)在平面直角坐标系中，两坐标轴上点的集合．解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；(4){(x，y)|xy＝0}．【例3】 用适当的方法表示集合：比5大3的数；解：比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．15:26382.集合M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}是指（ ）
A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集
C.第一、三象限内的点集
D.第二、四象限内的点集C3.下列集合中表示同一集合的是（ ）
A. M={(3，2)}, N={(2，3)}
B. M={3，2}, N={2，3}
C. M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1}
D. M={1,2} N={(1,2)}B15:2639{5,4,2,-2}8.集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0}，若点P(2,3)∈A且P(2,3)?B,试求m,n的取值范围。解：∵点P∈A,∴2×2-3+m>0.
∴m>-1.
∵点P?B，∴2+3-n>0.
∴n<5.
∴所求m,n的取值范围分别是
{m|m>-1},{n|n<5.}15:2640B15:2641(1)解：∵2∈S,2≠1，∵－1∈S，－1≠1，15:2642(2)证明：由a∈S，(a≠0)，