江苏省宿迁市泗阳县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

江苏省宿迁市泗阳县2024届九年级上学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的解是( )
A. B. C.，， D.，
2．如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮.琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神.文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的( )
A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的相似 D.图形的旋转
3．已知，则下列比例式成立的是( )
A. B. C. D.
4．已知点、都在函数的图象上，则、的大小关系为( )
A. B. C. D.无法确定
5．如图，不能判定和相似的条件是( )
A. B.
C. D.
6．把抛物线向左平移2个单位得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
7．若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．如图，AB是的直径，D，C是上的点，，则的度数是( )
A. B. C. D.
9．某同学将如图所示的三条间距相同的水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条同样间距的竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么该同学选择作为x轴和y轴的直线分别为( )
A.， B.， C.， D.，
10．如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边、于点M、N，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11．甲、乙两同学近四次数学测试成绩的平均分都为80分，且，，则成绩比较稳定的是_____
12．抛物线的顶点坐标是________.
13．已知二次函数的图象有最高点，则a的取值范围是__________.
14．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为_______.
15．如图，与相切于点B，连结并延长交于点C，连结.若，则的度数是__________.
16．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是_____.
17．如图，是一个小型花园，，，花园的中间部分是一个圆形水池，该圆形水池与的三边都相切，花园中的阴影部分为花圃，若从天空飘落下一片树叶.恰好落入花园里，则树叶落入水池的概率为__________.（的值取3）
18．如图，中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，在的边上取一点D，过点D作的切线，切点记为Q.若，且满足条件的D点恰有3个，则r的取值应满足的条件为_____.
三、解答题
19．解下列方程
（1）；
（2）.
20．某中学开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现从由2名男生和1名女生所组成的主持候选人小组中，随机选取产生主持人.
（1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为__________；
（2）若选取两人担任主持人，求两名主持人恰好为一男一女的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出求解过程）
21．如图，.
（1）与是否相似？请说明理由.
（2）设，，求的值.
22．如图，在中，，的半径为OB.
（1）请用尺规作图法在圆上确定一点C（点C不与点B重合），使得AC为的切线，保留作图痕迹并写出作法；
（2）证明你的作图方法是正确的.
23．综合与实践
问题情境：某校组织九年级800名学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动.
实践发现：为了考查训练效果，在进行提升训练前学校先组织全体学生进行了摸底测试，经过提升训练后再进行模拟考试，并用抽样调查的方式从中随机抽取了50名学生提升训练前后的摸底测试和模拟考试的成绩，收集整理后，制成如下表格：
摸底测试 成绩（个） 6 7 8 9 10
人数（人） 16 8 9 9 8
模拟考试 成绩（个） 6 7 8 9 10
人数（人） 5 8 6 12 19
实践探究：分析数据如下：（单位：个数）
中位数 众数
摸底测试 a 6
模拟考试 9 b
（1）上述表格中，__________，__________；
（2）若考试成绩达到9个以上（含9个）为优秀，请估计该校九年级800名学生经过训练后，模拟考试成绩优秀的人数约有多少人？
24．新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为.
（1）图像数为的二次函数表达式为__________.
（2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点.
25．如图，在中，，点D在BC上，AD的延长线交的外接圆于点E.
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长.
26．如图，在中，，，.点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动.当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动.设动点运动的时间为t（s）.
（1）当t为何值时，的面积为；
（2）求四边形面积的最小值.
27．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D.
（1）若，求的长.
（2）如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：.
（3）如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数.
28．如图，抛物线（，）的顶点为D，与x轴交于A，B两点，我们发现在x轴下方的抛物线的形状很像一口锅，于是我们作如下新的定义：以为弦，在上方作弧，取图1中A、B两点之间的抛物线部分，把A，B两点之间的抛物线部分与弧所围成的封闭图形称为“锅线”，如图2，记为“锅线”，顶点D称为“锅底”，点D到线段的距离称为“锅深”，弧称为“锅盖”，弧的中点C到线段的距离称为“锅盖高”，若为等腰直角三角形，则此“锅线”称为“标准锅线”.
（1）若图2中的“锅线”为“标准锅线”，“锅盖高”为，“锅深”为，
①求抛物线的解析式.
②求弧所在圆的圆心坐标；
（2）在（1）的情况下，如图2，在“标准锅线”上是否存在一点M，使得，如果存在，请求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）在（1）的情况下，将图2的“标准锅线”绕点D顺时针旋转得到新的“标准锅线”，如图，过点作直线轴交“标准锅线”于点E，在线段上取一点G，过点G作直线交“标准锅线”于点F、H两点，请直接写出线段的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：
或
，，
故选：D.
2．答案：C
解析：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似.
故选：C.
3．答案：B
解析：A.变成等积式是：，故不符合题意；
B.变成等积式是：，故符合题意；
C.变成等积式是：，故不符合题意；
D.变成等积式是：，故不符合题意.
故选：B.
4．答案：A
解析：二次函数，
当时，，
当时，，
，
故选：A.
5．答案：D
解析：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意；
B.，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意；
C.，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意；
D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；
故选：D.
6．答案：A
解析：把抛物线向左平移2个单位得到的抛物线是：.
故选：A.
7．答案：A
解析：由题意可知：，，.
判别式，
方程没有实数根，
，
，
故选：A.
8．答案：B
解析：四边形是的内接四边形，，
，
是的直径，
，
，
故选：B.
9．答案：B
解析：，
顶点坐标为，
，
抛物线与的交点为顶点，
为y轴，
，
为x轴，
故选：B.
10．答案：B
解析：如图，连接，，连接，交于Q，则，
正六边形中，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，，，
由勾股定理得，，
，
，
，
如图，作于G，于H，
，，
，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，，
，
，
由勾股定理得，
由对称性可知，，
，
.
故选：B.
11．答案：乙
解析：甲同学成绩的方差为，乙同学成绩的方差为，
它们的数学测试成绩较稳定的是乙.
12．答案：
解析：由题中所给解析式中的可知顶点横坐标为1，再由后面常数项可知顶点纵坐标为3，
因此顶点坐标为.
故答案为：.
13．答案：
解析：二次函数的图象有最高点，
二次函数的图象开口向下，
，
故答案为：.
14．答案：
解析：圆锥的侧面积为：.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图，连接，
与相切于点B，
.
，
，
，
.
故答案为：.
16．答案：，
解析：由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1，对称轴为，根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
二次函数的图象与x轴的交点即为一元二次方程的解
一元二次方程的解为，，
故答案为：，.
17．答案：
解析：如图设三角形内切圆为，与三边分别相切于点E、F、G，连接，，，，.
则平分，，，，
又，
点A，点O，点F共线，
，
，，
，
设的半径为r，在中，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：.
18．答案：或
解析：中，，，，
，
依题意，分两种情况讨论，
当符合题意的点D在，，上时，如图所示，
则，
，
，
；
当一点D与点B重合，在，上各一点D符合题意，此时如图所示，
，
又，
，
综上所述，或.
19．答案：（1），
（2），
解析：（1）
，；
（2）
或
，.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为；
故答案为：.
（2）列表为：
男1 男2 女
男1 男2，男1 女，男1
男2 男1，男2 女，男2
女 男1，女 男2，女
共有6种等可能的结果数，其中恰好为一男一女的结果数为4，所以P（主持人恰好为一男一女）.
21．答案：（1）相似，理由见解析
（2）
解析：（1）相似，理由如下：
，
，
又，
；
（2）由（1）知，
，
，，
.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图所示，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交于点C，连接AC，AC即为的切线.
（2）由（1）中作图方法可知，，，
在和中，
，
，
，
，
AC为的切线.
23．答案：（1）8；10
（2）496人
解析：（1）共50个数据，将数据进行排序后第25个和第26个数据的平均数即为中位数，由表格可知，第25个和第26个数据均为8，
；
摸拟考试的数据中，出现次数最多的数据为10，
；
故答案为：8；10；
（2）估计该校九年级800名学生经过训练后，模拟考试成绩优秀的人数约有：（人）.
答：模拟考试成绩优秀的人数约有496人.
24．答案：（1）
（2）见详解
解析：（1）图像数为的二次函数表达式为：.
（2）“图象数”为的二次函数表达式为：.
当时，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点.
25．答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）证明：在中，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，即，
（2），
，，
，
解得：.
26．答案：（1）或时，的面积为
（2）四边形面积的最小值为
解析：（1）由题意得：，，
；
由题意得：，
解得或，
或时，的面积为；
（2）且，
，
当时，的面积最大，最大值是.
此时，四边形面积取得最小值，最小值为.
27．答案：（1）
（2）见解析
（3）或
解析：（1）如图1，连接，
的角平分线交于点D，
，
，
是的直径，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
的长为；
（2）证明：由切线的性质可知，，
由（1）可知，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，，
，
，
；
（3）由（1）可知，，
，
由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解；
①当时，
，，
A、Q重合，不符合要求，舍去；
②当时，
由勾股定理得，，
，即，
，
，整理得，，
解得，或（舍去），
，
，
，
；
③当时，
同理②，可得，
解得，或（舍去），
，
，
，
；
综上所述，的度数为或.
28．答案：（1）①
②
（2）
（3）
解析：（1）①“锅深”为，
，则，，，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
抛物线解析式为，
②“锅盖高”为，
，
设弧所在圆的圆心为，
则
解得：
弧所在圆的圆心为；
（2）如图所示，连接，作等腰直角三角形，使得，，
过点C作，过点A，N分别作，，垂足分别为K、L，延长交“标准锅线”于点M，
，
又，，
，
，，
，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
，
解得：（舍去）或，
，
（3）依题意，与的夹角为，
将图3的“标准锅线”逆时针转，如图所示，
设交y轴于点Q，则，，
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得，，
解得：，
的解析式为，
过点F作交于点P，
设，则，
，
，
，
的最大值为，
，
，
又轴，
，则，
，
当取得最大值时，取的最大值，
的最大为.