17.3一次函数之二课堂实录
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八年级(华东师大)§17.3一次函数之二课堂实录
教学目标：1、知识与技能目标：会正确画出一次函数的图象，会求一次函数的图象与坐标轴的交点，探讨一些基本的性质。
2、过程与方法目标：通过学生积极参与画图，思考、分析，总结出又快又好的画出一次函数的图象的方法，并能利用一些基本的性质解决问题。
3、情感与态度目标：学生通过积极参与感受学习的快乐。
教学重点：一次函数的图象的画法，与坐标轴的交点的求法。
教学难点：与坐标轴的交点的求法的理解及其性质的简单应用。
教学方法：讲练结合
教学过程：
复习提问：一次函数的一般式是什么？
生：y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)
问：正比例函数是什么？
y＝kx (k是常数，k≠0)
例1：画出一次函数y＝－2x－1的图象
分析：先行列表，再描点画图，请大家完成
x … －1 0 1 2 …
y … 1 －1 －3 －5 …
问：如何判断点(－1.5，2)，(－2，－1)是否在函数的图象上？
生：可以代入解析式中去算，如果满足解析式，则表明点在直线上；如果不满足解析式，则表明点不在直线上。所以(－1.5，2)点在直线上， (－2，－1)不在直线上。
问：还有其他方法吗？
生：可以在图象上来出这点来，是否在函数的图象就清楚了。
问：好吧，那就请一个同学来画一画？
生：如图所示，能清楚的看到这一点。
师：很好，有两种办法，哪一种办法要精准些？
生：计算的方法，画的方法有误差。
师：已知y＝－2，1时，如何利用图象，分别求出其对应的x的值啊？
生：代入进去算不就完了吗？
师：当然可以，而且还很省事，但请看清楚我这里要利用图象求。谁到黑板上来画？
王磊：先找到y＝－2，1分别向y轴做垂线，交图象上的点，再通过这个点向x轴做垂线，对应的x轴坐标上的值就是它的x的对应值。
师：这个做法是正确的，呵呵！看来难不倒大家哈，再来一个，如何利用图象求x＝－2，－1的值？
生众：这不和刚才一样吗？只是先在横轴找到－2，－1的点，向x轴做垂线，与图象相交，再通过交点向y轴做垂线，对应的y的值是要求的。
师：很好，其实图象上一个点与其坐标是一一对应的，已知图象(或解析式)，①横坐标；②纵坐标；③图象上的点，已知这三个当中的任何一个都能求出其余的两个来。
问：通过前面画一次函数的图象和刚才画的图象，你能归纳出一次函数的图象是什么样吗？
生：是一条直线。
师：确实是一条直线。既然是一条直线，我们就有想法，有什么样的想法？
生：两点确定一条直线，只需要画两个点就可以了。
师：不错，不错的，这么模糊的问题你们都能回答啊！现在我想问的是找哪两点最便捷呢？
生：取整数吧，比如1，0，－1等等。
师(这不是我期望的答案，看来得继续引导了)：你们的取法当然也说得通，但你们的取法有此图中是否好画呢？误差是否大呢？考虑了这些没有？
生：画图描点时，要做两条虚线？
师：就是因为这两条虚线，会产生更大的误差，我们的想法是能不能不画这两条虚线，看看有什么好办法？
生：在坐标轴上取点。
师：就等你们说这句话了。我也是这样认为的。请看看这个图象与x、y轴的交点如何求？
生：(0.5，0)，(0，－1)
师：你们是直接通过图象看出来的，我是说的如何求，你们又没有仔细听我的问题吧，在画图象前要把这两点先求出来啊，然后再坐标轴上描出这两点，用尺子一画就完事了，谁来说，如何求？
徐林：因为这是图象与x、y轴的交点，其纵、横坐标分别为0，代入即可求出相应的另一个坐标。
师：刚才徐林的回答是非常正确的，也就是此时在坐标轴上，要结合坐标轴上的点的坐标有什么样的特点来进行思考。因此其答案是：(0.5，0)，(0，－1)。
师：请思考y＝kx＋b与y轴的交点是＿＿＿；与x轴的交点是＿＿＿。
生：与y轴的交点，此时x＝0，代入有y＝b，所以(0，b)是与y轴的交点的坐标；
生：与x轴的交点，此时y＝0，代入有x＝－，所以(－，0)是与x轴的交点的坐标；
检验一下刚才学习的效果，请完成练习P47
4. 填空：
（1）直线y＝4x－3过点（___，0）、（0，___）；
（2）直线过点（___，0）、（0，___）．
师：以后画一次函数的图象就很省事了：
x 0
y 0
填上两个空格，描出两点，用尺子一画就完事了。
(生皆高兴)
那来练习画两个。
例2：在同一直角坐标系内画出以下四个函数的图象。
①y＝2x－1；② y＝2x＋1；③y＝－2x－1； ④y＝2x。
①
x 0 0.5
y －1 0
②
x 0 －0.5
y 1 0
③
x 0 －0.5
y －1 0
④请大家想一想正比例函数的点如何取呢？横坐标可取0，1
x 0 1
y 0 0.5
生：①②④三条是平行的。
师：同学们的观察不错，我也发现了这三条是平行的，其图象的平行，必然是由解析式中的共同点所决定的？请思考你觉得是什么导致了他们平行？
生：他们的k值是相同的。
师：是正确的，有这样的结论：
已知直线l1:y＝k1x＋b1；l2:y＝k2x＋b2，且l1∥l2，有什么结论？
生：k1＝k2。
师：能否由k1＝k2得出l1∥l2？
生：可以。
结论：l1:y＝k1x＋b1；l2:y＝k2x＋b2，且l1∥l2 k1＝k2。
练习题：
问：已知直线l1:y＝3x－7，l2:y＝2x＋5.5有何关系？为什么？
生：平行。因为其k值是相同的。
问：l1:y＝－x＋1，l2:y＝kx－7且l1∥l2，则k＝＿＿＿。
生：k＝－。是由刚才的定理得来的。
师：请观察①②④③与y轴的交点的纵坐标与解析式中的什么有关？
生：与b有关，交点的纵坐标就是b的值。b是1就过1那一点，b是－1就过－1那一点。
师：这么肯定吗？看第④条没有b怎么过原点呢？
生：这还不简单，b＝0，刚才过原点0啊？！
师：原来是这样，看来你们的发现是没错的。因为前面我们就已经计算出了每一条一次函数的图象都过(0，b)这一点。这就是当然的了。(k的正负，函数的增减，b的正负与y轴的交点间的更进一步的关系就留在下节课去了，得出性质后集中练习，本节课就完成本节课的内容了……)
师：这三条直线是平行的，能否看成是由另一条直线的平移得来的？
生：能够。
师：①是由④如何平移得到的？
生：向下平移一个单位长度得来的。
师：其解析式发生了怎样的变化？
生：b处减1。
师：②是由如何④平移得到的？
生：向上平移一个单位长度得来的。
师：其解析式发生了怎样的变化？
生：b处加1
师：②是由如何①平移得到的？
生：向上平移两个单位长度得来的。
师：其解析式发生了怎样的变化？
生：把前者的b加2即可。
师：你能否归纳出一次函数的上下平移的规律？
刘海波：把一条直线向上平移多少个单位长度，就在b的位置加上多少；反之把一条直线向下平移多少个单位长度，就在b的位置减去多少。
师：这个归纳是很好的，我们还要把它式子化。
把l1:y＝k1x＋b1向上平移m(m＞0)个单位，则得到的解析式为l2：y＝k1x＋b1＋m；y＝k1x＋b1向下平移m(m＞0)个单位，则得到的解析式为l2：y＝k1x＋b1－m；
师：你们能否用四个字来说明他们的规律？
生：上加下减。
师：能干哦！与我想的一模一样。
请完成下面的练习：
P42练习2：
2.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_____________________.
(此时下课铃声响起)
生：(1)为y＝3x－2
(2)为y＝－x.
课外思考题：
向左平移m个单位长度与向右平移m个单位长度的的解析式会发生怎样的变化？
教学目标：1、知识与技能目标：会正确画出一次函数的图象，会求一次函数的图象与坐标轴的交点，探讨一些基本的性质。
2、过程与方法目标：通过学生积极参与画图，思考、分析，总结出又快又好的画出一次函数的图象的方法，并能利用一些基本的性质解决问题。
3、情感与态度目标：学生通过积极参与感受学习的快乐。
教学重点：一次函数的图象的画法，与坐标轴的交点的求法。
教学难点：与坐标轴的交点的求法的理解及其性质的简单应用。
教学方法：讲练结合
教学过程：
复习提问：一次函数的一般式是什么？
生：y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)
问：正比例函数是什么？
y＝kx (k是常数，k≠0)
例1：画出一次函数y＝－2x－1的图象
分析：先行列表，再描点画图，请大家完成
x … －1 0 1 2 …
y … 1 －1 －3 －5 …
问：如何判断点(－1.5，2)，(－2，－1)是否在函数的图象上？
生：可以代入解析式中去算，如果满足解析式，则表明点在直线上；如果不满足解析式，则表明点不在直线上。所以(－1.5，2)点在直线上， (－2，－1)不在直线上。
问：还有其他方法吗？
生：可以在图象上来出这点来，是否在函数的图象就清楚了。
问：好吧，那就请一个同学来画一画？
生：如图所示，能清楚的看到这一点。
师：很好，有两种办法，哪一种办法要精准些？
生：计算的方法，画的方法有误差。
师：已知y＝－2，1时，如何利用图象，分别求出其对应的x的值啊？
生：代入进去算不就完了吗？
师：当然可以，而且还很省事，但请看清楚我这里要利用图象求。谁到黑板上来画？
王磊：先找到y＝－2，1分别向y轴做垂线，交图象上的点，再通过这个点向x轴做垂线，对应的x轴坐标上的值就是它的x的对应值。
师：这个做法是正确的，呵呵！看来难不倒大家哈，再来一个，如何利用图象求x＝－2，－1的值？
生众：这不和刚才一样吗？只是先在横轴找到－2，－1的点，向x轴做垂线，与图象相交，再通过交点向y轴做垂线，对应的y的值是要求的。
师：很好，其实图象上一个点与其坐标是一一对应的，已知图象(或解析式)，①横坐标；②纵坐标；③图象上的点，已知这三个当中的任何一个都能求出其余的两个来。
问：通过前面画一次函数的图象和刚才画的图象，你能归纳出一次函数的图象是什么样吗？
生：是一条直线。
师：确实是一条直线。既然是一条直线，我们就有想法，有什么样的想法？
生：两点确定一条直线，只需要画两个点就可以了。
师：不错，不错的，这么模糊的问题你们都能回答啊！现在我想问的是找哪两点最便捷呢？
生：取整数吧，比如1，0，－1等等。
师(这不是我期望的答案，看来得继续引导了)：你们的取法当然也说得通，但你们的取法有此图中是否好画呢？误差是否大呢？考虑了这些没有？
生：画图描点时，要做两条虚线？
师：就是因为这两条虚线，会产生更大的误差，我们的想法是能不能不画这两条虚线，看看有什么好办法？
生：在坐标轴上取点。
师：就等你们说这句话了。我也是这样认为的。请看看这个图象与x、y轴的交点如何求？
生：(0.5，0)，(0，－1)
师：你们是直接通过图象看出来的，我是说的如何求，你们又没有仔细听我的问题吧，在画图象前要把这两点先求出来啊，然后再坐标轴上描出这两点，用尺子一画就完事了，谁来说，如何求？
徐林：因为这是图象与x、y轴的交点，其纵、横坐标分别为0，代入即可求出相应的另一个坐标。
师：刚才徐林的回答是非常正确的，也就是此时在坐标轴上，要结合坐标轴上的点的坐标有什么样的特点来进行思考。因此其答案是：(0.5，0)，(0，－1)。
师：请思考y＝kx＋b与y轴的交点是＿＿＿；与x轴的交点是＿＿＿。
生：与y轴的交点，此时x＝0，代入有y＝b，所以(0，b)是与y轴的交点的坐标；
生：与x轴的交点，此时y＝0，代入有x＝－，所以(－，0)是与x轴的交点的坐标；
检验一下刚才学习的效果，请完成练习P47
4. 填空：
（1）直线y＝4x－3过点（___，0）、（0，___）；
（2）直线过点（___，0）、（0，___）．
师：以后画一次函数的图象就很省事了：
x 0
y 0
填上两个空格，描出两点，用尺子一画就完事了。
(生皆高兴)
那来练习画两个。
例2：在同一直角坐标系内画出以下四个函数的图象。
①y＝2x－1；② y＝2x＋1；③y＝－2x－1； ④y＝2x。
①
x 0 0.5
y －1 0
②
x 0 －0.5
y 1 0
③
x 0 －0.5
y －1 0
④请大家想一想正比例函数的点如何取呢？横坐标可取0，1
x 0 1
y 0 0.5
生：①②④三条是平行的。
师：同学们的观察不错，我也发现了这三条是平行的，其图象的平行，必然是由解析式中的共同点所决定的？请思考你觉得是什么导致了他们平行？
生：他们的k值是相同的。
师：是正确的，有这样的结论：
已知直线l1:y＝k1x＋b1；l2:y＝k2x＋b2，且l1∥l2，有什么结论？
生：k1＝k2。
师：能否由k1＝k2得出l1∥l2？
生：可以。
结论：l1:y＝k1x＋b1；l2:y＝k2x＋b2，且l1∥l2 k1＝k2。
练习题：
问：已知直线l1:y＝3x－7，l2:y＝2x＋5.5有何关系？为什么？
生：平行。因为其k值是相同的。
问：l1:y＝－x＋1，l2:y＝kx－7且l1∥l2，则k＝＿＿＿。
生：k＝－。是由刚才的定理得来的。
师：请观察①②④③与y轴的交点的纵坐标与解析式中的什么有关？
生：与b有关，交点的纵坐标就是b的值。b是1就过1那一点，b是－1就过－1那一点。
师：这么肯定吗？看第④条没有b怎么过原点呢？
生：这还不简单，b＝0，刚才过原点0啊？！
师：原来是这样，看来你们的发现是没错的。因为前面我们就已经计算出了每一条一次函数的图象都过(0，b)这一点。这就是当然的了。(k的正负，函数的增减，b的正负与y轴的交点间的更进一步的关系就留在下节课去了，得出性质后集中练习，本节课就完成本节课的内容了……)
师：这三条直线是平行的，能否看成是由另一条直线的平移得来的？
生：能够。
师：①是由④如何平移得到的？
生：向下平移一个单位长度得来的。
师：其解析式发生了怎样的变化？
生：b处减1。
师：②是由如何④平移得到的？
生：向上平移一个单位长度得来的。
师：其解析式发生了怎样的变化？
生：b处加1
师：②是由如何①平移得到的？
生：向上平移两个单位长度得来的。
师：其解析式发生了怎样的变化？
生：把前者的b加2即可。
师：你能否归纳出一次函数的上下平移的规律？
刘海波：把一条直线向上平移多少个单位长度，就在b的位置加上多少；反之把一条直线向下平移多少个单位长度，就在b的位置减去多少。
师：这个归纳是很好的，我们还要把它式子化。
把l1:y＝k1x＋b1向上平移m(m＞0)个单位，则得到的解析式为l2：y＝k1x＋b1＋m；y＝k1x＋b1向下平移m(m＞0)个单位，则得到的解析式为l2：y＝k1x＋b1－m；
师：你们能否用四个字来说明他们的规律？
生：上加下减。
师：能干哦！与我想的一模一样。
请完成下面的练习：
P42练习2：
2.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_____________________.
(此时下课铃声响起)
生：(1)为y＝3x－2
(2)为y＝－x.
课外思考题：
向左平移m个单位长度与向右平移m个单位长度的的解析式会发生怎样的变化？