6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
目录
6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 1
知晓结构体系 2
1夯实必备知识 2
2提升学科能力 3
题点一 距离问题 4
【典例分析1】 4
【变式训练1】 4
题点二 高度问题 5
【典例分析2】 5
【变式训练2】 5
题点三 角度问题 6
【变式训练3】 6
题点四 利用正余弦定理求三角形面积大小 7
【典例分析4】 7
【变式训练4】 7
题点五 利用正余弦定理求三角形面积最值与范围 8
【典例分析5】 8
【变式训练5】 9
题点六 正余弦定理的几何分析 10
【典例分析6】 10
【变式训练6】 10
题点七 正余弦定理与三角函数的综合应用 11
【典例分析7】. 11
【变式训练7】 12
3行跨学科交流 12
4质量检测评价 13
明确学习目标
课表要求 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用. 5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．
重点难点 理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用
知晓结构体系
1夯实必备知识
一、距离问题
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
二、高度问题
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
三、角度问题
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
一、三角形面积公式
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝ absin C＝bcsin A＝casin B.
2．△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，
sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B cos A二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用
在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．
三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题．
2提升学科能力
题点一 距离问题
【典例分析1】如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.
(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；
(2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.
【变式训练1】
1．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
2．如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
题点二 高度问题
【典例分析2】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为189km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过960s后，又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度．（精确到1m）
【变式训练2】
1．如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度（精确到）．
2．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学的眼睛到地面的距离为1.5m，该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为.求山高BE（结果保留整数）.
参考数据：，，，.
题点三 角度问题
【典例分析3】某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角(从正北方向顺时针转到方向所成的角)是，距离是；从到，方位角是，距离是；从到，方位角是，距离是
(1)求从到的方位角；
(2)计算从到的距离.
【变式训练3】
1．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
2．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
参考数值：
题点四 利用正余弦定理求三角形面积大小
【典例分析4】在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
【变式训练4】
1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求c；
(2)若的面积为，，求a．
3．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
4．在中，AD为BC边上的中线，，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：；条件②：条件③：的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求AB的长．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
题点五 利用正余弦定理求三角形面积最值与范围
【典例分析5】已知中，角所对的边分别为，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值以及周长的最大值.
【变式训练5】
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
2．已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
题点六 正余弦定理的几何分析
【典例分析6】如图所示，在四边形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD为的平分线，试求BD．
【变式训练6】
1．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
3．在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________，
(1)求角A的值；
(2)求的值．
题点七 正余弦定理与三角函数的综合应用
【典例分析7】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【变式训练7】
1．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
2．已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
3．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
4．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
3行跨学科交流
1．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“”三斜求积术”，即在中，角、、所对的边分别为、、，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为．如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即．若为圆心角，，则
3．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）
(1)求这个扇形玉佩的半径；
(2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）.
4质量检测评价
单选题
1．在中，角的对边分别是，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
3．在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．如图，已知在的内接四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．若的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有1个
B．若是钝角三角形，则
C．若，则
D．当时，的周长为
10．对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
11．在中，角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．有最大值
填空题
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ．
13．在中，若，则的形状为 .
解答题
15．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？
16．已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
(1)求和；
(2)若，求四边形的面积．
17．已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，求的周长的取值范围.
18．在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
(1)求角的大小；
(2)求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
19．如图，在中，，D为AC边上一点且．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
目录
6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 1
知晓结构体系 2
1夯实必备知识 2
2提升学科能力 3
题点一 距离问题 3
【典例分析1】 3
【变式训练1】 5
题点二 高度问题 7
【典例分析2】 7
【变式训练】 8
题点三 角度问题 9
【变式训练3】 10
题点四 利用正余弦定理求三角形面积大小 14
【典例分析4】 14
【变式训练4】 14
题点五 利用正余弦定理求三角形面积最值与范围 18
【典例分析5】 18
【变式训练5】 19
题点六 正余弦定理的几何分析 24
【典例分析6】 24
【变式训练6】 25
题点七 正余弦定理与三角函数的综合应用 28
【典例分析7】 28
【变式训练7】 29
3行跨学科交流 33
4质量检测评价 36
明确学习目标
课表要求 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用. 5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．
重点难点 理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用
知晓结构体系
1夯实必备知识
一、距离问题
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
二、高度问题
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
三、角度问题
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
一、三角形面积公式
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝ absin C＝bcsin A＝casin B.
2．△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，
sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B cos A二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用
在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．
三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题．
2提升学科能力
题点一 距离问题
【典例分析1】如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.
(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；
(2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得.
【详解】（1）依题意可得，，，
在中由余弦定理，
即，即，
解得（舍去）或，
所以线段的长度约为.
（2）在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
∴
．
又，
在中由正弦定理，
即，解得，
所以线段的长度约为.
【变式训练1】
1．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
【答案】
【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决．
【详解】由题可知，，，，
设乙船速度为，则.
于是在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
所以，乙船的航行速度大约是.
2．如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【答案】(1)航行速度为
(2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析
【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；
（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解.
【详解】（1）
如图设小艇的速度为，时间为相遇，
则由余弦定理得:,
叩:,
当时，取得最小值，此时速度，
此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30 ，
则由(1)可得:
,
即:,解得:，
此时,
此时，在中，，
故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇.
题点二 高度问题
【典例分析2】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为189km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过960s后，又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度．（精确到1m）
【答案】2443m
【分析】解三角形计算即可.
【详解】
如图所示，假设山顶为A点，飞机经过960秒，从B到C处，过A作BC的垂线交BC延长线于D点，
由题意可知，，千米，
在直角三角形中，有，
所以千米，
故山顶海拔高度为：.
【变式训练】
1．如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度（精确到）．
【答案】
【分析】要求BC，要先求出为AB，此考虑解．
【详解】过点D作，交BC于E．
因为，所以，于是
．
又因为，所以．
在中，由正弦定理，得
．
在中，
．
答：山的高度约为811m．
2．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学的眼睛到地面的距离为1.5m，该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为.求山高BE（结果保留整数）.
参考数据：，，，.
【答案】
【分析】根据题意，由正弦定理求得，在直角中，，结合，即可求解.
【详解】如图所示，由题意得，，
在中，由正弦定理得，
即，所以，
在直角中，可得，即，
所以，
所以山高.
题点三 角度问题
【典例分析3】某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角(从正北方向顺时针转到方向所成的角)是，距离是；从到，方位角是，距离是；从到，方位角是，距离是
(1)求从到的方位角；
(2)计算从到的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）画出图形，连接，即可求出，利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出，即可得解；
（2）由（1）可得，即可得解.
【详解】（1）如图所示，
连接，在中，又，
，
由余弦定理可得，
在中，，，
由余弦定理得
，
由正弦定理得：，即
又，，于是到的方位角为.
（2）由（1）知，所以到的距离为.
【变式训练3】
1．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【答案】(1)两船相距海里.
(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.
（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知
在中，
由余弦定理得
所以
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）
所在
又
在中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则
在中，由正弦定理得：
则
所以，
在中，由正弦定理得：
则，故 （舍）
故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
2．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？
参考数值：
【答案】（1）；（2）15°；（3）.
【分析】（1）在△ABC中，∠CAB＝120°由余弦定理可求得线段BC的长度；
（2）在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，可求得∠CBD＝120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得答案.
【详解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB ACcos∠CAB
22﹣2×（1）×2×（）＝6，
所以，BC.
（2）在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，sin∠ACB
.
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB＝15°.
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则有CD＝10t，BD＝10t.
在△ABC中，
又∠CBD＝90°+30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD
.
∴∠BCD＝30°，
又因为∠ACB＝15°
所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）＝180°﹣（30°+15°+75°）＝60°
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
题点四 利用正余弦定理求三角形面积大小
【典例分析4】在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理化简即可得出答案；
（2）由（1）可知，再由余弦定理结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
因为，所以.
在中，由余弦定理得.
因为，所以.
（2）由（1）可知，又，，
所以由余弦定理，可得，
即，所以，，又，
所以.
【变式训练4】
1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求c；
(2)若的面积为，，求a．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先求出角，结合正弦定理可得答案；
（2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案.
【详解】（1）因为，，所以，
由正弦定理，可得.
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得.
由余弦定理可得，即.
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件由正弦定理得，可求；
（2）由的面积得，余弦定理求，可得的周长.
【详解】（1）由正弦定理得，则.
（2），得，
由余弦定理，
即，则，所以，
的周长为.
3．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出，即可求出；
（2）由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，，且，
，
，
又∵为内角，，
（2）由余弦定理，得，
解得或（舍去），
故，所以．
4．在中，AD为BC边上的中线，，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并完成下面问题．条件①：；条件②：条件③：的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求AB的长．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选条件①：利用同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可；选条件②：根据余弦函数的性质进行判断求解即可；选条件③：根据三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）选条件①：利用余弦定理进行求解即可；选条件③：利用余弦定理进行、结合二倍角公式进行求解即可.
【详解】（1）选条件①：
记．
在中，，
所以，
因为，所以．
选条件②：，
因为，所以，
在中，， 显然，
因为，所以，因此，不符合三角形内角和定理，因此这样的三角形不存在；
选条件③：的面积为2
记．
在中，，所以，
，
又因为，所以．
（2）选条件①：在中，，所以．
所以．
在ABC中，，所以．
选条件③：
在中，，所以．所以．
因为，所以，
，
即，解得．
在ABC中，，所以．
法二：取中点，因为，所以，
，，
所以
题点五 利用正余弦定理求三角形面积最值与范围
【典例分析5】已知中，角所对的边分别为，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值以及周长的最大值.
【答案】(1)
(2)面积的最大值为，周长的最大值为
【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理即可求得答案；
（2）由题意利用余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式可得面积的最大值；再用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）依题意得，，
由正弦定理，得，
所以，
因为，所以.
（2）由得，，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
又，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的周长为，
故周长的最大值为.
【变式训练5】
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求即可；
（2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，又，所以.
（2）因为，
由（1）得，当且仅当时取等号，
所以，
面积
所以三角形面积的最大值为．
2．已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
【答案】(1)
(2)
【分析】化简，
（1）方法1：先求单减区间，再给k赋值与题中所给的区间取交集；
方法2：先由x的范围求出整体的范围，再由单调性求出x的范围.
（2）方法1：由余弦定理和重要不等式求得结果；
方法2：由正弦定理将边转化为角，将求面积转化为求三角函数在给定区间上求最值.
【详解】（1）
方法1：则： ，即：，
当k=0时，
∴
∴在区间上的严格减区间为.
方法2：∵，
∴
∵在区间上严格单减
∴
∴
∴在区间上的严格减区间为.
（2）由（1）知：，即：
又∵
∴
∴
方法1：由余弦定理得： ，
∴ ①
又∵，当且仅当b=c时去等号. ②
由①②得： ，当且仅当b=c时去等号.
∴△ABC的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：
，
∵
∴ ，
∴
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的面积最大值为.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，结合余弦定理即可求解;（2）根据余弦定理边的关系以及均值不等式即可得到，进而根据面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
所以，又因为
故．
（2）方法1：由余弦定理得，当时等号成立
又，所以△ABC面积的最大值为．
方法2：由正弦定理，得，
所以，，
，
又，所以，
所以
，
当时，△ABC的面积最大，最大值为．
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）(解法一)因为，
所以
则，
即
因为，所以，
因为所以.
(解法二)由全弦定理，
得
整理得.
所以，
因为所以.
（2）因为，所以，.
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以解得.
所以，
所以.
题点六 正余弦定理的几何分析
【典例分析6】如图所示，在四边形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD为的平分线，试求BD．
【答案】(1)5
(2)8
【分析】（1）利用正弦定理得，代入数据即可解出.
（2）利用余弦定理得到，代入数据即可解出.
【详解】（1）由正弦定理得，
∴＝
∴.
（2）由，可得，
又，为的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆，，
由余弦定理得，即
∴.
【变式训练6】
1．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；
（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．
【详解】（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，
所以.
所以五边形ABCDE的周长.
3．在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________，
(1)求角A的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：用余弦定理可得；选②：由内角和定理化简，再由二倍角公式可得；选③：由正弦定理边化角可得；
（2）由已知结合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解.
【详解】（1）选①：由题知；
选②：，因为，，
所以；
选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得.
因为，所以
（2）因为，，
所以由解得
所以
所以
记
则，即
因为，所以
所以，得
所以
因为，所以，所以
题点七 正余弦定理与三角函数的综合应用
【典例分析7】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
【详解】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
【变式训练7】
1．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
2．已知向量，，函数.
（1）求函数的零点；
（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）化简得出，由可求解；
（2）由可得，由正弦定理化简得出，根据的范围即可求出.
【详解】（1）由条件可得：，
∴，
所以函数零点满足，
则，得，；
（2）由正弦定理得，
由（1），而，得，
∴，，又，得，
∴代入上式化简得：
，
又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.
∴.
3．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
4．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.
【详解】解：（1）选①，
由正弦定理得：，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
选②，
∴，
∴，
∵，∴，则，
∴；
选③，
得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴.
（2）已知为锐角三角形，且，
由正弦定理得：，
∴，，
∴，
∵为锐角三角形，
∴，
∴，∴.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
3行跨学科交流
1．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“”三斜求积术”，即在中，角、、所对的边分别为、、，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，由可求得角的值，利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合题干中的三角形面积公式即可得出面积的最大值.
【详解】因为，由正弦定理可得，①
由余弦定理可得，因为，则，
又因为的外接圆的半径为，则，
由①可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故选：C.
2．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），这张表本质上相当于正弦三角函数表．托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长．将圆心角所对的弦长记为．如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即．若为圆心角，，则
【答案】
【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出时圆心角所对应的弦长，结合的圆心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.
【详解】设圆的半径为，时圆心角所对应的弦长为，
利用余弦定理可知，即可得
又的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，的圆心角所对的弦长为60个单位，
即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，
所以.
故答案为：
3．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，AB=2.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）
(1)求这个扇形玉佩的半径；
(2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数（圆心角.弧长、面积）.
【答案】(1)这个扇形玉佩的半径为
(2)扇形的圆心角为，弧长为，面积为
【分析】（1）先利用余弦定理求，可得，进而可求半径；
（2）先利用余弦定理求扇形的圆心角，进而结合扇形的相关公式运算求解.
【详解】（1）如图，设扇形的圆心为，连接，
在中，由余弦定理可得，
因为，可得，
在中，因为，则，即，
可得，
所以这个扇形玉佩的半径为.
（2）设扇形的圆心角为，
因为，可得，
所以扇形的圆心角为，弧长为，面积为.
4质量检测评价
单选题
1．在中，角的对边分别是，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理角化边有，设，，，
再利用余弦定理即可求得.
【详解】在中，，则，
设，，
则.
故选：C
2．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.
【详解】由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
3．在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理和辅助角公式得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，故，
因为，所以，
故，解得，
由余弦定理得，即，
因为，，所以，解得，
.
故选：B
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理和余弦定理讲原式角化边，化简整理即可.
【详解】根据正弦定理和余弦定理可得：，
整理可得，
即，当时，为等腰三角形，
当时为直角三角形.
故选：D
5．如图，已知在的内接四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度.
【详解】
连接，由题意四边形为的内接四边形知，
则在三角形中由余弦定理得,
在三角形中由余弦定理得,
因为，
所以，
即，
解得.
故选：C
6．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由余弦定理可得，
故选：D
7．若的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】D
【分析】由余弦定理可判断A；由余弦定理化简即可判断B；由正弦定理即可判断C；由正弦函数的单调性结合诱导公式即可判断D.
【详解】对于A，若，则，
因为为三角形内角，只能说明为锐角，不能说明为锐角三角形，故A错误；
对于B，若，由余弦定理可得，
整理可得，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，由正弦定理可得，
因为，则，即三角形只有一解，故C错误；
对于D，若是锐角三角形，则，所以，
即，所以，即，
同理可得，所以，故D正确；
故选：D.
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意得：，得：，
又，得：，
由余弦定理得：，化简得：，
由正弦定理得:
，
因为：，则：，
又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：，
则：，
因为为锐角三角形，则：，解得：，则：，
所以：
，
令：，则函数在上单调递增，
故，故D项正确.
故选：D.
多选题
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有1个
B．若是钝角三角形，则
C．若，则
D．当时，的周长为
【答案】BD
【分析】对于A选项利用正余弦定理即可，对于B选项分类讨论即可，对于C选项利用切化弦化简即可，对于D选项利用三角恒等变换，然后再用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形即可解题.
【详解】对于A选项：
由余弦定理有：……①
代入①式有：……②
上式判别式
故②式无解，即不存在，故A选项错误.
对于B选项：
当时，；
故显然成立；
当时，……③
对③式两边同乘以有：；
当时，；
故显然成立；
综上所述三种情况都有：恒成立，故B选项正确；
对于C选项：
当时，，
当时，时，得不出，
故C选项错误.
对于D选项：
……④
上式化简有：
即：……⑤
由⑤式得：
故,
所以，
故.
故D选项正确.
故选：BD.
10．对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
【答案】BD
【分析】根据正弦定理和诱导公式计算即可判断A；由正弦定理化简即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D.
【详解】对于A，在中，若，
因为，
则或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若，
由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
得，又，
所以，
即，
即，
又，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以，所以，
又因，所以，故C错误；
对于D，，
所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，
又因为最多一个钝角，
所以，即都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确.
故选：BD.
11．在中，角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．有最大值
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理、三角形的面积公式、余弦定理、三角恒等变换、三角函数值域等知识求得正确答案.
【详解】由及正弦定理得：，故A正确；
对于B选项：，故B正确；
对于C选项：，故C错误；
对于D选项：
，其中，，
∴有最大值，故D正确.
故选：ABD
填空题
12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ．
【答案】/0.6875
【分析】由已知结合正弦定理角化边可得，从而可得三边之间的关系，利用余弦定理化简求值，即得答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则．
故答案为：
13．在中，若，则的形状为 .
【答案】等腰三角形或直角三角形
【分析】根据正弦定理边角互化，结合同角关系可得，根据二倍角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】由正弦定理得，即,
∵，∴，即,
∴或.∵，
∴，则或,故为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形
14．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为 .
【答案】
【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即得周长.
【详解】因为，外接圆半径，所以，
因为的面积为15，所以，
因为，
所以
即
故答案为：
解答题
15．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？
【答案】16.41km
【分析】由余弦定理得到，进而求出，由正弦定理求出，在中，由余弦定理得到，进而求出，得到答案.
【详解】由题意得，km，km，km，
在中，由余弦定理得，
故，
在中，由正弦定理得，
故km，
在中，由余弦定理得，
即，解得km，负值舍去，
故km.
故这个人还要走km的路才能到达A城.
16．已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
(1)求和；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到，求出，再利用余弦定理求出；
（2）求出，并利用正弦定理和余弦定理求出，，利用三角形面积公式求出，相加后得到答案.
【详解】（1）四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为，
设的外接圆半径为，则，解得，
在中，，即，故，
因为为钝角，所以为锐角，故，
由余弦定理得，即，
故，解得，负值舍去，
（2），
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，故，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
故，
四边形的面积为.
17．已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理即可；
（2）根据正弦定理得，从而化边为角，结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围.
【详解】（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
18．在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
(1)求角的大小；
(2)求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，选择条件①、条件②、条件③后，根据所选条件进行分析，由此求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得.
选①，，则，三角形不存在，不符合题意.
选②，，则，
，则为锐角，且.
且由得，
三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，，由正弦定理得，
由于，所以，则，则为锐角，且.
由余弦定理得，即，
得，
所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.
19．如图，在中，，D为AC边上一点且．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理求得的值，进而求得，再由，即可得解；
（2）在和中，分别利用正弦定理推出和，再结合两角差的正弦公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，得解
【详解】（1），，，
在中，，解得：，易知C为锐角，
，
；
（2）在中，，得：，
在中，，得：，
，
，，
，
，，，
故的取值范围为．
