第十章 三角形的有关证明 专题4 全等三角形中的经典模型（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
专题4 全等三角形中的经典模型
模型一 平移模型
【模型解读】把 沿着某一条直线平行移动，所得到的 与 称为平移型全等三角形，图1、图2是常见的平移型全等三角形.
图1 图2
【常见模型】
1.已知,如图,点 A,D,C,F 在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC
求证:AD=CF.
模型二 轴对称模型
【模型解读】 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等.
【常见模型】
2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°, 求∠D的大小.
模型三 旋转模型
【模型解读】 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件.
【常见模型】
3.如图,已知OA=OC,OB = OD, ∠AOC = ∠BOD. 求 证: △AOB≌△COD.
模型四 一线三等角模型
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE,AB⊥AC,CE⊥DE,那么一定有
=∠CAE.
【常见模型】
4.如图,点 C 在 BD 上,AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD. 求证: .
模型五 倍长中线模型
【模型解读】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
【常见模型】
5.如图,BD 是 的中线, ，求中线 BD的取值范围.
模型六 截长补短模型
【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
【常见模型】
6.已知,如图,在 中, 的角平分线 AD,CE交于点O.求证：
参考答案
1.证明: ∥
在 和 中
即
2.解: ∠CAD,
∴∠BAC=∠EAD.
∴在△ABC 和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),∴∠D=∠C=50°.
3. 证明: 由图可知:∠DOC=∠AOC-∠AOD,∠BOA=∠BOD-∠AOD,
∵∠AOC=∠BOD,∴∠DOC=∠BOA,
在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(SAS).
4.证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE,∴∠BAC=∠DCE,
在△ABC 和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE(ASA).
5.解:如图所示,延长 BD 到E,使 DE=BD,连接AE,
∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD,
在△ADE 和△CDB中,
∴△ADE≌△CDB(SAS),∴AE=BC,
在△ABE中,有.
6.证明:如图,在AC上取AF=AE,连接OF,
∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO.
在△AEO与△AFO中
∴△AEO≌△AFO(SAS),∴∠AOE=∠AOF.
∵AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°.
∴∠AOC=∠DOE=120°,∠AOE=∠COD=∠AOF=60°.
则∠COF=60°,∴∠COD=∠COF.
∴在△FOC与△DOC 中.
∴△FOC≌△DOC(ASA),∴DC=FC,
∵AC=AF+FC,∴AC=AE+CD.
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