21.3二次函数与一元二次方程课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
D
A
B
A
C
1﹒下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（ ）
A.y＝3x2－5x+3 B.y＝4x2－12x+9 C.y＝x2－2x+3 D.y＝2x2+3x－4
解答：A.y＝3x2－5x+3，△＝(－5)2－4×3×3＝－9＜0，抛物线与x轴没有交点，故A错误；2-1-c-n-j-y
B.y＝4x2－12x+9，△＝(－12)2－4×4×9＝0，抛物线与x轴有一个交点，故B错误；
C.y＝x2－2x+3，△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，抛物线与x轴没有交点，故C错误；
D.y＝2x2+3x－4，△＝32－4×2×(－4)＝41＞0，抛物线与x轴有两个交点，故D正确，
故选：D.
2﹒函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
解答：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，
∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，
当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，
综合上述：k的取值范围是k≤3，
故选：C.
3﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解答：∵抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，
∴△＝(－2)2－4a×1＜0，且a≠0，
解得：a＞1，
∴－＝＞0，＝1－＜0，
∴抛物线顶点在第四象限，
故选：D.
4﹒已知二次函数y＝x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是（ ）2·1·c·n·j·y
A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2 C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝3
解答：抛物线y＝x2－3x+m的对称轴是x＝，且与x轴的一个交点为（1，0），
∵a＝1，∴抛物线的开口向上，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2，
故选：B.
5﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
解答：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故选：D.
6﹒如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），
对称轴为直线x＝－1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A.x1＝－3，x2＝1 B.x1＝3，x2＝1
C.x＝－3 D.x＝－2
解答：由图象可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，
故选：A.
7﹒已知抛物线y＝－x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.若D为AB的中点，则CD的长为（ ）21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
解答：解方程－x2+x+6＝0得x1＝12，x2＝－3，
∴A、B两点坐标分别为（12，0）、（－3，0），
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∴OD＝4.5，
当x＝0时，y＝6，
∴OC＝6，
∴CD＝＝，
故选：D.
8﹒如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和
（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜－2
B.－2＜x＜4
C.x＞0
D.x＞4
解答：∵当函数值y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，
∴当－2＜x＜4时，y＞0，
即自变量x的取值范围是－2＜x＜4 ，
故选：B.
9﹒二次函数y＝a(x－4)2－4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7 这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解答：∵抛物线y＝a(x﹣4)2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a(x﹣4)2﹣4（a≠0）得4a－4＝0，解得a＝1．
故选：A．
10.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点
（－1，－4），则下列结论中错误的是（ ）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1
解答：由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2－4ac＞0，则b2＞4ac，故A正确；
∵抛物线开口向上，且顶点坐标为（－3，－6），
∴函数y的最小值是－6，则ax2+bx+c≥－6，故B正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－3，
∴点（－2，m）离对称轴的距离比点（－5，n）离对称轴距离近，
∴m＜n，故C错误；
根据抛物线的对称性可知：（－1，－4）关于对称轴对称的对称称点为（－5，－4），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1，故D正确，
故选：C.
二、细心填一填
11. x＝0，横； 12. （2，0），（－5，0）； 13. m≥－2；
14. k＝0或k＝－1； 15. m≤－； 16. x1＝－1，x2＝3；
17. 4； 18. －＜a＜－2.
11.一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线_________的交点的_______坐标.21·世纪*教育网
解答：一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线x＝0的交点的横坐标，
故答案为：x＝0，横.
12.抛物线y＝－3(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为_______________________.
解答：令y＝0，则－3(x－2)(x+5)＝0，
解这个方程得：x1＝2，x2＝－5，
∴此抛物线与x的交点坐标为（2，0），（－5，0），
故答案为：（2，0），（－5，0）.
13.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是_______________.www-2-1-cnjy-com
解答：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，
又∵当x＞2时，y的值随x的增大而增大，
∴－≤2，解得m≥－2，
故答案为：m≥－2.
14.若关于x的函数y＝kx2+2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_________.
解答：①当k＝0时，此函数为一次函数，则直线y＝2x－1与x轴只有一个公共点；
②当k≠0时，△＝22－4k×(－1)＝0，解得k＝－1，此时抛物线与x轴只有一个公共点，
综合上述，实数k的值为k＝0或k＝－1，
故答案为：k＝0或k＝－1.
15.已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m－1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围为_______________________.21教育网
解答：当m+6＝0，即m＝－6时，此函数为一次函数，这时图象必与x轴有交点；
当m+6≠0，即m≠－6时，△＝4(m－1)2－4(m+6)(m+1)＝－20－36m≥0，
解得m≤－，
综合上述，m的取值范围是m≤－，
故答案为：m≤－.
16.二次函数y＝ax2－2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为__________________________.
解答：抛物线y＝ax2－2ax+3的对称轴为直线x＝－＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（－1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为x1＝－1，x2＝3，
故答案为：x1＝－1，x2＝3.
17.抛物线y＝x2－2x－3在x轴上截得的线段长度是__________.
解答：设抛物线与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），
则x1+x2＝2，x1x2＝－3，
∴＝＝＝4，
即此抛物线在x轴上截得的线段长度为4，
故答案为：4.
18.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________. 21*cnjy*com
解答：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根，
∴△＝(－3)2－4a×（－4）＞0，
解得：a＞－，
设y＝ax2－3x－1，则可画出图象如图，
∵实数根都在－1和0之间，
∴－1＜－＜0，
解得a＜－，
由图象可知：当x＝－1时，y＜0，当x＝0时，y＜0，
即a×(－1)2－3×(－1)－1＜0，－1＜0，
解得a＜－2，
∴－＜a＜－2，
故答案为：－＜a＜－2.
三、解答题
19.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
解答：（1）证明：y＝(x－m)2﹣(x﹣m)＝x2－(2m+1)x+m2+m，
∵△＝(2m+1)2﹣4(m2+m)＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝－＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，www.21-cn-jy.com
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52－4(6+k)＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
20.已知二次函数y＝－x2+2x+m .
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.【来源：21cnj*y.co*m】
解答：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△＝22+4m＞0
∴m＞﹣1，
即m的取值范围是m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0＝﹣9+6+m
∴m＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，
∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，
∴P（1，2）．
21.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.21cnjy.com
解答：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE＝＝，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH＝BE＝×＝．
22.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
解答：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2－x－1；
（2）当y＝0时，则x2－x－1＝0，
解得：x1＝2，x2＝－1，
∴点D的坐标为（－1，0）；
（3）图象如图所示，当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值.
23.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
解答：（1）令x＝0，则y＝1，
故不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的定点（0，1）；
（2）①当m＝0时，函数y＝mx2－6x+1为y＝－6x+1，
∵函数y＝－6x+1图象为一条直线，
∴此时函数图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，∵函数y＝mx2－6x+1与x轴只有一个交点，
∴方程mx2－6x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(－6)2－4m＝0，
解得：m＝9，
综合上述，该函数的图象与x轴只有一个交点时，m的值为0或9.
24.如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－.21·cn·jy·com
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.
解答：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x+)2+k，
把（2，0），（0，3）代入上式得：，
解得：a＝－，k＝，
∴y＝－(x+)2+，即y＝－x2－x+3，
（2）令y＝0，则－x2－x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝－3，
∴B（－3，0），
①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，
即△BOC是等腰直角三角形，
∴当M点在坐标原点O处时，△MBC是等腰三角形，
∴M（0，0）；
②当BC＝BM时，在Rt△BOC中, BO＝CO＝3，
由勾股定理得：BC＝＝3，
∴BM＝3，
∴M（3－3，0），
综合上述，点M的坐标为（0，0）或（3－3，0）.
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
21.3二次函数与一元二次方程
一、精心选一选
1﹒下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（ ）
A.y＝3x2－5x+3 B.y＝4x2－12x+9 C.y＝x2－2x+3 D.y＝2x2+3x－4
2﹒函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
3﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4﹒已知二次函数y＝x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是（ ）21·cn·jy·com
A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2 C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝3
5﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A.没有交点
B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
6﹒如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），
对称轴为直线x＝－1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A.x1＝－3，x2＝1 B.x1＝3，x2＝1
C.x＝－3 D.x＝－2
7﹒已知抛物线y＝－x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.若D为AB的中点，则CD的长为（ ）21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
8﹒如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和
（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜－2
B.－2＜x＜4
C.x＞0
D.x＞4
9﹒二次函数y＝a(x－4)2－4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7 这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）21·世纪*教育网
A.1 B.－1 C.2 D.－2
10.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点
（－1，－4），则下列结论中错误的是（ ）
A.b2＞4ac
B.ax2+bx+c≥－6
C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1
二、细心填一填
11.一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线_________的交点的_______坐标.www.21-cn-jy.com
12.抛物线y＝－3(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为_______________________.
13.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是_______________.2·1·c·n·j·y
14.若关于x的函数y＝kx2+2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_________.
15.已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m－1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围为_______________________.2-1-c-n-j-y
16.二次函数y＝ax2－2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为__________________________.
17.抛物线y＝x2－2x－3在x轴上截得的线段长度是__________.
18.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________. 21*cnjy*com
三、解答题（本题共8小题，第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分）21教育网
19.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
20.已知二次函数y＝－x2+2x+m .
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.www-2-1-cnjy-com
21.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.【来源：21·世纪·教育·网】
22.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
23.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
24.如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－.21cnjy.com
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.
