9.4 矩形、菱形、正方形（第4课时） 课件(共28张PPT)-八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.4　矩形、菱形、正方形（4）
第4课时　菱形的判定
学习目标
1.探索并证明菱形的判定定理;
2.能应用菱形的判定定理解决问题，进一步体会推理的基本方法.
将2张等宽的矩形纸片叠合在一起(如图)，请你猜想它是什么特殊的四边形？请动手叠一叠.
问题情境
B
A
D
C
1. 我们知道，菱形的四条边都相等．反过来，四条边都相等的四边形是菱形吗？
思考与探索
证明：∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=CD ， BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
B
A
D
C
思考与探索
2.我们知道，当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行四边形成菱形时，它的两条对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
B
A
D
C
O
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线
AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：?ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴?ABCD是菱形.
还有其它证明方法吗？
新知归纳
四边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言：
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
∵AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形.
B
A
D
C
O
新知归纳
A
B
C
D
四边形ABCD
四边相等
B
D
?ABCD
A
C
有一组邻边相等
对角线互相垂直
判断一个四边形是菱形有哪些方法？
B
A
D
C
O
菱形ABCD
对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
讨论与交流
新知巩固
①有一组邻边相等的四边形是菱形. ( )
②四条边都相等的四边形是菱形. ( )
③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形. ( )
④对角线互相垂直的四边形是菱形. ( )
⑤对角线互相垂直平分的四边形是菱形． ( )
判断：
×
√
√
×
√
新知应用
B
A
D
C
猜想：四边形ABCD是菱形.
易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
E
F
证明：由两个纸条是矩形可得AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
过A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F，
∵两张矩形纸条宽度相同，
∴AE=AF，
在△ABE和△ADF中，
∠????????????=∠????????????=????????°∠????=∠????????????=????????，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
?
例题讲解
例1　已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
O
B
A
D
C
F
E
1
2
证法1：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2.
∵ EF垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴ OE=OF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴?AFCE是菱形.
∵ EF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴?AFCE是菱形.
例题讲解
例1　已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
O
B
A
D
C
F
E
1
2
证法2：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2.
∵ EF垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴ AE=CF.
∵ EF垂直平分AC，
∴AE=CE，AF=CF.
∴AE=CE=AF=CF.
∴四边形AFCE是菱形.
1. 如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，四边形EFGH是怎样的特殊四边形？证明你的结论?
解：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵E、F、G、H分别是矩形的各边中点
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH (SAS)
∴EH=EF=GF=GH，
∴四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
G
F
H
E
新知巩固
中点四边形
新知巩固
2. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB.
求证：四边形OBEC是菱形.
A
B
C
D
O
E
证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝????????AC，BO＝DO＝????????BD，
∴AO＝BO.
∴四边形OBEC是菱形.
?
新知巩固
3. 已知：如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.
求证：四边形ABEF是菱形.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠EBF，
∠BAD+∠ABC=180°.
∵AE、BF分别是∠BAD和∠ABC的平分线，
∴∠BAE=????????∠BAD，∠ABF= ∠EBF=????????∠ABC，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF.
同理，AB=BE.
∴AF=BE.
∵AD//BC，
∴四边形 ABEF是平行四边形.
∵∠BAE+∠ABF=????????∠BAD+????????∠ABC=????????×180°=90°,
∴AE⊥BF，
∴四边形 ABEF是菱形.
?
课堂小结
9.4 矩形、菱形、正方形(4)
有一组邻边相等的平行四边形
四边相等的四边形
对角线互相垂直的平行四边形
1. 下列命题中正确的是(　　)
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C. 对角线垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的四边形是菱形
当堂检测
B
当堂检测
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(　　)
A. AB＝AC　　　 B. AD＝BD 　
C. BE⊥AC　　 D. BE平分∠ABC
D
D
E
F
A
B
C
当堂检测
3.在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF.
则可以得到四边形AEDF的形状(　　)
A.仅仅只是平行四边形　 B.是矩形
C.是菱形　 D.无法判断
C
当堂检测
第4课时　菱形的判定
4. 如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__________________________________________________，
使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等
B
A
D
C
O
当堂检测
5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是________.
20
E
A
B
C
D
O
当堂检测
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AO＝OC＝6 cm，BO＝OD＝8 cm，AB＝10 cm，四边形ABCD是菱形吗？请说明理由.
B
A
D
C
O
解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AO＝6 cm，BO＝8 cm，AB＝10 cm，
∴AO2＋BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
当堂检测
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在边AD、BC上，BF＝DE＝3.
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8
∠B＝∠D＝90°.
∵BF＝DE＝3，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得
AF=????????????+????????????=????????+????????=5.
同理得：CE＝5，
∵CF＝BC－BF＝8－3＝5，AE＝AD－DE＝8－3＝5，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE是菱形．
?
E
B
A
C
D
F
当堂检测
8. 如图，在?ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
A
D
C
B
O
E
F
证明：在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
当堂检测
8. 如图，在?ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.
(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA.
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
∴?EBFD是菱形．
A
D
C
B
O
E
F
9. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是角平分线，交CD于F，EG⊥AB，G是垂足，四边形CEGF是菱形吗？为什么？
A
D
C
B
E
F
G
证明：∵AE平分∠BAC
∠ACB＝90°，EG⊥AB
∴CE=EG，∠AEG=∠AEC，
在△CEF和△GEF中，????????=????????， ∠????????????=∠????????????，????????=????????，
∴△CEF≌△GEF(SAS)，
∴FG=CF，∠CFE=∠GFE，
∵CD⊥AB，EG⊥AB，∴CD∥EG，
∴∠CFE=∠GEF，
又∵∠CFE=∠GFE，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，
又∵FG=FC，CE=EG∴CF=CE=EG=FG，
∴四边形CEGF是菱形.
?
当堂检测
思维提升
1. 画一个菱形使它的两条对角线长分别是6cm，8cm.
3cm
4cm
2.如图，已知△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形. △ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？请说明理由.
A
D
C
B
E
F
解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形,
∴AB=DB，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA，∴∠DBE=∠ABC.
在△ABC与△DBE中，
????????=????????， ∠????????????=∠????????????，????????=????????，
∴△ABC≌△DBE(SAS)，
∴AC=DE.
∵△ACF是等边三角形，
∴AF=AC，
∴DE=AF.
同理可得：EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形.
当△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形.
?
思维提升