9.5.4 多项式的因式分解-二项式系数为1的十字相乘法 课件(共27张PPT)-七年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共27张PPT)
第9章整式乘法与因式分解
9.5.4二项式系数为1的十字相乘法
教学目标
01
理解十字相乘法的含义，能运用十字相乘法对形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式进行因式分解
02
能运用十字相乘法对形如x2+(p+q)xy+pqy2的二次三项式进行因式分解
二次项系数为1
十字相乘法
Q1：乘法运算：
(1)(x+p)(x+q)=________________；
(2)(x-p)(x-q)=________________。
x2+(p+q)x+pq
x2-(p+q)x+pq
01
情境引入
Q2：将上述两个式子左右颠倒，并说明颠倒后的运算属于什么运算。
01
情境引入
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
左右颠倒
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解
(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq
左右颠倒
x2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)
因式分解
01
情境引入
Q3：对上述两个式子的结构特征进行分析。
x
x
p
q
(p+q)x
x2
pq
多项式的乘法
(p+q)x
x2
pq
x
x
p
q
检验：px+qx=(p+q)x
因式分解
01
情境引入
x
x
-p
-q
-(p+q)x
x2
pq
-(p+q)x
x2
pq
x
x
-p
-q
检验：-px-qx=-(p+q)x
多项式的乘法
因式分解
01
情境引入
①原多项式的二次项x2拆成两个x之积；
②原多项式的常数项pq拆成p、q这两个数之积；
③两个x与p、q这两个数交叉相乘后的和应为原多项式的一次项。
(p+q)x
x2
pq
x
x
p
q
检验：px+qx=(p+q)x
-(p+q)x
x2
pq
x
x
-p
-q
检验：-px-qx=-(p+q)x
【十字相乘法】
借助画十字交叉线分解二次项与常数项，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【注意点】
十字相乘法主要适用于二次三项式。
十字相乘法
02
知识精讲
分解因式：x2+3x+2。
2=(-1)×(-2)或2=1×2
02
知识精讲
3x
x2
2
x
x
-1
-2
检验：-2x-x=-3x≠3x
分解因式：x2+3x+2。
2=1×2
02
知识精讲
3x
x2
2
x
x
1
2
检验：2x+x=3x
(x+1)(x+2)
【x2+(p+q)x+pq型的十字相乘】
(1)结构特征：
①原式是一元二次三项式，
②二次项系数是1，
③常数项可看作两个数的积，一次项系数可看作这两个数的和；
(2)因式分解：(x+p)(x+q)。
十字相乘法
02
知识精讲
分解因式：(1)x2+5x+6；
02
知识精讲
【分析】
(1)∵两数之积是6，∴这两数要么同正，要么同负，
又∵这两数之和是5，∴这两数同正，分别为2和3。
5x
x2
6
x
x
2
3
检验：2x+3x=5x
(x+2)(x+3)
分解因式：(2)x2-5x+6；
02
知识精讲
(2)∵两数之积是6，∴这两数要么同正，要么同负，
又∵这两数之和是-5，∴这两数同负，分别为-2和-3。
-5x
x2
6
x
x
-2
-3
检验：-2x-3x=-5x
(x-2)(x-3)
分解因式：(3)x2-5x-6；
02
知识精讲
(3)∵两数之积是-6，∴这两数一正一负，
又∵这两数之和是-5，∴负数的绝对值大，∴这两数分别为1和-6。
-5x
x2
-6
x
x
1
-6
检验：-6x+x=-5x
(x+1)(x-6)
分解因式：(4)x2+5x-6。
02
知识精讲
(4)∵两数之积是-6，∴这两数一正一负，
又∵这两数之和是5，∴正数的绝对值大，∴这两数分别为-1和6。
5x
x2
-6
x
x
-1
6
检验：6x-x=5x
(x-1)(x+6)
例1、分解因式：-x2-3x+54。
【分析】通常，当二次项的系数为负数时，把“-”号作为公因式的符号写在括号外，使括号内第一项的系数为正数，
原式=-(x2+3x-54)，
∵两数之积为-54，两数之和为3，
∴这两数分别为-6和9，
03
典例精析
∴x2+3x-54=(x-6)(x+9)，
∴原式=-(x-6)(x+9)。
例2、若x-3是多项式x2+mx-24（m为系数）的一个因式，则m的值是________。
5
【分析】
∵x-3是多项式x2+mx-24（m为系数）的一个因式，
∴x2+mx-24=(x-3)(x+8)，
∴x2+mx-24=x2+5x-24，
∴m=5。
03
典例精析
例3、如果二次三项式x2-ax-8（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a的值为________。
±2或±7
【分析】
①当-8=-8×1时，-a=-8+1，∴a=7；
②当-8=-4×2时，-a=-4+2，∴a=2；
③当-8=-2×4时，-a=-2+4，∴a=-2；
④当-8=-1×8时，-a=-1+8，∴a=-7；
综上，a的值为±2或±7。
03
典例精析
拓展
01
情境引入
分解因式：x2+3xy+2y2。
多了一个字母y，怎么办？
【分析】
①先遮挡所有的字母y，则原式=x2+3x+2=(x+1)(x+2)，
②再将y还原，则原式=(x+y)(x+2y)。
x2+3xy+2y2。
01
情境引入
分解因式：x2+3xy+2y2。
能不能直接用十字相乘呢？
3xy
x2
6y2
x
x
y
2y
检验：2xy+xy=3xy
6y2=y·2y
(x+y)(x+2y)
【拓展：x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘】
(1)结构特征：
①原式为二元二次三项式；
②x2的系数是1；
③pqy2的系数可看作两个数的积，(p+q)xy的系数可看作这两个数的和；
(2)因式分解：(x+py)(x+qy)。
十字相乘法
02
知识精讲
分解因式：(1)a2+8ab+7b2；
02
知识精讲
【分析】
(1)∵两数之积是7，∴这两数要么同正，要么同负，
又∵这两数之和是8，∴这两数同正，分别为1和7。
8ab
a2
7b2
a
a
b
7b
检验：7ab+ab=8ab
(a+b)(a+7b)
分解因式：(2)x2+2xy-63y2；
02
知识精讲
(2)∵两数之积是-63，∴这两数一正一负，
又∵这两数之和是2，∴正数的绝对值大，∴这两数分别为-7和9。
2xy
x2
-63y2
x
x
-7y
9y
检验：9xy-7xy=2xy
(x-7y)(x+9y)
例、分解因式：-a2-7ab+60b2。
【分析】把“-”号作为公因式的符号写在括号外，使括号内第一项的系数为正数，
原式=-(a2+7ab-60b2)，
∵两数之积为-60，两数之和为7，
∴这两数分别为-5和12，
03
典例精析
∴a2+7ab-60b2=(a-5b)(a+12b)，
∴原式=-(a-5b)(a+12b)。
课后总结
【十字相乘法】
借助画十字交叉线分解二次项与常数项，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【注意点】
十字相乘法主要适用于二次三项式。
【x2+(p+q)x+pq型的十字相乘】
(1)结构特征：
①原式是一元二次三项式，
②二次项系数是1，
③常数项可看作两个数的积，
一次项系数可看作这两个数的和；
(2)因式分解：(x+p)(x+q)。
【拓展：x2+(p+q)xy+pqy2型的十字相乘】
(1)结构特征：
①原式为二元二次三项式；
②x2的系数是1；
③pqy2的系数可看作两个数的积，
(p+q)xy的系数可看作这两个数的和；
(2)因式分解：(x+py)(x+qy)。