2023-2024学年北京第二十中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京二十中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数可表示为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的值域是
C. 的值域是 D. 在区间上单调递增
3.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的值是( )
A. B. C. D.
4.若两个非零实数，满足，则下列不等式不成立的是( )
A. B. C. D.
5.化简得( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.设、、为正数，且，则( )
A. B. C. D.
8.设函数为常数，则“”是“为偶函数”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.函数的所有零点之和为( )
A. B. C. D.
10.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为，另一个学生的分数为，第三个学生的分数为，其中，，是三个互不相等的正整数在完成所有学科竞赛后，甲的总分为分，乙的总分为分，丙的总分为分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则( )
A. 甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛
B. ，，这三个数中的最大值可以取到
C. 在甲乙丙这三个学生中，甲的物理竞赛成绩可能排名第二
D. 在甲乙丙这三个学生中，丙的物理竞赛成绩一定排名第二
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是 ， ．
12.下列结论正确的是______．
当时，；
当时，的最小值是；
设，，且，则的最小值是．
13.已知，且，，则 ______．
14.，对于任意的都有，则 ______．
15.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是______．
16.关于函数有如下四个命题：
的图象关于轴对称．
的图象关于原点对称．
的图象关于直线对称．
的最小值为．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，集合．
若，求和；
设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的零点；
Ⅱ求函数的图象与函数的图象的交点坐标；
Ⅲ若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．
求和的值；
当时，求函数的最大值和最小值；
设，若图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数，请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：
条件：
条件：
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答记分．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
Ⅲ设函数，指出函数在区间上的零点的个数，并说明理由．
21.本小题分
定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．
判断的奇偶性并证明；
判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
在的条件下解关于的不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集、补集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
求出集合，，进而求出，由此能求出．
【解答】
解：集合，
或，
，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：由表知，
：，，A错误，
：的值域为，B正确，C错误，
：当时，，在不是单调递增，D错误，
故选：．
利用分段函数值域的求法判断，利用单调性判断．
本题考查分段函数值域的求法，单调性的判断，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，则，
又由函数是定义在上的偶函数，则，
故选：．
根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，即正确；
由可得一定成立，B正确；
由题意得，可正可负，
当，时，一定成立，
当，时，由可得，，C错误；
由可得，即一定成立，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：
，，
，
故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
6.【答案】
【解析】解：
故
故选：．
由已知中，我们分别求出和，代入即可求出的值．
本题考查的知识点是分段函数的函数值，诱导公式，其中根据诱导公式分别求出和值，是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的单调性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
方法一：、、为正数，可得，，，可得，，，即可得出大小关系．
方法二：、、为正数，可得，，，作商比较可得三个数之间的大小关系．
【解答】
解：方法一：、、为正数，
令，则，
则，，．
，，，
，．
．
．
故选：．
方法二：、、为正数，
令，，
则，，．
，可得，
，可得．
综上可得：．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
“”“为偶函数”，“为偶函数”“”，由此能求出结果．
【解答】
解：设函数为常数，
若，，
则“”“为偶函数”，
若为偶函数，，
即，所以，
则“为偶函数”“”，
则“”是“为偶函数”的充分必要条件．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合，属于中档题．
由题意画出函数图象，再判断零点个数，再求和即可．
【解答】
解：令可得，
作出和的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象有个交点，
又两函数图象均关于直线对称，
的个零点之和为．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了合情推理的应用，主要考查了逻辑推理能力，正确理解题意是解题的关键，属于基础题．
确定甲乙丙三人总得分，不妨设，先根据的因数，即可判断选项A，通过分析甲乙丙的得分情况，判断甲必有第一名，且第一名分数不少于分，丙没有第一名，由此进行推理，即可判断选项C，，再列出，，的方程组，求出，，，即可判断选项B．
【解答】
解：甲乙丙三人总得分为分，不妨设，
因为只能被和整除，所以共有门学科竞赛，每门一二三名总分为分，即，故选项A错误；
乙得分，则另外两门必为第三，故，
甲共得分，平均每门分，故甲必有第一名，且第一名分数不少于分，
丙三门共分，则必然没有第一名，
故甲有两门第一，且这两门中乙第三，丙第二，
因为不能被整除，
所以数学丙第三，甲第二，故选项C错误，选项D正确；
由上述条件可知，，解得，故选项B错误．
故选D．
11.【答案】，
，

【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
判断两个函数是同一函数时，只需判断两个函数的定义域相同，对应关系也相同即可，如果两个函数的对应关系相同，值域也相同，这两个函数不一定是同一函数，举例说明即可．
【解答】
解：如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函数，
如：，，，，它们的定义域不同，不是同一函数．答案为不唯一
故答案为：，；，．
12.【答案】
【解析】解：，，当且仅当，即时取等号，正确；
，，错误；
又，，且，
，当且仅当，即，时取等号，正确．
故答案为：．
利用基本不等式逐项判断正误即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，且，
设，，
，
解得，，
，
，，
解得，．
故答案为：．
设，，则，从而，，由，得，由此能求出结果．
本题考查实数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：对于任意的都有，可得的图象关于点对称，
故答案为：
由题中的条件可得的图象关于点对称，故时，取得值．
本题考查正弦函数的图象与性质．考查了关于点对称．
15.【答案】
【解析】解：令，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，作出函数的大致图象，
又因为函数在区间上有最大值，
结合图象，由题意可得，解得．
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
作出函数的图象，结合图象列出不等式组求解即可．
本题考查了二次函数的性质、数形给思想，作出图象是关键，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查含的函数的奇偶性，对称轴，最值，属于中档题．
先求定义域，再判断函数奇偶性，可判断；根据诱导公式化简，可得，从而可得对称轴，可判断；换元，结合对勾函数的图象与性质可判断．
【解答】
解：对于，由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称，
由；
所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以错对；
对于，由，
所以该函数关于对称，对；
对于，令，则，由双勾函数的性质，可知，
，所以无最小值，错；
故答案为：．
17.【答案】解：因为，所以，
所以，；
因为是成立的必要不充分条件，所以，
当时，，得；
当时，则，等号不能同时取到，
解得，
综上，实数的取值范围是，即为．
【解析】利用集合的并集运算和交集运算即可求解；将必要不充分条件转化为含参数的集合关系问题，分类讨论即可求解．
本题考查必要不充分条件的应用，考查集合的并集运算和交集运算，是中档题．
18.【答案】解：Ⅰ令，
所以，即，
所以，
所以零点为；
Ⅱ令，
即，
所以，
整理可得，
即，
所以，解得；
将代入中，可得，
所以函数的图象与函数图象的交点坐标为；
Ⅲ由得，所以，解得，
即函数的定义域为，
由题意，在上恒成立．
所以在上恒成立．
令，
则在上恒成立，
即即可，
令，则，，
开口向下，对称轴，所以时，，
所以，解得．
所以的取值范围为．
【解析】Ⅰ令，解得的值，即可得函数的零点；
Ⅱ令，转化为指数形式，解得的值，代入函数中，可得交点的纵坐标，即求出交点坐标；
Ⅲ由题意可得，转化为指数表达式，换元，由函数的性质可得关于的不等式，进而求出的范围．
本题考查换元法的应用及二次函数的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，所以，
又因为的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
又，所以，
综上可得，；
由知，
当时，，
所以当即时，，
当即时，，
所以函数在的最大值为，最小值为；
由题意，
图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间，
且，解得，
令，，解得，，
若图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间，
则，解得，
当时，且矛盾，故解集为空集，
当时，；当时，，
故的取值范围为．
【解析】根据最小正周期求出，再根据对称轴求出；
由可得解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；
首先得到的解析式，由求出的大致范围，再求出图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间时的取值范围，即可得解．
本题考查了函数的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ令，解得，所以函数的定义域为，
若选因为，即为奇函数，
则，所以，
因为对任意上式均成立，所以，解得；
若选因为，即为偶函数，
则，所以，
因为对任意上式均成立，可得，解得．
Ⅱ若选则，可得，
则函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，，且，
则，
因为，则，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减；
若选则，可得，
则函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，，且，
则，
因为，则，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减．
Ⅲ若选则，则，
由Ⅱ可知，在内单调递减，且在定义域内单调递增，
则在内单调递减，
又为奇函数，则在内单调递减，且在内单调递减，
则在内单调递减，结合，
可知在内有且仅有一个零点；
若选则，则，
由Ⅱ可知，在内单调递减，且在定义域内单调递增，
则在内单调递减，
又为偶函数，则在内单调递增，
且在内单调递增，则在内单调递增，
结合，
可知在内有且仅有一个零点．
【解析】Ⅰ根据题意结合奇偶性的定义求解即可；
Ⅱ根据单调性的定义证明即可；
Ⅲ根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理判断即可．
本题考查了利用定义法证明函数的单调性，函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
21.【答案】解：令，得，分
再令，得．
为奇函数．分
任取，则由已知得．
．
，在上是减函数．分
当时，．
，
．
当时，，分
不等式可化为：
而，
得
即
在上是减函数，
，即分
；
，此时解集为分
【解析】可在恒等式中令，即可解出，由奇函数的定义知，需要证明出，观察恒等式发现若令，则问题迎刃而解；
由题设条件对任意、在所给区间内比较与的大小即可得出在上是减函数，再根据单调性得出函数的最值即可．
不等式可化为：再利用题中条件得到，结合函数的单调性，将前不等式化成二次不等式，再解之即得．
本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．
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