2023-2024学年云南师范大学附属中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南师范大学附中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，则的实部与虚部分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.直线与直线平行，则( )
A. B. 或 C. D. 或
3.已知向量满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知圆：，圆：，则这两圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
5.若等比数列中的，是方程的两个根，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知数列的通项公式，则数列的最大项为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.球半径为，球面上有三点、、，，，则四面体的体积是( )
A. B. C. D.
8.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点到直线的距离是
B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面间的距离为
D. 点到直线的距离为
11.如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有( )
A. 双曲线的离心率
B. 若且，则的渐近线方程为
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的右顶点为，过其焦点且垂直于长轴的弦长为，则该椭圆的离心率为______．
13.记为等差数列的前项和．若，则__________．
14.已知函数，对任意，且，恒有成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
在中，，，分别是角，，的对边，若且为锐角，，的面积为，求外接圆的半径．
16.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式；
设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，已知椭圆：的右焦点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，是与的一个公共点，且．
求椭圆与抛物线的方程；
直线与椭圆交于，两点在第一象限，直线交椭圆于另一点，直线交抛物线于，两点，且使得，，，依次排序，求的最小值．
19.本小题分
给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．
经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值．
已知函数，其中．
求的拐点；
若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，其实部与虚部分别为，．
故选：．
应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案．
本题考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，可得：
当时，两直线分别为，，它们不平行，不符合题意；
当时，若直线：与直线：平行，则，解得或．
故选：．
根据题意，按照两条直线平行与直线方程系数间的关系，分和两种情况列式，可求出的值．
本题主要考查直线的方程及其应用、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
即，
则，
，
．
故选：．
根据向量数量积及运算律即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：，即，其圆心，半径；
圆：，圆：，
可得，即两圆公共弦所在直线的方程为，
到公共弦的距离，
则公共弦的弦长；
故公共弦的弦长为．
故选：．
根据题意，联立两个圆的方程，可得公共弦所在直线的方程，分析圆的圆心和半径，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查圆方程的综合应用，涉及圆与圆、直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：等比数列中的，是方程的两个根，
，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，以及对数的公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，以及对数的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的通项公式，
则，
当时，，数列递增，
当时，，即，
当时，，数列递减，
故数列的最大项为或，
故选：．
根据题意，由数列的通项公式可得，讨论的取值范围，分析与的大小关系，即可得答案．
本题考查数列的函数特性，注意分析数列的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
的外接圆的半径为，
到平面的距离为，
，
四面体的体积是．
故选：．
求出的外接圆的半径，可得到平面的距离，计算的面积，即可求出四面体的体积．
本题考查四面体的体积，考查学生的计算能力，正确求出的外接圆的半径是关键．
8.【答案】
【解析】解：设公切线与两曲线与的切点分别为，，
由，，
得，整理可得，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
可得的最小值为，
从而，解得．
正实数的取值范围是．
故选：．
设公切线与两曲线与的切点分别为，，由斜率相等列式可得，令，利用导数求其最小值，可得关于的不等式，求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，
则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，所以，即，故A正确；
因为，所以，即，故选项B不正确；
因为，所以，即，即，故选项C不正确；
因为，所以，即，故选项D正确．
故选：．
构造，求导得，判断函数的单调性，然后逐个判断即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
A.设，，
，
故A到直线的距离，故A错．
B.易知，
平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B对．
C.，，，
设平面的法向量，
则，令，得，，
所以，所以点到平面的距离，
因为易证得平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对；
D.因为，
所以，
又，
则，
所以点到的距离，故D错．
故选：．
A.建立空间直角坐标系，设，，即可求解；
B.求出平面的一个法向量，即可求到平面的距离；
C.利用平面平面，把平面与平面间的距离转化为点到平面的距离即可；
D.利用，，结合，即可求解．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为，
所以两渐近线夹角小于，
此时，
则双曲线的离心率，故选项A正确；
对于选项B：若，
此时为等腰直角三角形，
所以，
因为点在双曲线上，
代入双曲线方程中，解得，
则渐近线方程为，故选项B错误；
对于选项C：在双曲线上取关于原点的对称点，连接，
因为，，，
所以≌，
此时，
又，
可得，
因为，为中点，
所以，
此时必有，，三点共线，
则为角平分线，
所以，故选项C正确；
对于选项D：在上取一点使得，
因为，
所以≌，
此时，，
因为，，
所以≌，
则，故选项D正确．
故选：．
根据，得到两渐近线夹角小于，即可判断选项；根据已知条件求得的坐标，代入双曲线方程即可判断选项B；在双曲线上取关于原点的对称点，根据对称性以及三角形全等等知识判断选项C；在上取一点使得，根据三角形全等等知识判断选项D．
本题考查了双曲线的定义及几何性质，考查计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
解得，，
该椭圆的离心率为．
故答案为：．
根据椭圆的几何性质建立方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解．
【解答】
解：因为等差数列中，，，
所以，
，即，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由，，，
得，
整理可得：，
因为，且，
设函数在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
由已知条件可得函数在上单调递增，所以在上恒成立，从而可得在上恒成立，可得的范围．
本题考查构造函数的方法及用导数的方法求参数的范围，属于中档题．
15.【答案】解：；
故函数的最小正周期为．
由于，整理得，
故，解得，
由于的面积为，
所以，解得；
利用余弦定理，
所以，
设外接圆的半径为，
故，
故．
【解析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；
利用三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：在直三棱柱中，设点到平面的距离为，
则，
解得，
所以点到平面的距离为；
取的中点，连接，如图，因为，所以，
又平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又，平面且相交，所以平面，
所以，，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由得，所以，所以，
则，，，，
所以的中点，
则，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，即，
设平面的一个法向量，
则，令，则，，即，
则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】由等体积法运算即可得解；
由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解．
本题考查了求点面距，面面角的向量求法，属于中档题．
17.【答案】解：，且，可得，
解得，
当时，，又，
两式相减可得，
由，可得是首项为，公比为的等比数列，
所以；
，可得，
，
，
上面两式相减可得
，
可得，
即为，
即有，可得对任意恒成立，
由，则，即的取值范围是．
【解析】由数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，再由不等式恒成立问题解法，可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意，，设，
则，
又，
所以，
所以椭圆：，抛物线：；
由题意，设直线：，
联立得，
显然，
设，，
则有，，
故，
联立，得，
显然，
设，，
则有，
所以，
则点到直线的距离，
点到直线的距离为，
所以
，
设，
又，
且均在上递增，
所以在上递增，
故，当时取等号，
故的最小值为．
【解析】利用椭圆与抛物线定义及性质，列方程求解即可；
由题意，设直线：，联立直线方程与椭圆方程和直线方程与抛物线方程，得和的表达式，从而得的表达式，利用函数的单调性求得最小值即可．
本题考查椭圆与抛物线性质，考查直线与圆锥曲线的综合应用，属难题．
19.【答案】解：的图象的对称中心为，
，，
，
，
，或，
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为．
，，
，
，
令，则在上恒成立，
在上单调递增，又，
由零点存在性定理知，有唯一的零点，
，
当时，，
的拐点为．
证明：由可知，在上单调递增，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，
在上恒成立，在上单调递增，
又，，
，
设，则，，
令，解得，
又，
的拐点为，
则关于中心对称，
令，
又的拐点为，，
要证明，只需证明的极值点左偏，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
即证当时，，
不妨设，，
令，，
则
，
在上单调递减，又，
在上恒成立，
，
又在上单调递增，
，
故的极值点左偏，
．
【解析】由得到，再根据求出，得到函数解析式，求导得到函数单调性及极值情况；
的定义域为，二次求导得到，构造函数，得到时，满足，故的拐点为；
由得到在上单调递增，因为，故，构造函数，得到其拐点，求出关于中心对称，构造，要证明，只需证明的极值点左偏，构造差函数证明出的极值点左偏，得到结论．
本题考查了函数的拐点，函数的极值点偏移，属于难题．
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