2023-2024学年江苏省盐城市建湖高级中学竞赛班高一（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市建湖高级中学竞赛班高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某地有个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为，，，，，，，，则这组数据的百分位数为的快递个数为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.冬奥会会徽以汉字“冬”如图甲为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用，，，，，等特殊角度为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求该同学取端点绘制了如图乙，测得，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值( )
A. B. C. D.
6.四名同学各投掷质地均匀的骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数的是( )
A. 众数为，极差为 B. 平均数为，中位数为
C. 平均数为，标准差为 D. 中位数为，众数为
7.若，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. B. 若，则
C. D.
10.香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为，其平面展开图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. B. 直线与直线所成的角为
C. 该六面体的体积为 D. 该六面体内切球的表面积是
11.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是( )
A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则
C. 设总样本的方差为，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某创业公司共有名职工，为了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到的数据分别为，，，，，，，，，若用样本估计总体，年龄在内的人数
占公司总人数的百分比是______其中是平均数，为标准差，结果精确到
13.在中，内角，，所对应的边分别是，，，，，且的面积为，则 ______．
14.在正四棱台中，底面是边长为的正方形，其余各棱长均为，设直线与直线的交点为，则四棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式某直播平台个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取个直播商家进行问询交流如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的个商家的平均日利润进行了统计单位：元，所得频率分布直方图如图所示请根据频率分布直方图计算下面的问题；
(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
(ⅱ)若将平均日利润超过元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小．
17.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别是，，，若．
求角的大小；
若，求中线长的范围点是边中点．
18.本小题分
已知函数，且满足．
求的值；
求证：在定义域内有且只有一个零点，且．
19.本小题分
已知函数，若存在实数、，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
若，求函数的“平衡”数对；
若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，
，所以分位数为．
故选：．
根据百分位数的知识求得正确答案．
本题考查百分位数的知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，
若，则，解可得．
故选：．
根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，；
所以原图形的面积为．
故选：．
利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
本题考查了平面图形直观图的画法于应用问题，解题的关键是还原成原图形，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
由得，由得，，而，，结合充分、必要条件的定义，即可得到结论．
【解答】
解：，
，，
而，，
可得“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：在中，由余弦定理可得，，
因为，所以，
在中，由得．
故选：．
先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：：若众数为数据中的最小值，结合极差为，则数据中最大值为，故可能出现点数；
：由平均数为，则所有数据之和为，
又中位数为，将数据从小到大排列，
则前个数据之和最小的情况为，，，
故后个数据之和最大为，
所以不可能出现数据；
：若出现点数，平均数为，满足条件的情况有，，，，，
则方差为，即标准差为，故可能出现点数；
：如，，，满足中位数为，众数为，故可能出现点数．
故选：．
根据各项的数据特征分析投掷次对应数据是否可能出现点数即可．
本题考查数据的数字特征，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
由已知，结合角的范围，即可得出，然后根据两角差余弦公式，即可得出答案．
【解答】
解：因为，，所以，
所以，．
又，所以．
所以，．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：正三棱锥中，，，
可得，，两两垂直，
可将正三棱锥扩充为以，，为棱的正方体，
则该三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，可得到侧面的距离．
设外接球的半径为，则，即，
又等边三角形的外接圆的半径，
则到底面距离为，
所以．
故选：．
由题意可得，，两两垂直，可将正三棱锥扩充为以，，为棱的正方体，则该三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，结合球的截面性质求得，，可得结论．
本题考查三棱锥的外接球的性质和正三棱锥的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，，
则，，A正确；
当，时，，因此B错误；
，
，C正确；
时，，，错．
故选：．
设，，根据复数的运算与模的定义计算后判断，根据复数乘法判断，由复数的模的定义和复数相等的定义判断．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图的平面展开图还原为直观图后如图所示，
其中，，，四点重合；
取的中点，连接，，
则，，
又，
所以平面，
又平面，所以，故A正确；
由图可知，与分别为正三角形的边，，其所成的角为，故B错误；
连接，过点作平面，则垂足在上，且，
所以，
所以该六面体的体积，故C错误．
因为该六面体的各棱长相等，所以其内切球的球心必在公共面上，
又为正三角形，所以点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切，
过点作，则就是内切球的半径，
在中，因为，
所以，
所以该内切球的表面积为，故D正确；
故选：．
根据条件证明平面，根据线面垂直的定义可证明；
根据正四面体的性质可知直线与成角，可判断；
连接，过点作平面，计算可得正四面体的高，六面体体积为个正四面体体积之和，计算可得结果，从而判断；
过点作，则就是内切球的半径，中计算得的长度，代入球的表面积公式计算可判断．
本题考查了线面垂直的证明，两直线所成的角以及几何体的表面积，体积，内切球表面积等知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，因为，所以，
，即，A正确；
对于选项，取第一部分数据为，，，，，则，，取第二部分数据为，，则，，则，不正确；
对于选项，取第一部分数据为，，，，，则，，
取第二部分数据为，，，，，则，，则，，不正确；
对于选项，若，，则，，D正确．
故选：．
对于选项，因为，由放缩，可得；
对于选项，举例说明不正确；
对于选项，举例说明不正确；
对于选项，若，，代入总体方差计算公式，可得．
本题考查总样本的平均数和方差，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
则，
故年龄在内的人数，即在内的人数为，
故年龄在内的人数占公司总人数的百分比是．
故答案为：．
先求出平均数和标准差，再结合题意，即可求解．
本题主要考查标准差和平均数的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，且，
可得，
，解得，
，
，可得，
代入，即，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式求出，再由余弦定理的变形即可得出．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设与相交于点因为四棱台为正四棱台，
直线与直线的交点为，
所以四棱锥为正四棱锥，
所以平面．
四棱锥的外接球的球心在直线上，连接，
设该外接球的半径为．
因为，平行于，
所以，，．
所以，即，
解得，
则四棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
先确定四棱锥为正四棱锥，从而得出外接球的球心在直线上，再由勾股定理确定半径，进而得出四棱锥的外接球的表面积．
本题考查四棱锥外接球的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
所以应抽取小吃类家，玩具类家．
根据题意，可得，解得，
设中位数为，因为，，
所以，解得，
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为，平均数为．
，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为．
【解析】根据分层抽样的定义计算即可；
根据中位数和平均数的定义计算即可；
根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可．
本题考查分层抽样的定义，中位数和平均数的定义等相关知识，属于基础题．
16.【答案】解：在三棱锥中，因为为的中点，且，
则，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，而平面，所以；
因是边长为的等边三角形，所以，则，
因平面，所以为三棱锥的高，
设为，所以，，
所以，即有，
所以，作于，作于，连，
则，因为平面，所以平面，平面，
则，因为，，，平面，
所以平面，而平面，故BC，
则为二面角的平面角．
又，所以，
在中，，，所以，
由知，故，
所以，即，，从而，
又因为在中，，所以为等腰直角三角形，
所以，即二面角的大小为．
【解析】根据给定条件证得平面即可得解；根据三棱锥的体积求得，可得，作辅助线作于，作于，连，利用定义法找到二面角的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得答案．
本题考查线面垂直，二面角，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理可得：，即，
可得，
因为为锐角，所以，
所以，
因为为锐角，
所以．
由得，
则，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
因为点是边中点，
所以，
两边平方可得：，
则
，
在锐角中，得，
所以，
所以，
所以，
所以中线长的范围为．
【解析】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，平面向量数量积的运算等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．
利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，结合的范围即可求出结果；
利用余弦定理求出，利用正弦定理求出，再利用平面向量关系化简即可求出结果．
18.【答案】解：根据题意，函数满足，
所以，即，
解得；
证明：由题意可知函数的图象在上连续不断．
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增．
又因为，，则有．
根据函数零点存在定理，存在，使得．
所以在上有且只有一个零点．
当时，，所以，
所以在上没有零点．
当时，，所以，
所以在上没有零点．
综上所述，在定义域上有且只有一个零点．
因为，即．
则，，
又因为在上单调递减，
所以．
【解析】根据题意，由函数的解析式可得，即，解可得的值；
根据题意，先分析函数的单调性，由函数零点判定定理可得结论，结合对数的运算性质和基本不等式的性质可得证明．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性以及函数零点判定定理，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意可知，对于任意实数，，
即，即对于任意实数恒成立，
只有，，
故函数的“平衡”数对为；
若，则，
，
要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数均成立，只有，
此时，，故存在，
所以是“可平衡”函数；
假设存在实数、，对于定义域内的任意均有成立，
则，
，
，
，
均为函数的“平衡”数对，
，
，，，
，
，函数单调递增，
，即，
的取值范围为．
【解析】根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
时，判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
根据“平衡数对”的定义将，用关于的三角函数表达，再利用三角函数的取值范围求解即可．
本题主要考查了函数恒成立问题，涉及新定义函数的“平衡”数对，紧扣定义是本题的关键，属于中档题．
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