2023-2024学年河南省信阳高级中学北湖校区高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省信阳高级中学北湖校区高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
3.一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为( )
A. B. C. D.
4.函数的值域为( )
A. B. C. D.
5.的一个必要不充分条件是
( )
A. B. C. D.
6.函数在区间的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.三个数的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8.定义在上的函数满足：对、，且，都有成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述正确的是( )
A. 设，则“”是“”的充要条件
B. 若幂函数在上单调递增，则实数的值为
C. ，
D. 命题“，”的否定是“，”
10.设，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则( )
A. B. C. 的值可能是 D. 的值可能是
12.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.函数的递减区间是______．
15.已知，则______．
16.函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知角终边上一点的坐标为，其中．
若，求，，的值；
求的值．
19.本小题分
已知，求的最小值；
若，均为正实数，且满足，求的最小值．
20.本小题分
已知函数．
当时，求该函数的最值；
若对于恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数，．
求函数的最小正周期和单调增区间；
求函数在区间上的最小值和最大值．
22.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数，
求，的值；
若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数值的求法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
，
则．
故选：．
由题意，利用指数不等式的解法求出，利用对数的性质求出，再根据补集、并集的运算，求出．
本题主要考查指数不等式的解法，补集、并集的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，
则，解得．
故选：．
根据扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，，开口向上，对称轴为，
又因为，所以，
而，所以，
所以时，；
当时，单调递增，
所以，即；
综上所述：函数的值域为．
故选：．
分两个区间求函数的值域，最后求出两个值域的并集即可．
本题考查分段函数的值域的求法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
先求出的充要条件，然后逐项判断即可．
【解答】
解：的充要条件为，
对于，是的充要条件，
对于，是的充分不必要条件，
对于，是的不充分不必要条件，
对于，是的一个必要不充分条件，
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
求出函数奇偶性和零点，由此即可得解．
本题考查由函数解析式确定函数图象，同时也涉及了辅助角公式的运用及三角函数的性质，属于中档题．
【解答】
解：，，
，所以为非奇非偶函数，排除，；
令，解得或或或，
由图观察可知，只有选项C符合题意，不符合题意；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据对数函数、正弦函数和指数函数的单调性即可得出这三个数的大小关系．
本题考查了正弦函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，
对于任意，
，
对，，且，都有恒成立，
所以，
所以，
所以函数在区间上为增函数，
，则，
不等式式等价为，
所以，
所以不等式的解集为，
故选：．
设，用单调性的定义分析的单调性，可得函数在区间上为增函数，由，得，不等式式等价为，结合单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由，能推出或，故不能推出；但由，能推出．
所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误．
对于，因为函数既是幂函数又在上单调递增，所以，解得，故B正确．
对于，在同一平面直角坐标系中画出图中蓝色曲线与的图象图中红色曲线，
由图可知，，，故C正确．
对于，根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“，”的否定是“，”，故D正确．
故选：．
由题意，根据幂函数的性质、简单逻辑用语，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题考查简单逻辑用语，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作差法及基本不等式的应用，属于基础题．
作差可知A正确；由基本不等式可知D正确；举例说明、C错误即可．
【解答】
解：，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
当时，，，故B错误；
当时，，，故C错误；
，，，
故，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故本题选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．
由偶函数的定义域关于原点对称，可求得值，根据函数解析式可求得函数单调性，由函数的单调性和奇偶性将不等式转化为，再求出的取值范围，即可得解．
【解答】
解：由题意可得，则，故A正确，B错误；
因为是偶函数，所以，
当时，单调递增，
因为是偶函数，
所以当时，单调递减，
因为，所以，
所以
解得或，
故C错误，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由图可知，函数的最小正周期为，则，
又因为，
因为，则，
所以，，
则，故A正确；
由于：，故函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故B错误；
由于：，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；
由于：，所以，的最小值为，故D正确．
故选：．
由函数图象可得，可求范围，进而可求，即可判断；利用三角函数图象变换可判断选项：利用正弦型函数的对称性可判断选项；利用正弦型函数的周期性可判断选项．
本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，令，则，
必有，解可得或，
若函数递减，则递增且恒成立，
必有，
即函数的递减区间为．
故答案为：．
根据题意，令，则，求出函数的定义域，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：已知两等式平方得：，
，
，即，
则．
故答案为：．
已知两等式两边分别平方，相加得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，将得出的关系式代入计算即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作出函数和的图象，如图所示：
由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减．
方程恰有三个实数根转化为函数的图象与的图象恰有三个交点，
结合函数的图象知，要使函数的图象与的图象恰有三个交点，只需满足，
所以的取值范围为．
故答案为：．
根据已知条件作出函数和的图象，将方程恰有三个实数根转化为函数的图象与的图象恰有三个交点，结合函数的图象即可求解．
本题考查了转化思想、数形结合思想，作出函数的图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：集合，，
，
，即．
当时，，
．
，．
由知，又
当时，，，要使，
则，求得．
此时，应有．
当时，有，此时，，满足．
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】当时，先化简和，可得．
由题意，可得，分类讨论，求出实数的取值范围．
本题主要考查分式不等式的解法，集合间的运算及集合间的包含关系，属于中档题．
18.【答案】解：角终边上一点的坐标为，其中，
若，则，
，，．
．
【解析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得，，的值．
由题意，利用同角三角函数的基本关系，求出的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
19.【答案】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
因为，均为正实数，，
所以，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【解析】先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
结合的妙用，利用基本不等式求出最值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
20.【答案】解：，
令，则函数化为，，
因此当时，取得最小值，
当时，，取得最大值，
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值．
，恒成立，
即，恒成立，
令，则，恒成立，
令，，
则，即，
解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的最值求法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和换元法、运算能力和推理能力，属于中档题．
由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求最值；
由题意可得，恒成立，运用换元法以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围．
21.【答案】解：
，
可得函数的最小正周期为，
令，得，
所以函数的单调增区间是；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以函数在区间上的最小值是，最大值是．
【解析】根据三角恒等变换化简为一般式，结合正弦函数单调区间以及正弦型函数的最小正周期的求解公式，即可求得结果；
根据中化简所得的一般式，利用整体法，即可求得最值．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，考查了学生推理和分析能力，属于基础题．
22.【答案】解：因为是奇函数，所以，
即；
；
又定义域为，则有，
可得：；
经检验：是奇函数，满足题意．
所以，的值分别为，；
由知，
易知在上为减函数；
又因是奇函数，
从而不等式：等价于，
因为减函数，，
得：，
即对一切有：，开口向上，
从而判别式，
即的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的基本性质和奇函数的运用能力，属于拔高题．
根据奇函数的性质，定义域包括，则有，定义域为，即可求得，的值；
将变形为：，因为是奇函数，，再利用为减函数解不等式即可．
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