2023-2024学年广西百色市平果县铝城中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西百色市平果县铝城中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5.已知点的坐标满足，则动点的轨迹是( )
A. 双曲线 B. 双曲线一支 C. 两条射线 D. 一条射线
6.已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，给出下列结论，其中正确的是( )
A. B.
C. D. 是平面的一个法向量
7.在空间四边形中，点在上，点在上，且，，则向量等于( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列，则( )
A. B.
C. 当时，的最大值是或 D. 当时，的最小值是或
10.已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则( )
A. 点，在轴上
B. 椭圆的长轴长为
C. 椭圆的离心率为
D. 使得为直角三角形的点恰有个
11.已知、是椭圆：的左、右焦点，、为其左、右顶点，点是椭圆上任一点异于、，则下列结论正确的是( )
A. B. 直线和的斜率之积为
C. D. 直线和的斜率之枳为
12.长方体，中，底面是边长为的正方形，底面为的中心为，则( )
A. 平面
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 棱锥的内切球的半径为
D. 直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列中，，，则数列的通项公式是______．
14.已知直线：，直线：，则直线与间的距离为______．
15.为椭圆上的点，，是其两个焦点，若，则的面积是______．
16.已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则此椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
圆：，直线：．
证明：不论取什么实数，直线与圆相交；
求直线被圆截得的线段的最短长度，并求此时的值．
18.本小题分
在，，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列的前项和为，，_____，_____．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上．
求双曲线方程；
若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．
求直线与所成角的余弦值；
在侧面内找一点，使平面．
21.本小题分
已知数列满足，数列的首项为，且满足．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和．
22.本小题分
已知双曲线的右焦点为，实轴长为．
求双曲线的标准方程；
过点，且斜率不为的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，为等差数列，
，
．
故选：．
利用等差数列的性质直接求解．
本题考查等差数列的第项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据递推关系式得到，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，半径为．
所以圆心到直线的距离．
所以弦长．
故选：．
由圆的标准方程，求出圆心与半径，然后利用点到直线的距离求弦长．
本题主要考查了直线与圆的位置关系以及弦长公式，正确利用弦长公式是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：点的坐标满足，
动点到和的距离之差等于，
和两点间的距离为，
动点的轨迹方程是双曲线的一支．
故选：．
利用双曲线的定义，直接判断．
本题考查椭圆的定义，是基础题，解题时要熟练掌握两点间距离公式．
6.【答案】
【解析】解：由于，，则，A错误；
，故A，B正确；
，故C、D错误；
故选：．
根据向量减法可计算，A错误；对于、、，根据向量数量积是否为即可判断．
本题考查空间向量的基本运算，以及垂直的等价条件，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据空间向量的加减运算法则，以为基底，不断向其转化即可得到答案．
本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，设在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义可得，，解得：，，
在中，由余弦定理可得：
，
整理得：，得，
即，
，，
故选：．
设，，由椭圆和双曲线的定义可得与的值，然后利用余弦定理列式求解．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查圆锥曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：因，，成等比数列，所以，
即，解得，即，故A正确；
，故B错误；
，
所以当时，由二次函数性质知，或时，的最小值是或，
当时，由二次函数性质知，的最大值是或，故CD正确．
故选：．
根据条件求出，由通项公式可判断，由求和公式可判断，根据前项和公式及二次函数性质可判断．
本题考查等比数列，等差数列的性质，前项和，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得的长半轴长，短半轴长，焦半距，
椭圆的焦点在轴上，故A错误；
椭圆的长轴长为，故B正确；
椭圆的离心率为，故C正确；
椭圆的右顶点，焦点，，
，
则，即为锐角，
故根据椭圆的对称性得使得为直角三角形的点恰有个以或为直角，故D错误．
故选：．
根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，即可判断，，；结合向量的坐标运算判断为锐角，根据椭圆对称性即可判断．
本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义，基本不等式等知识，难度偏中等．
为椭圆上的点，所以满足椭圆定义，求斜率之积先把斜率都写出来再作积进行运算．
【解答】
解：由椭圆定义易知A正确；
设，则，，
所以，故错误；
由余弦定理得
，
所以，
因为，所以又，
当且仅当时等号成立，所以C正确；
，，
所以，故正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】解：如图，因为，平面，所以平面，所以A正确；
向量平面，平面平面，向量在向量上的投影向量为，所以B正确；
棱锥的内切球的半径为，
可得：，解得，所以不正确；
直线与所成角的余弦值为所以D正确；
故选：．
画出几何体的直观图，判断直线与平面是否平行判断；求解向量的投影判断；利用等体积法求解内切球的半径判断；求解异面直线所成角的余弦值判断．
本题考查空间几何体的理解与应用，外接球的表面积的求法，直线与平面的位置关系的应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得
．
．
．
．
累加得：
．
故答案为：．
利用累加法，然后把等式右边借助于等差数列的求和公式得答案．
本题考查了数列递推式，考查了利用类加法求数列的通项公式，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：将直线：变形为，
利用两条平行线间的距离公式可得，直线与间的距离为．
故答案为：．
将直线的方程进行变形，然后直接利用两条平行线间的距离公式求解即可．
本题考查了两条平行直线间的距离的求解，解题的关键是将直线：变形为．
15.【答案】
【解析】解：由椭圆可得，，．
设，，由题意可得，解得．
的面积．
故答案为：．
设，，由椭圆的定义和余弦定理可得，解得即可．
本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理、三角形的面积等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：联立，解得，可得的中点坐标为，
设，，
则，，
两式作差可得：，
则，可得，即．
．
故答案为：．
联立直线方程求得的中点坐标，再设、的坐标，利用点差法求出的值，再由离心率公式求解．
本题考查椭圆的几何性质，训练了“点差法”的应用，是中档题．
17.【答案】解：因为直线的方程可化为，
所以过直线与的交点．
又因为点到圆心的距离，
所以点在圆内，所以过点的直线与圆恒交于两点．
由可知：过点的所有弦中，弦心距，
因为弦心距、半弦长和半径构成直角三角形，
所以当时，半弦长的平方的最小值为，
所以弦长的最小值为．
此时，．
因为，所以，解得，
所以当时，得到最短弦长为．

【解析】证得直线恒过圆内定点即可．
当时被圆截得的线段的最短长度，求此时的弦长与的值．
本题考查了直线与圆相交的性质，恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系，属中档题．
18.【答案】解：由于是等差数列，设公差为，
当选，
则，
解得，
所以的通项公式；
选，
则，
解得，
所以的通项公式；
选，
则，
解得，
所以的通项公式．
由知：，
所以，
所以
．
【解析】利用等差数列通项公式和求和公式，根据每种选择列出方程组求解即可；
结合得出的通项公式，然后利用裂项相消法求出其前项和．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属中档题．
19.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
因为，
易知，
易知，
联立，解得，
故．
【解析】由题意，根据双曲线渐近线方程得，利用点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
根据双曲线定义和列方程组求解，再结合三角形面积公式计算面积可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：设，连、，
由底面为矩形，可得为的中点，又为的中点，
则，
即为与所成的角或其补角．
侧棱底面，底面，底面，
，，
，，
在中，，，，
．
即与所成角的余弦值为．
易得、、两两垂直，
分别以、、为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，
则可得、、、
、、，
，
依题设，则，由于平面，
，化简得，可得，，
因此，点的坐标为，
从而侧面内存在一点，当到、的距离分别为和时，平面．
【解析】本题给出特殊四棱锥，求异面直线所成的角并探索线面垂直问题，主要考查了异面直线的所成角，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．
设，连、，将平移到，根据异面直线所成角的定义可知即为与所成的角或其补角，在中利用余弦定理，即可求出与所成角的余弦值；
分别以、、为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图，求出、、、、、的坐标，设，利用空间互相垂直的向量数量积为零，建立关于、的方程组，求出点的坐标为，即可得到到、的距离分别为和．
21.【答案】解：由，可得，
当时，由，可得，
两式相减可得，即，对也成立；
数列的首项为，且满足，可得，
则，对也成立，
故，，；
，
数列的前项和，
，
两式相减可得，
化简可得．
【解析】由数列的通项与求和的关系，以及数列恒等式，可得所求通项公式；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及数列恒等式和数列的错位相减法求和、等比数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意得，，则，，
所以双曲线的标准方程为．
如图，设直线的方程为，，，，
联立得，
令，解得且，
则，，
，
设点到直线的距离为，则，
所以，
解得或舍去，即，
所以直线的方程为或．
【解析】焦点坐标和实轴长得到，，再结合得到，即可得到双曲线方程；
联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，根据点到直线的距离公式得到点到直线的距离，然后利用三角形面积公式列方程，解方程即可．
本题考查了直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
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