2023-2024学年黑龙江省大兴安岭实验中学东校区高二（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大兴安岭实验中学东校区高二（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与直线平行，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知过点，的直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
3.椭圆的左右焦点为，，一直线过交椭圆于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则，的等差中项为( )
A. B. C. D.
6.空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则( )
A. B.
C. D.
7.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
8.已知等差数列的公差，，，记该数列的前项和为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知单位向量，满足，则( )
A. B. C. D.
10.若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
11.已知曲线：，：，则( )
A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数
12.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 点到直线的距离为
B. 直线到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
14.直线被圆截得的弦长为______．
15.为抛物线上动点，则到焦点的距离与到的距离之和最小值为______．
16.已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列中，．
若，求；
若数列为等差数列，且，求数列的通项公式．
18.本小题分
已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为．
求的标准方程；
过的右顶点，斜率为的直线交于，两点，求．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，．
求点到平面的距离；
若点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
在等差数列中，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
21.本小题分
如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面．
求证：；
当与平面所成的角为，在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角为？说明理由．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，为上一点且纵坐标为，轴于点，且．
求的值；
已知点是抛物线上不同的两点，且满足证明：直线恒过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线与直线平行，
，
解得．
故选：．
利用两条直线平行的判定方法列式解答即可．
本题考查两条直线平行的性质，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，由直线的斜率公式可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查直线的斜率计算，注意直线的斜率计算公式，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，过点，的直线的斜率为，
则，解可得，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：椭圆
，，
根据椭圆的定义
的周长为
故选：．
先由椭圆方程求得长半轴，而的周长为，由椭圆的定义求解即可．
本题主要考查椭圆的定义的应用，应用的定义的基本特征，是与焦点有关．
4.【答案】
【解析】解：由是等差数列，得．
故选：．
由题意，利用进行求解即可．
本题考查等差数列的前项和公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，
所以，的等差中项为．
故选A．
直接利用等差中项的概念求解．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差中项的概念，是基础的计算题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，
空间四边形中，，，，
则
．
故选：．
根据题意画出图形，结合图形利用空间向量的线性运算用、和表示出即可．
本题考查了空间向量的线性运算问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆，故圆心为，半径为；
圆，故圆心为，半径为；
所以两圆的圆心距为，
又圆的半径为，圆的半径为，且圆心距等于圆与圆的半径之和，
所以圆与圆的位置关系为外切．
故选：．
首先确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径的关系判断位置关系即可．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，
，而，且，解得，，则，
，由，得，
数列前项均为非负数，从第项起均为负数，
所以的最大值为．
故选：．
根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，，，
将两边同时平方可得，
所以，
即，解得，
所以，
所以．
故选：．
将两边平方化简得，再结合数量积的运算律开方求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：直线，即，
易知直线恒过定点，
圆的圆心坐标为，半径为，
显然点在圆外，直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离，
解得．
故选：．
根据题意建立关于的不等式，解出即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：曲线：整理得，
则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，
所以，离心率为，
故曲线的长轴长，故A错误；
曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，
所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C错误；
：的渐近线方程为，故B正确；
又，
所以与的离心率互为倒数，故D正确．
故选：．
根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可．
本题主要考查椭圆与双曲线的性质，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，
则点到直线的距离为：
，故A正确；
，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面，直线到平面的距离为，故B正确；
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
，，
设直线与直线所成角为，
则直线与直线所成角的余弦值为：
，故D正确．
故选：．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查点到直线的距离、直线到平面的距离、异面直线夹角定义、线面角定义、向量法、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：设异面直线和所成角为，
则．
故答案为：．
根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案．
本题考查向量法求解异面直线所成角问题，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆的圆心为原点，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为．
故答案为：．
求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得直线截圆所得弦长．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为：，
过点作于点，由抛物线的定义可得，
所以，
由图形可得，当，，三点共线时，取得最小值，
最小值为点到准线：的距离．
故答案为：．
求出抛物线焦点坐标和准线方程，将转为点到抛物线准线的距离，由抛物线的定义，可得，转化为求的最小值，结合图形，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可知右顶点为，
左右焦点、的坐标为，，
设为过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，不妨设，
，
当且仅当，即时取等号，
，，
的最大值为．
故答案为：．
由题意可得，可求的最大值．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：由，知为等差数列，公差为，
．
若数列为等差数列，由，，
得，
，
．
【解析】由，知为等差数列，由此能求出．
若数列为等差数列，由，，得，由此能求出．
本题考查数列的第项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
18.【答案】解：设的方程为，即，
因为椭圆的焦点坐标为，
依题意，解得，
所以的标准方程为：．
由方程得的右顶点为，设，，
又直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由，得，
整理得，
可得，，
所以弦长，
故．
【解析】由双曲线的渐近线的方程可设双曲线的方程，由椭圆的方程可得焦点坐标，由题意可得双曲线的的值，再由，，的关系求出，的值，进而求出双曲线的方程；
由可得右顶点的坐标，由题意可得直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的值．
本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合及弦长公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意知，，，两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
设点到平面的距离为，则．
设与平面的夹角为，则，
故B与面的夹角的正弦值为．
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，
设点到平面的距离为，由，得解；
设与平面的夹角为，由，，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求点到面的距离，线面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设数列的公差为，则，
解得，
；
由知，
．
【解析】利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式；
利用裂项相消法求和即可．
本题考查了等差数列的通项公式与裂项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：连接交于点，
因为侧面是正方形，所以，
由平面侧面，且平面侧面，侧面，
所以平面，又平面，所以．
因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以，
又，从而侧面，又因为侧面，故AB；
由平面，则直线与平面所成的角，所以，
又，所以，，
假设在线段上存在一点，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点为原点，以、所在直线分别为，轴，
以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
且设，，得，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，
令，得，所以，
由知平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
解得，
所以点为线段的中点时，二面角的大小为．
【解析】通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；
建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案．
本题考查线线垂直的证明和二面角，属于中档题．
22.【答案】解：显然点，由抛物线定义可知，，
而，解得，
所以抛物线方程为：；
证明：如图，设直线：，点，，
因为点在抛物线上，
由，消去得，
则，，，
则
，
整理得，将代入直线，得，
即，所以直线恒过定点．
【解析】设点，由抛物线定义可得，即可求出答案．
设直线：，，，联立方程组，得，，根据，可得，代入直线方程即可．
本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
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