2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（下）开学数学试卷-普通用卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值是( )
A. B. C. D.
2.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于( )
A. B. C. D.
3.如图，边长为的菱形绕点旋转，当、两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于( )
A. B. C. D.
4.为测量操场上篮筐的高，小明站在点处的眼睛与地面的距离为米，与的距离为米，若仰角为，则篮筐的高可表示为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
5.如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.的半径为，是圆外一点，，，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，正六边形外作正方形，连接交于点，则等于( )
A. B. C. D.
8.如图，一只圆形平盘被同心圆划成，，三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，，三个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动如图将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分，我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于( )
A. B. C. D.
9.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”给出下面四个结论：
一个圆的“半径三角形”有无数个；
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；
若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
10.当时，将，两个点称为一对“关联的对称点”若抛物线是常数总存在一对“关联的对称点”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.二次函数的顶点坐标为______．
12.如图，、为的两条弦，若，，则的半径为______．
13.如图，、分别是的边、上的点，，若：：，则： ______．
14.如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为______．
15.贴春联是中国传统习俗，晓红老家有个圆形拱门，每年都会贴上长长的春联，看上去非常喜庆晓红用圆弧近似模拟拱门，经测量发现，的拱高和其所对的弦都是，所对的圆心角是，弦与春联的底端平齐，点正好是春联外侧最高点，则春联的外侧长度大约是______参考数据，结果按四舍五入法精确到
16.已知抛物线与直线相交于点，点在点右侧，且．
的值是______．
直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，若随的增大而增大，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值：
；
．
18.本小题分
如图，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
求二次函数的表达式；
将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线，如图，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
19.本小题分
已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结连结，．
直接写出与的数量关系；
如图，连结，，在上取点，使得，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用内项之积等于外项之积进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【解答】
解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍弃，
，
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用．
连接，根据题意可得为等边三角形，从而可得到的度数，再根据弧长公式求得弧的长度．
【解答】
解：连接，可得，则，根据弧长公式，可得
弧的长度等于
故选C．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，米，米，
在中，，
，
，
米，
故选：．
由题意得到米，米，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出和，再求出答案即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，过，
，
即，
故选：．
过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：、、三点共线，
设正六边形的边长为，则，
在中，，，
，
，
故选：．
连接，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：、、三点共线，设正六边形的边长为，则，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：如图，设，
过点作于，连接、、，则，
，
，
解得，
在中，，
在中，，
，
解得，
，，
在中，，
．
故选：．
如图，设，过点作于，连接、、，根据垂径定理得到，再利用几何概率的求法得到，则，接着利用勾股定理，在中有，在中有，所以，则，于是可表示出，，，然后根据几何概率的求法计算区域的面积与整个面积的比即可．
本题考查了几何概率问题，某事件的概率这个事件所占的面积与总面积之比．利用运用垂径定理和勾股定理表示出各圆的半径是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，，即的长度等于半径，
以为边的圆的内接三角形有无数个，
一个圆的“半径三角形”有无数个，故结论正确；
，
为等边三角形，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
当点在圆上移动时，可能是，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故结论正确；
由以上可知，可以是或，
当，时，，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或，故结论正确；
过点作于，
则，
，
当点为优弧的中点时，的面积最大，最大面积为：，故结论错误；
故选：．
根据圆的“半径三角形”的概念判断；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题知，
将和代入函数解析式得，
，
两式相减得，
，
又因为，
所以，
则，
所以，
所以，
又因为时，，与条件矛盾，
所以，
所以．
故选：．
将和代入函数解析式，发现，之间的关系，再表示出即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
顶点坐标为：，
故答案为：．
将二次函数转化为顶点式，直接写出顶点坐标即可．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接并延长交于点，连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
即的半径为．
故答案为：．
构造直径，由和证明，得到，根据勾股定理求出直径即可得到答案．
本题考查了圆周角和勾股定理等有关知识，解题的关键是“根据直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形．
13.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为．
由，可判定∽，∽，再根据相似三角形的性质及等高三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，，
由题意得，
又，，
，．
在中，，，，
．
四边形内接于半径为的圆，它的对角互补，
．
．
．
四边形的周长为．
故答案为：．
连接，利用正弦定理求出，，，再利用托勒密定理求出，即可得解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：过点作，延长交于点，过点作，如图：
由垂径定理可得，
在中，，即，
解得，
，
，
，
设，则，，，
，即，
解得，
，
，
，
，
解得．
过点作，延长交于点，过点作，由题意可求出，，由得出，设，则，，，易得∽，利用相似比即可求出，进而求出，，再应用锐角三角函数即可求出．
本题考查解直角三角形的应用，垂径定理，正确作出辅助线是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：设抛物线与直线相交于点，，则，是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
即，
解得，
的值为；
故答案为：；
，
抛物线为，
直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，
，，
当时，随的增大而增大，
，
，
当时，的值随的增大而增大，
，
，
，
故答案为：．
设抛物线与直线相交于点，，则，是方程的两个实数根，由，得，即，可解得；
利用函数的解析式用表示出点，的坐标，进而求得线段，利用配方法结合函数的图象即可列出关于的不等式，解不等式则结论可得．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，二次函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案；
直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：顶点，
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
，
，
即；
二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为，
则函数的解析式为：，
设为上一点，
绕顺时针旋转后，对应点为，
则≌，
则，，
：，
若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以：，
把代入，
，
解得：，；
则，，
设：，
过点作轴交于点，
：，
，
，
，
当时，有最大值，，
此时．
【解析】由待定系数法即可求解；
由，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质．
19.【答案】解：连接，
由得，
，
，
，，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
≌，
，
，
；
作，垂足为点，
，
，
，
，
，
∽，
，
由得≌，，
，
，
，
，
在中，
，
，
整理得，
解得，不合题意，舍去，，不合题意，舍去，
当，，
当，不满足，舍去，
，，
，
的面积为．
【解析】连接，证明≌，进而得是等腰直角三角形，即有，再证明≌，得，即可证明结论；
作，垂足为点，证明∽，得，则有，由，解得，从而求出、、，即可求出的面积．
本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，三线合一，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理，本题的关键是熟练掌握与圆有关的性质，结合相似三角形求出线段的长度从而解决问题．
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