2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级(下)开学数学试卷-普通用卷(含解析)

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名称 2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级(下)开学数学试卷-普通用卷(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2024-03-14 08:28:14

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文档简介

2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级(下)开学数学试卷
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则的值是( )
A. B. C. D.
2.如图,一块矩形绸布的长,宽,按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似,则的值等于( )
A. B. C. D.
3.如图,边长为的菱形绕点旋转,当、两点恰好落在扇形的弧上时,弧的长度等于( )
A. B. C. D.
4.为测量操场上篮筐的高,小明站在点处的眼睛与地面的距离为米,与的距离为米,若仰角为,则篮筐的高可表示为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
5.如图,在中,是弦,是弧上一点.若,,则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.的半径为,是圆外一点,,,则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图,正六边形外作正方形,连接交于点,则等于( )
A. B. C. D.
8.如图,一只圆形平盘被同心圆划成,,三个区域,随机向平盘中撒一把豆子,计算落在,,三个区域的豆子数的比,多次重复这个试验,发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性,总在三个区域的面积之比附近摆动如图将一根筷子放在该盘中位置,发现三个圆弧刚好将五等分,我们把豆子落入三个区域的概率分别记作,,,已知,则等于( )
A. B. C. D.
9.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径,那么称其为该圆的“半径三角形”给出下面四个结论:
一个圆的“半径三角形”有无数个;
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形;
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时,它的顶角可能是,或;
若一个圆的半径为,则它的“半径三角形”面积最大值为.
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
10.当时,将,两个点称为一对“关联的对称点”若抛物线是常数总存在一对“关联的对称点”,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
11.二次函数的顶点坐标为______.
12.如图,、为的两条弦,若,,则的半径为______.
13.如图,、分别是的边、上的点,,若::,则: ______.
14.如图,四边形内接于半径为的圆,,,,则四边形的周长为______.
15.贴春联是中国传统习俗,晓红老家有个圆形拱门,每年都会贴上长长的春联,看上去非常喜庆晓红用圆弧近似模拟拱门,经测量发现,的拱高和其所对的弦都是,所对的圆心角是,弦与春联的底端平齐,点正好是春联外侧最高点,则春联的外侧长度大约是______参考数据,结果按四舍五入法精确到
16.已知抛物线与直线相交于点,点在点右侧,且.
的值是______.
直线与抛物线相交于点,与直线相交于点,若随的增大而增大,则的取值范围是______.
三、解答题:本题共3小题,共24分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值:


18.本小题分
如图,已知二次函数图象与轴交点为,其顶点为.
求二次函数的表达式;
将二次函数图象平移,使其顶点与原点重合,然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线,如图,直线与交于,两点,为上位于直线左侧一点,求面积最大值,及此时点的坐标.
19.本小题分
已知锐角内接于,于点,于点,交于点,交于点,连结连结,.
直接写出与的数量关系;
如图,连结,,在上取点,使得,,求的面积.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:,

故选:.
利用内项之积等于外项之积进行判断.
本题考查了比例的性质:熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积,合比性质,分比性质,合分比性质,等比性质.
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似多边形的性质.注意相似多边形的对应边成比例.由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,构建方程求解即可.
【解答】
解:使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,

解得或舍弃,

故选B.
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用.
连接,根据题意可得为等边三角形,从而可得到的度数,再根据弧长公式求得弧的长度.
【解答】
解:连接,可得,则,根据弧长公式,可得
弧的长度等于
故选C.
4.【答案】
【解析】解:由题意得,米,米,
在中,,


米,
故选:.
由题意得到米,米,解直角三角形即可得到结论.
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角,利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
5.【答案】
【解析】解:,,


,,



故选:.
根据等腰三角形的性质求出,,再根据三角形内角和定理求出和,再求出答案即可.
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点,能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.
6.【答案】
【解析】解:过作于,连接,则,
,,

在中,由勾股定理得:,
,过,

即,
故选:.
过作于,连接,根据含角的直角三角形的性质得出,根据勾股定理求出,再根据垂径定理得出,最后求出答案即可.
本题考查了含角的直角三角形的性质,勾股定理,垂径定理等知识点,能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键.
7.【答案】
【解析】解:连接,如图所示:
由正六边形和正方形的性质得:、、三点共线,
设正六边形的边长为,则,
在中,,,


故选:.
连接,如图所示:由正六边形和正方形的性质得:、、三点共线,设正六边形的边长为,则,解直角三角形求出,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
本题考查正多边形与圆,正方形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
8.【答案】
【解析】解:如图,设,
过点作于,连接、、,则,


解得,
在中,,
在中,,

解得,
,,
在中,,

故选:.
如图,设,过点作于,连接、、,根据垂径定理得到,再利用几何概率的求法得到,则,接着利用勾股定理,在中有,在中有,所以,则,于是可表示出,,,然后根据几何概率的求法计算区域的面积与整个面积的比即可.
本题考查了几何概率问题,某事件的概率这个事件所占的面积与总面积之比.利用运用垂径定理和勾股定理表示出各圆的半径是解决问题的关键.
9.【答案】
【解析】解:如图,,即的长度等于半径,
以为边的圆的内接三角形有无数个,
一个圆的“半径三角形”有无数个,故结论正确;

为等边三角形,

当点在优弧上时,,
当点在劣弧上时,,
当点在圆上移动时,可能是,
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形,故结论正确;
由以上可知,可以是或,
当,时,,
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时,它的顶角可能是,或,故结论正确;
过点作于,
则,

当点为优弧的中点时,的面积最大,最大面积为:,故结论错误;
故选:.
根据圆的“半径三角形”的概念判断;根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断;根据垂径定理求出,根据勾股定理求出,求出的最大面积,判断.
本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
10.【答案】
【解析】解:由题知,
将和代入函数解析式得,

两式相减得,

又因为,
所以,
则,
所以,
所以,
又因为时,,与条件矛盾,
所以,
所以.
故选:.
将和代入函数解析式,发现,之间的关系,再表示出即可解决问题.
本题考查二次函数图象与系数的关系,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.
11.【答案】
【解析】解:,
顶点坐标为:,
故答案为:.
将二次函数转化为顶点式,直接写出顶点坐标即可.
本题考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
12.【答案】
【解析】解:如图,连接并延长交于点,连接,
是的直径,

,,







即,


即的半径为.
故答案为:.
构造直径,由和证明,得到,根据勾股定理求出直径即可得到答案.
本题考查了圆周角和勾股定理等有关知识,解题的关键是“根据直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形.
13.【答案】
【解析】解:,
∽,



∽,



故答案为.
由,可判定∽,∽,再根据相似三角形的性质及等高三角形的性质求解即可.
本题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
14.【答案】
【解析】解:连接,,
由题意得,
又,,
,.
在中,,,,

四边形内接于半径为的圆,它的对角互补,



四边形的周长为.
故答案为:.
连接,利用正弦定理求出,,,再利用托勒密定理求出,即可得解.
本题主要考查三角形中的几何计算,考查运算求解能力,属于中档题.
15.【答案】
【解析】解:过点作,延长交于点,过点作,如图:
由垂径定理可得,
在中,,即,
解得,



设,则,,,
,即,
解得,




解得.
过点作,延长交于点,过点作,由题意可求出,,由得出,设,则,,,易得∽,利用相似比即可求出,进而求出,,再应用锐角三角函数即可求出.
本题考查解直角三角形的应用,垂径定理,正确作出辅助线是解题关键.
16.【答案】
【解析】解:设抛物线与直线相交于点,,则,是方程的两个实数根,
,,



即,
解得,
的值为;
故答案为:;

抛物线为,
直线与抛物线相交于点,与直线相交于点,
,,
当时,随的增大而增大,


当时,的值随的增大而增大,



故答案为:.
设抛物线与直线相交于点,,则,是方程的两个实数根,由,得,即,可解得;
利用函数的解析式用表示出点,的坐标,进而求得线段,利用配方法结合函数的图象即可列出关于的不等式,解不等式则结论可得.
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标的特征,抛物线上点的坐标的特征,二次函数与方程的关系,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
17.【答案】解:原式

原式

【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案;
直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案.
此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
18.【答案】解:顶点,
设二次函数的解析式为,
把代入得:,


即;
二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为,
则函数的解析式为:,
设为上一点,
绕顺时针旋转后,对应点为,
则≌,
则,,
:,
若在轴左侧同理可证成立,即满足横坐标为纵坐标的平方,
所以:,
把代入,

解得:,;
则,,
设:,
过点作轴交于点,
:,



当时,有最大值,,
此时.
【解析】由待定系数法即可求解;
由,即可求解.
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等,解答本题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质.
19.【答案】解:连接,
由得,


,,
≌,

是等腰直角三角形,

,,,
≌,



作,垂足为点,





∽,

由得≌,,




在中,


整理得,
解得,不合题意,舍去,,不合题意,舍去,
当,,
当,不满足,舍去,
,,

的面积为.
【解析】连接,证明≌,进而得是等腰直角三角形,即有,再证明≌,得,即可证明结论;
作,垂足为点,证明∽,得,则有,由,解得,从而求出、、,即可求出的面积.
本题考查了同弧所对的圆周角相等,等腰三角形的性质与判定,三线合一,全等三角形的性质与判定,勾股定理,相似三角形的性质与判定,垂径定理,本题的关键是熟练掌握与圆有关的性质,结合相似三角形求出线段的长度从而解决问题.
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