北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程 单元复习题（含解析）

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元复习题
一、选择题
1．关于x的方程是（a+2）x2﹣x+2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a≠﹣2 B．a＞1 C．a＝﹣2 D．a≠0
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．利用公式法求解可得一元二次方程式的两解为、，且，求a值为何（　　）
A． B． C． D．
4．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（　　）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
5．小华在解一元二次方程x2﹣x＝0时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是（　　）
A． B．=3 C． D．
6．已知关于x的方程是一元二次方程，则（　　）
A．a≠±1 B．a=1 C．a=-1 D．a=±1
7．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x，-x}＝，则x的值是（　　）
A．-1 B．-1或2+ C．2+ D．1或2-
8．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
9．若p，q是一元二次方程 的两个根，则 等于 （　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
10．学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，第三年植树625棵，求该校植树棵数的年平均增长率.设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．625
C．625x2=400 D．400x2＝625
二、填空题
11．若将方程x2+4x=m化为(x+2)2=5，则m=　 　．
12．若关于x的一元二次方程的常数项为0．则m的值等于　 　．
13．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为 　 　．
14．已知实数，满足，，且，且的值为　 　．
三、计算题
15．用适当的方法解下列一元二次方程
（1）
（2）
四、解答题
16．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义=ad-bc．上述记法就叫做二阶行列式，那么= 22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
17．已知方程的解为k，请用配方法解关于x的方程．
18．已知关于x的方程 只有一个实数根，求实数a的值.
19．对于实数m，n，定义新运算“※”：m※n=mn+m+n.
（1）化简：(a+b)※(a-b).
（2）解关于x的方程：x※(1※x)=-1.
五、综合题
20．已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0
（1）求出方程的根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
21．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”．
（2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
22．阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值.
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，，则.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　 　.　 　.
（2）类比应用：在（1）的条件下，求的值.
（3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值.
23．商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：依题意可得，a+2≠ 0，解得a≠-2，故选C.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义,即二次项的系数不为0,列不等式可解。
2．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
x2-8x=11，
x2-8x+42=11+16，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项一半的平方，即可配方.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：a，b为一元二次方程得两解，且a＞b，由求根公式得，，；
故答案为：D.
【分析】由求根公式与a＞b联合得出结果.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： 因式分解法解一元二次方程的依据是“ 若ab=0，则a=0或b=0 ”
故答案为：A
【分析】根据乘法运算可知：如果ab=0，那么a=0或b=0。
5．【答案】D
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程是一元二次方程，
∴
解之：a≠1，a=±1
∴a=-1.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义，可得到关于a的方程和不等式，然后求出a的取值范围.
7．【答案】B
【解析】【解答】若x>-x，即x>0，则解得(负值舍去)，
若x<-x，即x<0，则解得(正值舍去)，
故答案为：B.
【分析】根据新定义x>0，x<0列出方程，分别求解即可得出结论.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2-7x+12=0
（x-3）（x-4）=0，
解得x1=3，x2=4，
（1）当AB=3时，对角线长为6，则不能构成三角形，舍去，
（2）当AB=4时，对角线长为6，可以构成三角形，此时菱形ABCD的周长为4×4=16，
故答案为：A.
【分析】先解一元二次方程，得到两个解，分两种情况讨论，当AB=3时，菱形的边长均为3，而对角线长为6，3+3=6，无法构成三角形，故要舍去，而当AB=4时，4+4＞6，能构成三角形，故满足条件，从而算出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵p，q是一元二次方程 的两个根 ，
∴，p+q=-3，
∴原式= ==9-(-3)=12.
故答案为：C.
【分析】根据方程的根与系数的关系可得，p+q=-3，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
10．【答案】B
11．【答案】1
【解析】【解答】 解：由(x+2)2=5得，
，
∴，
∵方程x2+4x=m可化为(x+2)2=5，
∴m=1
故答案为：1.
【分析】把方程变形进行对比即可得答案。
12．【答案】
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程的常数项为0 ，
解得：m=
故答案为：-2.
【分析】根据关于x的一元二次方程的常数项为0 ，得到关于m的一元二次方程，解方程取符合题意的m的值即可.
13．【答案】x（60﹣x）＝864
【解析】【解答】解：若设这块矩形田地的长为步，则宽为步，依题意，得
．
故答案为： ．
【分析】基本关系：矩形的面积=长×宽，由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
15．【答案】（1）解：， ，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
或；
（2）解：原方程可化为：
或
或．
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程。求根据 公式为： ；
（2）根据因式分解法解方程．把方程右边的项移到左边，再提公因式（x-3）分解因式。
16．【答案】解：根据题意得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)= 22，整理，得2x2 +2x-x2+4=22，即x2+2x= 18，是一元二次方程，化为一般形式为x2+2x-18= 0．
【解析】【分析】根据新定义可得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)= 22，根据一元二次方程的定义进行判断即可.
17．【答案】解：∵方程的解为k，
∴，则，
即，
，
，
，
解得．
【解析】【分析】先解方程 求出k，再利用配方法解方程即可。
18．【答案】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），
（1）当△=0，即a= 时，显然x= 是原方程的解.
（2）当△＞0，即a＞ 时，x1= （1+ ），x2= （1－ ），
显然x1＞0，∴x1≠－1，x1≠0，它是原方程的解，
∴只需x2=0或－1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，
∴当x2=0时，即 （1－ ）=0，得：a=1；
当x2=－1时，即 （1－ ）=－1，得：a=5.
综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.
【解析】【分析】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a=，显然x=是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x2为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可得a的值.
19．【答案】（1）解： (a+b)※(a-b)=（a+b）（a-b） +a+b+a-b=a2-b2+2a
（2）解：由题意得
x ※( x+x+1）=-1
∴x※（2x+1）=-1
∴x（2x+1）+x+2x+1=-1
整理得（x+1）2=0
解之：x =x =-1
【解析】【分析】（1）利用定义新运算，先列式，再化简.
（2）利用定义新运算，可得到关于x的方程，然后求出方程的解.
20．【答案】（1）解：根据题意，得m≠1.
∵a=m-1，b=-2m，c=m+1，
b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4，
∴x1= = ，x2= =1
（2）解：由（1）知，x1= =1+ ，x2=1
∵方程的两个根都为正整数，
∴ 是正整数，
∴m-1=1或m-1=2，解得m=2或3
∴当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数.
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的概念可得m≠1，然后根据△=b2-4ac求出判别式的值，接下来借助求根公式x=进行求解；
（2）由（1）知：x1= =1+ ，x2=1，由方程的两个根都为正整数可得m-1=1或m-1=2，求解即可.
21．【答案】（1）解：，
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）13或-11
【解析】【解答】解：（3）根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得 或，
∴m的值为13或-11．
【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后作答即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后分类讨论，计算求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系求出，再计算求解即可。
22．【答案】（1）2；-1
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴；
（3）解：∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，
∴，.
故答案为：2，-1；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系 ， 即可直接得出答案；
（2）通分计算待求式子后，将分子利用完全平方公式变形后整体代入计算即可；
（3）由题意， s、t可以看作方程4x2+3x-4=0的两个根，由根与系数的关系得 ，， 由完全平方公式得 ，再开方即可求出t-s的值，进而将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
23．【答案】（1）解：设每个背包的售价为 元，则月均销量为 个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每个背包售价应不高于55元．
（2）解：依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）解：依题意，得： ，
整理，得： ．
，
该方程无解，
这种书包的销售利润不能达到3700元．
【解析】【分析】（1）设每个背包的售价为x元，根据当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，空白市场月均销售量，再根据使这种背包的月均销量不低于130个，列不等式，然后求出不等式的最大值即可.
（2）利用每一个背包的利润×销售量=3120，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
（3）利用每一个背包的利润×销售量=3700，列方程，根据方程根的情况，可作出判断.
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