北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元复习题（含解析）

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元复习题
一、选择题
1．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中 定相似的是（　　）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．3
6．如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（　　）
A． B． C．2：1 D．1：1
7．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（　　）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
10．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=10，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（　　）
甲：若CP=4，则有3种不同的剪法；乙：若CP=2，则有4种不同的剪法；
丙：若CP=1，则有3种不同的剪法．
A．只有甲错 B．只有乙错
C．只有丙错 D．甲、乙、丙都对
二、填空题
11．若，且，则　 　．
12．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，F．已知，则的长为　 　．
13．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为　 　．
14．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝　 　．
三、解答题
15．已知，，是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为81，求三边，，的长．
16．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝6cm，求EF和FC的长．
17．如图，已知四边形四边形.
（1）　 　.
（2）求边x，y的长度.
18．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）；
（2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系．
19．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
20．如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
21．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
22．如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
23．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.
（3）如图2，△ABC中，AC=2，DC= - ，BD= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．
4．【答案】A
【解析】【解答】根据黄金比的定义得： ，得 .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据AB=4计算求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：
A：没有能判定相似的条件，故不相似，不符合题意；
B：两角相等，故相似，符合题意；
C：两边对应成比例且夹角相等，故相似，符合题意；
D：两角相等，故相似，符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定条件进行逐一判断即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】如图，证明△EDC∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：
AB，
所以，，
所以且相似比为2：1，
因为，
所以，故A选项错误，不符合题意；
因为，
所以，故B选项正确，符合题意；
因为，
所以故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】分别求出AB=、、，再依据相似三角形的性质进行判断即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过P作交AB于D，作交AC于E，则，；
过P作，交AB于F，则，此时，；
过P作，交AC于F，则，此时，，；
当时，有4种不同的剪法；当时，有3种不同的剪法，甲和乙对，丙错 .
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，得到的长的取值范围.
11．【答案】6
【解析】【解答】设，
∴a=6k，b=5k，c=4k，
∵，
∴6k+5k-8k=3，
解得：k=1，
∴a=6×1=6，
故答案为：6.
【分析】设，可得a=6k，b=5k，c=4k，再结合求出k的值，最后求出a的值即可.
12．【答案】2
13．【答案】
【解析】【解答】如解图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
设 为 ，则 ，由勾股定理得 ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ 且 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点 作 于 ，根据 ∽ 可得出AH，FH的关系式，然后根据 ∽ ，可得 ，构建方程即可求解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
15．【答案】（1）解：因为，
设，则，
（2）解：令，得
所以，，．
【解析】【分析】（1）利用设k法可得：设，则， ，再将其代入计算即可；
（2）将，，代入求出k的值，再求出a、b、c的值即可.
16．【答案】解：∵AE∥DF，
∴，即，
∴EF＝4，
∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，
∵DE∥AC，
∴，即 ，
∴CE＝，
∴CF＝CE+EF＝．
【解析】【分析】先根据平行线分线段成比例即可得到EF，进而即可得到BE，再根据平行线分线段成比例即可得到CE，进而即可求解。
17．【答案】（1）
（2）解：∵四边形四边形，
∴
解得，.
【解析】【解答】解：（1）∵已知四边形四边形
∴∠C=∠C'=135°
∴
故答案为：
【分析】（1）根据相似图形性质可得∠C=∠C'=135°，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）根据相似图形的相似比性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分）
（2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为，
∴和相似比为，
∴
即：．
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质求得A、B、C对应点A1B1C1的位置，连接即可求解；
（2）利用位似图形的性质：面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解.
19．【答案】（1）解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE//AB， DE=AB=5
又∵DE//AB，
∴∠DEC= ∠B．
而∠ F= ∠ B，
∴∠DEC =∠B，
∴FD=DE=5
（2）解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∴∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∴△CDE∽△DFE ．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEC= ∠B，再结合∠F= ∠B，可得∠DEC =∠B，最后利用等角对等边的性质可得FD=DE=5；
（2）证明∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，即可证明△CDE∽△DFE。
20．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
【解析】【分析】（1）根据四边形 是矩形，得出 ， ，再根据垂直的定义得出 ，利用全等三角形的性质得出 ；
（2）在 中， ， ，利用勾股定理得出AE的值，由（1）已证： ，得出 ，解得即可。
21．【答案】（1）解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故，
即，
解得：BC＝3，
经检验，BC＝3是上述分式方程的解，
∴BC的长为3m；
（2）解：∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4-3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【解析】【分析】（1）先证明△BFC∽△BED，可得，将数据代入可得，再求出BC的长即可；
（2）先证明△BGA∽△BFC，可得，将数据代入可得，再求出AG的长即可。
22．【答案】（1）解：
（2）解：绕点逆时针旋转，如图所示，
即为所求图形的位置.
（3）解：∵，，，点为位似中心，相似比为，即位似比为，
∴，，，
∴延长到，使得，即，延长到，使得，即，连接，，得；
反向延长到，使得，即，反向延长到，使得，即，连接，，得，如图所示，
∴点为位似中心，相似比为，，都是所求图形.
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的三个顶点的坐标，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，，
∴.
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此不难得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）根据旋转的性质，分别将点A、B、C绕点O逆时针旋转90°得到点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）分别延长AB、CB，或反向延长BA、BC，使A3B=2AB，C3B=2CB，然后顺次连接即可.
23．【答案】（1）证明：∵∠ A=40°，∠ B=60°，
∴ ∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∵∠A ∠B ∠ACB，∴ △ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ ACB，∴ ∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，
∴ ∠ACD=∠ A=40°，∴ △ACD为等腰三角形.∴ ∠DCB=∠ A=40°，
∠CBD=∠ ABC， ∴ △BCD∽△BAC，∴ CD是△ABC的完美分割线.
（2）解：①如图3所示，
当AD=CD时，∠ACD=∠ A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，则∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②如图4所示，
当AD=AC时，∠ACD=∠ ADC= ，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③如图5所示，
当AC=CD时，∠ADC=∠ A=48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，
∴这与∠ADC>∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意.
综上所述，∠ACB的度数为96°或114°.
（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，AC=2，∴AC=AD=2.
∵△BCD∽△BAC，∴
，解得BC=
写成：BC= 或者BC= ，所有结果没化简均不扣分
【解析】【分析】（1）首先由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，然后根据∠A、∠B、∠ACB的度数的关系即可判断出△ABC是否为等腰三角形，由角平分线的定义求出∠ACD、∠BCD的度数，然后根据相似三角形的判定定理解答即可；
（2）分①AD=CD，②AD=AC，③AC=CD三种情况， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， 由相似三角形的性质可得∠BCD=∠A，最后由角的和差关系求解即可；
（3）首先由等腰三角形的性质可得AC=AD=2，然后由相似三角形对应边成比例就可求出BC的值.
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