北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 单元复习题（含解析）

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元复习题
一、选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．相邻两角互补 D．两组对角分别相等
2．如图，菱形的周长为8，是的中点，，交于点，那么的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．关于矩形的性质、下面说法错误的是（　　）
A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
4．如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，，则线段的长为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．5
5．下列四个命题中不正确的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上， ， ，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线，，则菱形的周长为（　　）cm
A．14 B．16 C．20 D．28
8．在四边形ABCD中，，.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形这个四边形一定是菱形这个四边形不可能是矩形这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，四边形是正方形，以为边作等边，与相交于点，则下列结论中： ； ； 的度数是；≌≌．
正确的有（　　）个．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D'，则∠a=　 　°。
12．在菱形中，，点在上，．若点是菱形四条边上异于点的一点，，则的长为　 　．
13．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 　 　．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
三、解答题
15．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
16．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、.
（1）求证：≌；
（2）若求四边形的周长．
17．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
18． 如图正方形，正方形如图，并排放置，G不是中点．请用无刻度直尺完成下列作图．
（1）图1中作平行四边形；
（2）在图2中边上寻找点P，使得．
19．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N，连接、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若四边形的周长为52，，求的长.
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
21．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
22．如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图，过点作，交于点，连接交于点．
判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等且平分， 菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故答案为：B。
【分析】根据矩形和菱形的性质求解。矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为8，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质得出，由已知条件得是的中位线，根据三角形中位线定理，即可得出结果．
3．【答案】D
【解析】【解答】A、∵矩形的四个角都是直角，∴A正确，不符合题意；
B、∵矩形的两组对边分别相等，∴B正确，不符合题意；
C、∵矩形的两组对边分别平行，∴C正确，不符合题意；
D、∵矩形的对角线互相平分且相等但不垂直，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵、分别是、的中点
∴，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质、三角形的中位线求解。连接，然后勾股定理求得，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A， 对角线相等的菱形是正方形，A正确，不符合题意；
B， 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ，B正确，不符合题意；
C， 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，C错误，符合题意；
D， 对角线相等的平行四边形是矩形 ，D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，
∵菱形OABC，
∴OC=OA=4
∵ ，
∴∠OCE=30°
∵OC=4
∴OE=2
∴CE=
∴点C的坐标为
.
故答案为：A.
【分析】过C作CE⊥OA，垂足为E，根据菱形的性质可得OC=OA=4，易得∠OCE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OE，利用勾股定理求出CE，据此可得点C的坐标.
7．【答案】C
【解析】【解答】设菱形ABCD的对角线相交于点O，如图所示：
∵菱形ABCD，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=3，
在Rt△ABO中，AB=，
∴C菱形ABCD=4AB=4×5=20，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的周长公式求解即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵不能判断四边形ABCD为矩形，则本项不符合题意；
B、∵
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵不能判断四边形ABCD为矩形，则本项不符合题意；
C、∵
∴
∵
∴
∴
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为矩形，故本项符合题意；
D、∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形ABCD为等腰梯形，故本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定，逐项分析即可.
9．【答案】C
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AD=AB=DC=BC，∠DAM=∠BAM=∠DCM=∠BCM=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵ AM=AM，MC=MC
∴，
∴ DM=BM································· 故选项正确；
由 得：∠MDC=∠MBC
∵ 等边
∴ CD=CE，∠DCE=60°
∴ BC=CE，∠BCE=150°，
∴ ∠BEC=∠MBC=∠MDC=15°···························· 故选项正确；
∴∠AMD=∠DCM+∠MDC=45°+15°=60°················ 故选项错误；
∵ AD=DE，∠ADM=∠EDM=75°，DM=DM
∴
∴··························· 故选项正确；
综上，正确，共3个
故答案为：C.
【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质。熟练掌握这些知识是解题关键。
11．【答案】125
【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转35°，得到矩形AB'C'D' ，
∴∠DAD’=35°，
∴∠BAD'=55°，
∵∠BAD'+∠ABC+∠ a +∠AD'C'=360°，
∴∠a =360°-90°-90°-55°=125°，
故答案为：125.
【分析】根据旋转的性质先求出∠DAD’=35°，再求出∠BAD'=55°，最后计算求解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：当P在CD上时，如图所示
在菱形中，，点在上，所以
，
所以
当P在AD上时，如图所示
在菱形中，，点在上，所以
为等边三角形，过C作与H，所以
由勾股定理可得
所以P与H重合，所以
当P在AB上时，如图所示
过P作，因为
，，且，所以，所以
则
故答案为：.
【分析】分情况讨论P在不同边上的DP长度，根据菱形的性质，结合三角形垂直的性质求解。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∵折叠，
∴BC=OC=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=，
∵AB=6，
∴BC= .
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=OA，从而在Rt△ABC中，BC=，得∠BAC=30°，根据含30°角的直角三角形的三边关系即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】 ，
.
∴∠BEA=∠AFD，
又∵∠AFD＋∠EAG=90°，
∴∠BEA＋∠EAG=90°，
∴∠BGF=90°.
H为BF的中点，又 为直角三角形，
.
∵DF=2，
∴CF=5-2=3.
∵ 为直角三角形.
∴BF= = = ．
【分析】根据SAS证明△AEB≌△DFA，可得∠BEA=∠AFD，从而求出∠BGF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质 ，在Rt△BCF中，利用勾股定理求出BF即可.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴EB＝AB，
∵AF＝AB，
∴EB＝AF，
∵EB∥AF，EG＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵EB＝AB，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AB＝5，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE，
∴∠AOB＝90°，
∴，
∴AE＝2OA＝2×3＝6，
∴AE的长为6．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 BC∥AD， 再根据角平分线求出 ∠BAE＝∠DAE， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的性质求出 AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， 再利用勾股定理计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵点O是BD的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）已证，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，即，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵，
∴四边形EBFD是菱形．
设，则
在中，，则
∴四边形EBFD的周长为．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和线段中点的性质得到 ，， 结合 ， 即可求证 ；
（2）由（1）可得 ， 利用矩形的性质和 ， 证明 四边形EBFD是菱形，设，则 ，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∵AE：EB＝2：1，
设AE＝2x，EB＝x，
∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，
∴AF＝
∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．
18．【答案】（1）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：如图：点即为所求；
由图可知：为平行四边形的对角线的交点，
∴，
又，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，连接并延长交的延长线与点，则平行四边形即为所求；
（2）在（1）的基础上，连接，交于点，则点为的中点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵直线是对角线的垂直平分线，
∴，.
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵菱形的周长为52，
∴，
又∵，
∴
在中，由勾股定理得，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DMO=∠BNO，由垂直平分线的性质可得OB=OD，MN⊥
BD，利用AAS证明△MOD≌△NOB，得到OM=ON，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得BN=ND=DM=MB=13，由MN=10可得OM=ON=5，利用勾股定理可得OB的值，然后由BD=2OB就可求出BD.
20．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
在中，是的中点，
，
，
，
OG∥EF
四边形是平行四边形，
EF⊥AB，
四边形是矩形．
（2）解：，是的中点，
在中，是的中点，
EF⊥AB，
在中，
四边形是菱形，
四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）由题意可知OE是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得OE=AE=AD，结合已知易得得OE∥FG，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形OEFG是矩形；
（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝AE，然后由勾股定理求得AF的值，由矩形的性质可得FG=EO，再根据线段的构成得BG=AB-AF-AG即可求解．
21．【答案】（1）解：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）解：设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）设正方形的边长为x，则，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，
，
，
由折叠的性质可知：，
，
，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）解：①四边形BFDG是菱形，
理由：，，
四边形是平行四边形
又，
四边形BFDG是菱形；
②．
【解析】【解答】解：（2）②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABD中，BD=，
设BF=DF=x，则AF=AD-FD=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2+AF2=BF2，
∴62+（8-x）2=x2，
解得x=，即BF=，
∵四边形BGDF是菱形，
∴BO=BD=5，FG=2OF，FG⊥BD，
在Rt△BOF中，由勾股定理得，
∴FG=2OF=.
故答案为：.
【分析】（1）由矩形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，由折叠得∠EBD=∠CBD，则∠ADB=∠EBD，再由等角对等边可得BF=FD，从而得出结论；
（2）①四边形BFDG是菱形，理由如下：首先由有两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BFDG是平行四边形，进而结合BF=DF，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
②在Rt△ABD中，由勾股定理算出BD，设BF=DF=x，则AF=AD-FD=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出BF的长，由菱形的性质得BO=BD=5，FG=2OF，FG⊥BD，从而在Rt△BOF中，由勾股定理算出OF的长，此题得解.
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