1.1.1集合的含义与表示
精讲部分
学习目标展示
元素与集合的概念
集合中元素的性质
集合的表示方法
数学中常用数集及其记法
集合的分类
衔接性知识
如果是整数，那么表示所有 奇 数；表示所 偶 数。
2. 如果为实数，则 , ，当时，，当时，
3. 一元一次方程与不等式的解法
（1）一元二次方程的根为
（2）一元二次不等式，
当时，它的解为 ； 当时，它的解为。
4.一元二次方程的解法
例：求方程的根
（1）公式法
当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有没有实数根。 21世纪教育网版权所有
解：，所以原方程的根为
，或
（2）配方法
解：，，，
所以或
（3）因式分解法
，，或，所以或
基础知识工具箱
要点
定义
符号
元素
研究的对象
小写拉丁字母
集合
一些元素组成的总体
大写拉丁字母
元素与集合的关系
属于
如果是集合中的元素，就说属于集合
不属于
如果不是集合中的元素，就说不属于集合
集合中元素的性质
1.确定性：集合中的元素是确定的
与者必居其一
2.无序性：集合的元素怀顺序无关
3.互异性：集合中的元素没有相同的
若，则
集合相等
构成两个集合的元素是一样的
常用的数集
1.自然数集（非负整数集）
2.正整数集
或
3.整数集
4.有理数集
5.实数集
集合的表示法
列举法
把集合中的元素一一列举出来，并有花括号“”括起来表示集合的方法
描述法
用集合中所含元素的共同特征表法集合的方法
或
（如果从上下文看是明确的，可以省略）
集合的分类
有限集
集合中元素的个数是有限个的
一般可有列法表示
无限集
集合中元素的个数是无限个的
一般用描述法表示
空集
集合中不含任何元素
区分两类集合
，与
首先，是最小的自然数，而与集合，它们三者不是一回事；是不含有任何元素的集合，是以为元素的集合；，，
，与
它们是三个不同的集合，是单元素集，这个集合中只含有一个点（或者说数对）；与是二元素集，的两个元素是自然数1与2，而的两个元素是两个方程（也可以说等式）与
典例精讲剖析
例1.已知集合，用与填空：
，，，
解：令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以
例2.用描述法和列举法表示下列集合
（1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合；
（3）不等式的自然数根；（4）方程解集
解：（1）描述法表示为或或，列举法表示为
（2）描述法表示为或或，列举法表示为
（3）描述法表示为或，列举法表示为
(4) 描述法表示为，列举法表示为
例3.用适当的方法表示下列集合
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）函数的的自变量的值组成的数集合；
（3）一次函数与的图象的交点组成的集合。
（4）使的自然数组成的集合
解：（1）；
（2）
（3）
（4），，解得，所以使的自然数组成的集合为
例4.已知集合
（1）若集合为单元素集，求实数的值；
（2）若集合为空集，求实数的取值范围；
（3）若集合二元素集，求实数的取值范围。
解（1）当时，，为单元素集，
当时，若集合为单元素集，则，解得。
从而，实数的取值为或；
（2）若集合为空集，则且，解得，从而实数的取值范围为
（3）若集合二元素集，则且，解得且，从而实数的取值范围为且
精练部分
A类试题（普通班用）
1.已知集合，集合，试判断与集合与的关系
解：因为，
所以，
2.下面集合中，可以表示方程组的解集的序号为
① ② ③
④ ⑤
解：②⑤
3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合
（1）不等式的自然数解所组成的集合
（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合
（3）集合
（4）集合
（5）使的整数组成的集合
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5），，解得，所以使的自然数组成的集合为
4.已知集合，若，求实数的值
解：，或
当时，，与集合的元素的互异性矛盾；
当时，或，与集合的元素的互异性相符合。
从而的实数的值为
5.已知集合，当实数取何值时，集合是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？
解：方程的判别式为
（1）当，即时，集合是单元素集；
（2）当，即时，集合是空集；
（3）当，即时，集合是二元素集。
B类试题（尖子班用）
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．好看的书 B．高尔基写的书
C．学校图书馆的藏书 D．语文书、数学书、英语书
解：A
2. 设集合，则下列关系是成立的是（ ）
A． B． C． C．
解：C
3. 下列命题中正确的是（ ）
A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素
C． D．与是不同的集合
解：A
4．用描述法表示集合为_______________
解：或等
5．方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有得 那么 a＝－6，c＝－1
6.下面集合中，可以表示方程组的解集的序号为
① ② ③
④ ⑤
解：②⑤
7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合
（1）不等式的自然数解所组成的集合
（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合
（3）集合
（4）集合
解：（1）
（2）
（3）
（4）
8.已知使的整数组成的集合
解：，，解得，所以使的自然数组成的集合为
9.已知集合，若，求实数的值
解：，或
当时，，与集合的元素的互异性矛盾；
当时，或，与集合的元素的互异性相符合。
从而的实数的值为
10.已知集合，当实数取何值时，集合是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？
解（1）当时，，为单元素集，
当时，若集合为单元素集，则，解得。
从而，实数的取值为或；
（2）若集合为空集，则且，解得，从而实数的取值范围为
（3）若集合二元素集，则且，解得且，从而实数的取值范围为且
1.1.1集合的含义与表示
精讲部分
学习目标展示
元素与集合的概念
集合中元素的性质
集合的表示方法
数学中常用数集及其记法
集合的分类
衔接性知识
如果是整数，那么表示所有 数；表示所 数。
2. 如果为实数，则 , ，
当时， ，当时，
3. 一元一次方程与不等式的解法
（1）一元二次方程的根为
（2）一元二次不等式，
当时，它的解为 ； 当时，它的解为 。
4.一元二次方程的解法
例：求方程的根
（1）公式法
当时，方程有两个不相等的实数根 ；当时，方程有两个相等的实数根 ；当 时，方程有没有实数根。 21教育网
解：
（2）配方法
解：
（3）因式分解法
解：
基础知识工具箱
要点
定义
符号
元素
研究的对象
小写拉丁字母
集合
一些元素组成的总体
大写拉丁字母
元素与集合的关系
属于
如果是集合中的元素，就说属于集合
不属于
如果不是集合中的元素，就说不属于集合
集合中元素的性质
1.确定性：集合中的元素是确定的
与者必居其一
2.无序性：集合的元素怀顺序无关
3.互异性：集合中的元素没有相同的
若，则
集合相等
构成两个集合的元素是一样的
常用的数集
1.自然数集（非负整数集）
2.正整数集
或
3.整数集
4.有理数集
5.实数集
集合的表示法
列举法
把集合中的元素一一列举出来，并有花括号“”括起来表示集合的方法
描述法
用集合中所含元素的共同特征表法集合的方法
或
（如果从上下文看是明确的，可以省略）
集合的分类
有限集
集合中元素的个数是有限个的
一般可有列法表示
无限集
集合中元素的个数是无限个的
一般用描述法表示
空集
集合中不含任何元素
区分两类集合
，与
首先，是最小的自然数，而与集合，它们三者不是一回事；是不含有任何元素的集合，是以为元素的集合；，，
，与
它们是三个不同的集合，是单元素集，这个集合中只含有一个点（或者说数对）；与是二元素集，的两个元素是自然数1与2，而的两个元素是两个方程（也可以说等式）与
典例精讲剖析
例1.已知集合，用与填空：
，，，
解：
例2.用描述法和列举法表示下列集合
（1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合；
（3）不等式的自然数根；（4）方程解集
解：
例3.用适当的方法表示下列集合
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）函数的的自变量的值组成的数集合；
（3）一次函数与的图象的交点组成的集合。
（4）使的自然数组成的集合
解：
例4.已知集合
（1）若集合为单元素集，求实数的值；
（2）若集合为空集，求实数的取值范围；
（3）若集合二元素集，求实数的取值范围。
解：
精练部分
A类试题
1.已知集合，集合，试判断与集合与的关系
解：
2.在集合①②③④⑤中，可以表示方程组的解集的序号为
3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合
（1）不等式的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合（3）集合（4）集合（5）使的整数组成的集合
4.已知集合，若，求实数的值
5.已知集合，当实数取何值时，集合是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？
B类试题
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．好看的书 B．高尔基写的书 C．学校图书馆的藏书 D．语文书、数学书、英语书
2. 设集合，则下列关系是成立的是（ ）
A． B． C． C．
3. 下列命题中正确的是（ ）
A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素
C． D．与是不同的集合
4．用描述法表示集合为_______________
5．方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
6.在集合①②③④ ⑤中，可以表示方程组的解集的序号为
7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合
（1）不等式的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合（3）集合（4）集合21世纪教育网版权所有
8.已知使的整数组成的集合
9.已知集合，若，求实数的值
10.已知集合，当实数取何值时，集合是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？
