第八章 立体几何初步（含解析）—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（A卷）

第八章 立体几何初步—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（A卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，E，F三点的正方体的截面面积为( )
A. B. C. D.
2．在二面角中,,,,,且,,若,,,则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若m,n是两条不同的异面直线,,,,,则
D.若,,则m与所成的角和n与所成的角互余
4．如图所示,正方体的棱长为4,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且,当,E,F,四点共面时,点E到平面的距离为( )
A. B. C. D.3
5．在三棱锥中，，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过点E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
6．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为( )
A. B. C. D.
7．如图,在四面体ABCD中,,,,则四面体ABCD外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8．在中,,,,D为AC中点,若将沿着直线BD翻折至,使得四面体的外接球半径为1,则直线与平面ABD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．对于两条不同直线m,n和两个不同平面,,则下列说法中正确的是( )
A.若,,,,则
B.若,,,,则
C.若平面SAB,则
D.若,,,则
10．如图,正方体的棱长为1,E,F,G分别为BC,,的中点,则( )
A.直线与直线DC所成角的正切值为
B.直线与平面AEF不平行
C.点C与点G到平面AEF的距离相等
D.平面AEF截正方体所得的截面面积为
11．如图,在棱长为2的正方体中,Q为线段的中点,P为线段上的动点（含端点）,则下列结论正确的有( )
A.P为中点时,过D,P,Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B.存在点P,使得平面平面
C.的最小值为
D.三棱锥外接球表面积最大值为
12．半正多面体亦称“阿基米德体”,是由边数不全相同正多边形为面的多面体.如图,将正四面体每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的半正多面体.点A,B,C是该多面体的三个顶点,且棱长,则下列结论正确的是( )
A.该多面体的表面积为
B.该多面体的体积为
C.该多面体的外接球的表面积为
D.若点M是该多面体表面上的动点,满足时,点M的轨迹长度为
三、填空题
13．在正方体中,M、N、P、Q分别是AB、、、的中点,给出以下四个结论：①;②平面MNPQ;③与PM相交;④与PM异面其中正确结论的序号是___________．
14．如图，长方体中，，E，F分别是侧棱，上的动点，，点P在棱上，且.若平面PBD，则__________.
15．某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品,球的内部有两个内接正五棱锥,两正五棱锥的底面重合,若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为,,则的最小值为________.
16．锐二面角中,直线a在半平面内,通过探究可知：a与半平面所成角的最大值就是二面角的平面角的大小,请据此解决下面的问题：在三棱中,,二面角为直二面角,,M,N分别为侧棱PA,PC上的动点,设直线MN与平面PAB所成的角为,当的最大值为时,则三棱锥P-ABC的体积为__________.
四、解答题
17．如图,已知正方体的棱长为2,E,F分别为AD,的中点.
（1）已知点G满足,求证B,E,G,F四点共面;
（2）求三棱柱的表面积.
18．如图,已知三角形是等腰三角形,,,C,D分别为,的中点,将沿CD折到的位置如图2,且,取线段PB的中点为E.
（1）求证:平面PAD;
（2）求点B到面ACE的距离.
19．如图，在三棱锥中，，，，.
（1）求证：平面ABC.
（2）过C作于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由.
20．如图,在直角梯形ABCD中,,,四边形CDEF为平行四边形,平面平面ABCD,.
（1）证明:平面ABE;
（2）若,,,求三棱锥的体积.
参考答案
1．答案：A
解析：在正方体中，平面，则平面与平面的唯一交线与平行.如图，取BC中点F，连接，，，，则四边形即为经过，D，E三点的正方体的截面.棱长为2，，，，梯形的高为，.
2．答案：A
解析：根据题意画出图形：在平面内,过A作,
过点D作,交AE于点E,连接CE,,
,平面CAE.
又,是二面角的平面角.
由矩形ABDE得,.在中,由勾股定理得.
是等边三角形,,.
二面角的余弦值为,
故选：.
3．答案：C
解析：A．,,则,又,则,所以不正确,A不正确;
B．,,,则或,故B不正确;
C．若m,n是两条不同的异面直线,,,,,则,C正确．
D．由时,m,n与所成的角没有关系,时,由面面平行的性质知n与,所成的角相等,m与,所成的角相等,
因此m与所成的角和n与所成的角不一定互余,D不正确.
故选：C．
4．答案：A
解析：因为平面ABCD与平面平行,
当,E,F,四点共面时,由面面平行的性质可得,
又,故此时E,F分别为AB,BC的中点,连接EF,
设点E到平面的距离为,点到平面EDF的距离为,
,即.
其中,,
,,
取的中点Q,连接FQ,则⊥,,
故,,
所以.
故选:A
5．答案：B
解析：如图所示，在三棱锥中，过点E分别作，，再分别过点F，H作，，可得E，F，G，H四点共面，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可证平面，所以截面即为平行四边形.又因为E为线段AP上更靠近P的三等分点，且，所以，，所以平行四边形的周长为.故选B.
6．答案：C
解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EF过点O，取AB的中点G，连接EG，FG，
根据正八面体的几何特征，，，又平面，平面ABF，平面平面，所以为二面角的平面角.
易知平面ABCD，AC在平面ABCD内，则，所以是直角三角形.又，，所以，所以.
在中，，同理，在中，.故选C.
7．答案：A
解析：如图1,取BD的中点E,由,,可得,
又,所以为等边三角形．
由,,可得,,
,AE,平面ACE
则平面ACE,
如图2,延长AE至Q,使得,延长CE至P,使得,
的外接圆的直径,即,
故易知P为的外心,Q为的外心,过点P作平面BCD的垂线,过点Q作平面ABD的垂线,两垂线的交点O就是四面体ABCD外接球的球心．
由,,可得,
在中,,
故四面体ABCD外接球的表面积为．
故选：A.
8．答案：A
解析：因为,,,所以,
由D为AC中点,所以,
则,即为等边三角形,
设的外接圆圆心为G,的外接圆圆心为O,取BD中点为H,
连接,OH,OG,OB,,OD,
因为,,所以由正弦定理可得,
即的外接圆半径为1,
又四面体的外接球半径为1,所以O为外接球球心,
由球的性质可知,平面,因为平面,所以,
因为,,所以.
设到平面ABD的距离为d,
因为和都是边长为1的正三角形,
所以,由得,即,
记直线与平面ABD所成角为,
则,所以.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于A,由于没有说明m,n是否相交,故,不一定平行,A错误,
对于B,若,,,,则(面面垂直的性质定理),故B正确,
对于C,若,,,则,C正确,
对于D,若,,,则,D正确,
故选:BCD
10．答案：AD
解析：如图所示,对于A,因为,所以即直线与直线DC所成角,,故正确;
对于B,取中点N,连接,GN,
在正方体中,,,平面AEF,平面AEF,
所以平面AEF,同理可证平面AEF,,
所以平面平面AEF,又平面,所以平面AEF,故错误;
对于C,假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,
连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故错误;
对于D,在正方体中,,把截面AEF补形为等腰梯形,易知,,,,EF之间的距离,
所以其面积为,故正确;
故选：AD.
11．答案：AD
解析：A选项：连接,,由三角形中位线性质和正方体性质可知,,且,所以过D,P,Q三点的截面为梯形,
易知,,
作,则,,
所以梯形的面积,A正确;
B选项：若存在点P,使得平面平面,则由平面平面,
平面平面可知,显然DQ,不平行,故B错误;
C选项：将侧面展开如图,显然当Q、P、D三点共线时,取得最小值,最小值为,C错误;

D选项：由题知,,,两两垂直,所以三棱锥外接球,
即为以,,为共顶点的三条棱的长方体的外接球,记其半径为R,
则,
显然,当点P与C重合时,R取得最大值,此时外接球表面积取得最大值,D正确.
故选：AD.
12．答案：BCD
解析：对于A选项,因,“阿基米德体”一共有八个面,
其中有四个面是边长为2的正六边形,有四个面是边长为2的正三角形,
因此,“阿基米德体”的表面积为,A错;
对于B选项,如下图所示,在棱长为a的正四面体中,设顶点P在底面MNG的射影点为点O,
延长MO交NG于点H,则H为GN的中点,
因为为等边三角形,则,且,
易知点为的中心,则,
因为平面MNG,平面MNG,所以,,
故,
,
即棱长为a的正四面体的体积为,
因为“阿基米德体”是在棱长为6的正四面体上截去了4个棱长为2的正四面体,
因此,“阿基米德体”的体积为,B对;
对于C选项,设等边的中心为N,与平面CEF平行的底面正六边形的中心记为点M,
则平面,
原正四面体(棱长为6)的高为,则,
由题意可知,“阿基米德体”的外接球球心O在直线MN上,
易知,即正的外接圆半径为,
底面正六边形的外接圆半径为,
设,“阿基米德体”的外接球半径为R,则,
解得,则,
因此,该多面体的外接球的表面积为,C对;
对于D选项,如下图所示:
由正六边形的几何性质可知,
因为,则,所以,,
即,同理可知,
因为,BC,平面BCQ,则平面BCQ,
因为平面BCQ,所以,,
由余弦定理可得,
同理可得,易知,
所以,点M的轨迹长度为,D对.
故选:BCD.
13．答案：①③④
解析：在正方体中,,
面,面,
,
面,
M,N分别是,的中点,,即,故①正确;
由于M、N、P、Q分别是AB、、、的中点,
则与PM相交,故②不正确,③正确;
面,而M,P,面,NC与PM异面,故④正确;
故答案为：①③④．
14．答案：2
解析：连接AC交BD于点O，连接PO.因为平面，平面EACF，平面平面，所以.在上截取，连接QC，则，所以，所以四边形EFCQ为平行四边形，则.又，，所以，故.
15．答案：
解析:如图所示,设另个正五棱锥外接球O的半径为R,球心到底面ABCDE的距离为d,
又由平面ABCDE,所以和分别为侧棱PA,QA与底面所成的角,设,
分别在直角和中,
可得,,
所以,
又由,所以当当时,取值最小值,最小值为.
故答案为:2.
16．答案：
解析：如图所示,当直线MN与平面PAB所成的角为二面角的大小时,
此时线面角达到最大,设N运动到C时,作于M,于D,
连结DM,二面角为直二面角,
面面PBC, ,面APB,面面
面APB,又,
面CDM,,,则,
设,
,
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在正方体中,取中点H,连接AH,HF,EG,如图,
因为F是的中点,则,,即四边形ABFH是平行四边形,
则有,由,知为的中点,而E为AD中点,于是,即有,
所以B,E,G,F四点共面.
（2）显然三棱柱是直三棱柱,,,,
上下两个底面的面积和为,
侧面积,
所以三棱柱的表面积.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取PA中点F,连接DF,EF,
E为PB的中点,则,,,,
又C,D分别为,的中点,则,,
,,四边形CDEF为平行四边形,则.
平面PAD,平面PAD,平面;
（2）由条件知:,,,
为直角三角形,;
,,
为直角三角形.,
设点B到面ACE的距离为d,则,
19、
（1）答案：证明见解析
解析：由已知，得，，
所以，.
又，所以平面ABC.
（2）答案：在AB上存在点E满足题意，且
解析：假设在AB上存在一点E，使得平面CEF.
因为平面CEF，所以.
因为平面ABC，所以.
又，所以平面PAB.
因为平面PAB，所以.
设，因为，
所以，
所以，即，所以，
故在AB上存在点E满足题意，且.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:连接交DF于点H,取BE的中点G,连接AG,GH,
因为四边形CDEF为平行四边形,所以H为CE的中点,
所以,,
因为,,所以,,
所以四边形为平行四边形,所以,即,
因为平面ABE,平面ABE,所以平面ABE,
（2）取CD的中点为O,连接OF,
因为,,所以为等边三角形,
所以,,
因为平面平面ABCD,平面平面,平面CDEF,
所以平面,所以点到平面ABCD的距离为,
因为,平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD,
所以点E到平面ABCD的距离为,
因为ABCD是直角梯形,,,,,
所以,
所以.