第六章 平面向量及其应用（含解析）—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（A卷）

第六章 平面向量及其应用—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（A卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知平面向量,,若,则（ ）
A. B. C.-2 D.2
2．在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点.若,,且,则( )
A. B. C. D.
3．已知非零向量,满足,.若,则实数t的值为( )
A.4 B.–4 C. D.
4．已知向量与是非零向量,且满足在上的投影向量为,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5．若O为所在平面内一点,且满足,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形
6．已知非零向量a，b满足，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
7．如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度,,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为,N点的人仰角为,以及,则M,N间的距离为( )
A. B.120m C. D.200m
8．已知向量与的夹角为，且，.若，且，则实数的值为( )
A. B.13 C.6 D.
二、多项选择题
9．下列命题中错误的有( )
A.起点相同的单位向量,终点必相同;
B.已知向量,则四边形ABCD为平行四边形;
C.若,,则;
D.若,,则
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别为三角形ABC的外心 重心 垂心,且M为BC的中点,则( )
A. B.
C. D.
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若是锐角三角形,恒成立
C.若,,,则符合条件的只有一个
D.若为非直角三角形,则
12．在中,,,,AD是三角形的中线．E,F分别是AB,AC边上的动点,,（x,）,线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍,则( )
A.
B.的取值范围为
C.若,则的取值范围为
D.的取值范围为
三、填空题
13．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则的面积为___________.
14．已知非零向量,.若与的夹角为,则_____________.
15．的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,则A的取值范围是______________.
16．在中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得，若（m为常数），则CD的长度是__________.
四、解答题
17．在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.
(1)求角C的大小;
(2)如果,,求c的值.
18．回答下列问题
（1）已知,,且,求的坐标.
（2）已知,求与垂直的单位向量的坐标.
19．如图所示,在中,,,AD与BC交于点M.过M点的直线l与OA、OB分别交于点E,F.
（1）试用,表示向量;
（2）设,,求证：是定值.
20．蜀绣又名“川绣”,与苏绣,湘绣,粤绣齐名,为中国四大名绣之一,蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味,丰富程度居四大名绣之首.1915年,蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖,在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状,点D为边BC上靠近B点的三等分点,,.
(1)若,求三角形手巾的面积;
(2)当取最小值时,请帮设计师计算BD的长.
参考答案
1．答案：C
解析：向量,,,则,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析:如图,可知.
由,即,可得.
从而,,即.
3．答案：B
解析：由,可设,
又,
所以所以,
故选B.
4．答案：A
解析：设与的夹角为,
在上的投影向量为
所以,
所以,,
所以为钝角,且.
故选：A
5．答案：A
解析：依题意,
,
,
所以,
所以三角形ABC是等腰三角形.
故选：A.
6．答案：C
解析：，，，，，化简得，.
7．答案：A
解析：由题意,可得,,,,,
且,
在直角中,可得,
在直角中,可得,
在中,由余弦定理得,
所以.
故选:A.
8．答案：D
解析：，且，.又与的夹角为，且，，，，解得.
9．答案：AC
解析：单位向量的方向不确定,所以起点相同的,终点不一定相同,A选项错误;
四边形ABCD中,,则且,四边形ABCD为平行四边形,B选项正确;
当时,满足,但不能得到,C选项错误;
由向量相等的条件可知,若,则,D选项正确.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：因为G是的重心,O是的外心,H是的垂心,
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,所以,
对于选项A：,故选项A不正确;
对于选项B：因为G是的重心,M为BC的中点,所以,
又因为,则,
即,故选项B正确;
对于选项C：设点O是的外心,所以点O到三个顶点距离相等,
即,故选项C正确;
对于选项D：
,故选项D正确;
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：对A,由正弦定理可知,故选项A正确;
对B,因为三角形为锐角三角形,所以,
则,故选项B错误;
对C,如示意图,点A在射线上,,易得,
则,即符合条件的三角形有2个,故选项C错误;
对D,因为为非直角三角形,所以,
整理可得,故选项D正确.
故选:AD.
12．答案：ACD
解析：对A,,
,
又因为,即,
解得,故A正确,
对B,因为,x,,则,解得,则,
则,
当且仅当时等号成立,
根据对勾函数的图象与性质可知当或1时,,则,故B错误,
对C,因为,,所以,
因为点E,G,F三点共线,
则存在,使得
则有,则,,故C正确;
对D,,,
则
,
因为,则,则,故D正确.
故选：ACD.
,然后解出,从而得到其范围;
对于D选项,则利用转化法来计算,最后得到,再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.
13．答案：
解析：由，可得，解得或（舍去），所以的面积为.
14．答案：2
解析：由于,得：,
两边平方得：,
由于,且与的夹角为,
其中,
得,得或0（舍去,非零向量）,
故答案是：2.
15．答案：
解析：由正弦定理知：,
,
,即,
又由余弦定理知：当且仅当时等号成立,而,
,则.
故答案为：.
16．答案：或0
解析：以点A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系xAy，设，，则，.由点P在AD的延长线上，可设，.易知，所以，则，所以，，所以.又，则，所以，得或，则或.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）由得,
由正弦定理可得,
因为,所以,即,
因为,所以.
（2）因为,所以,
所以,所以.
18．答案：（1）或;
（2）或
解析：（1）设,由得,,由得,,
解得,,或,,
则或,
即的坐标是或.
（2）设该单位向量为,显然,
由题意得,,则,
解得,或,,
则的坐标是或.
19．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）由A,M,D三点共线可得存在实数使得：,
又,故,
由C,M,B三点共线可得存在实数使得：,
又,故,
由题意,,不共线,
则：,解得,
故;
（2）由E,M,F三点共线,可设,
由,,则：,
由（1）知,,则：,即,
所以,
所以是定值.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,,故,,
由正弦定理得,即,
而,
故,
故,
故三角形手巾的面积为
（2）设,则,
则在中,,
在中,,
故
,
由于,
当且仅当,即时取等号,
故,
即取到最小值即取最小值时,,
即此时.