第六章 平面向量及其应用（含解析）—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（B卷）

第六章 平面向量及其应用—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（B卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．平面向量,,若,则( )
A.6 B.5 C. D.
2．已知向量，，，若，则( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
3．设,是两个不共线的向量,若向量与向量共线,则( )
A. B. C. D.
4．已知向量,,若,则与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5．已知点，，，，若，，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
6．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论错误的是( )
A.若,则
B.若为锐角三角形,则
C.若,则一定为直角三角形
D.若,则可以是钝角三角形
7．如图,在中,,,,,则( )
A.9 B.18 C.6 D.12
8．正方形ABCD的边长为2,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面内一点,且满足,则的最小值为( )
A. B. C.-2 D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.向量在向量上的投影向量可表示为
B.若,则与的夹角的范围是
C.若是以C为直角顶点的等腰直角三角形,则,的夹角为
D.若,则
10．设向量，，则下列说法错误的是( )
A.若，则a与b的夹角为钝角
B.的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个，为
D.若，则或
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若边BC的中线，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.的面积为
12．给出下列命题,其中错误的选项有( )
A.非零向量,,满足且与同向,则
B.已知且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
C.若单位向量,的夹角为,则当取最小值时,
D.在中,若,则为等腰三角形
三、填空题
13．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则角B的大小是______.
14．已知向量,,若,则_______________.
15．在中,已知,,,则在方向上的投影向量的模为_____________.
16．已知中，点D在边BC上，，，.当取得最小值时，__________.
四、解答题
17．设,是不共线的两个向量.
(1)若,,,求证：A,B,C三点共线;
(2)若与共线,求实数k的值.
18．已知向量,满足,,.
(1)求与夹角的余弦值;
(2)求;
(3)在平行四边形ABCD中,若,,求平行四边形ABCD的面积.
19．已知在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
（1）若,证明：是等腰三角形;
（2）若,求a的值.
20．如图,在中,,,BD与CE交于点O.
（1）若,求mn的值;
（2）设的面积为S,的面积为,求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,且,所以,解得,所以,所以.
故选:B.
2．答案：C
解析：，，即，解得，故选C.
3．答案：D
解析：因为,是两个不共线的向量,且向量与向量共线,
所以,即,
所以,解得,
故选：D.
4．答案：C
解析：由,得,
故,
.设与的夹角为,
则.
又,.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为，所以.因为，所以，所以，所以.因为，所以，所以，的夹角为，故选D.
6．答案：D
解析：因为,
所以由正弦定理知,
又因为在三角形中大角对大边,
所以,故A正确;
因为为锐角三角形,
所以,即,
所以,故B正确;
由正弦定理边化角得,
则或(舍),则,即,
则一定为直角三角形,故C正确;
,
,
,
又:最多只有一个角为钝角,
,,,即三个角都为锐角,
为锐角三角形,故D错误.
故选:D.
7．答案：D
解析:由可得:,
所以,所以,
,
因为,,,
所以.
故选:D.
8．答案：D
解析：设,可得,故C,B,Q三点共线,又O,P,Q三点共线,故Q为直线OP与BC的交点.
·,又,
可得·,又,所以·.
故选：D.
9．答案：AB
解析：A.根据投影向量的定义可知,向量在向量上的投影向量可表示为,故A正确;
B.根据,,可知,,,所以与的夹角的范围是,故B正确;
C.由向量夹角的定义可知,,的夹角为,故C错误;
D. 若,则或或,其中零向量与其它向量不一定垂直,故D错误.
故选：AB.
10．答案：CD
解析：对于A，若a与b的夹角为钝角，则且a与b不共线，则，解得且，A说法正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，B说法正确；对于C，，与b共线的单位向量为，即与b共线的单位向量为或，C说法错误；对于D，，即，解得，D说法错误.故选CD.
11．答案：ACD
解析：根据正弦定理，由，因为，所以，因此.因为，所以，因此选项A正确，选项B不正确；
因为是中线，所以.
或（舍去）.因此，所以选项C正确；
的面积为，所以选项D正确，故选ACD.
12．答案：ABC
解析：向量无法比较大小,故A错误;
,要想与的夹角为锐角,
则,且,
,且,解得:且,B错误;
,
当时,取得最小值,C错误;
在中,表示方向上的单位向量,表示方向上的单位向量,
则表示的平分线方向上的向量,
由得:的平分线方向上的向量与BC垂直,
由三线合一可知:,则为等腰三角形,D正确.
故选:ABC
13．答案：或
解析：因为,所以,
由余弦定理的推论,得,
因为,所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为,
所以由可得,
,解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：在中
,
即
所以,
故
,
即,
故
解得或
A,B为直角的内角
,
故,
又,
故在方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
16．答案：
解析：设，则.根据题意作出大致图形，如图.
在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，则，（当且仅当，即时等号成立），，当取得最小值时，.
17．答案：(1)证明见解析;
(2)±4.
解析：（1）由,,,
得,
,
因此,且有公共点B,
所以A,B,C三点共线.
（2）由于与共线,则存在实数,使得,
即,而,是不共线,
因此,解得,或,,
所以实数k的值是.
18．答案：(1)
(2)
(3)12
解析：（1）因为,所以,
又,,所以
所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以.
（3）由（1）知,,
所以,
所以平行四边形ABCD的面积为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：由,及正弦定理,
得,
即,
即.
因为,所以,
即.
因为,
所以或.
因为,所以,又,所以.
故是等腰三角形.
（2）因为,,即,则.
由（1）可得.
因为,
所以.
由正弦定理,得.
因为,所以.
结合,解得.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
因为B,O,D三点共线,所以,
又因为,则,
同理,因为C,O,E三点共线,所以,
又因为,则,
根据平面向量基本定理,,解得,
所以.
（2）延长AO与BC交于点F,因为B,F,C三点共线,
所以,
又因为,且,所以,
即,
所以,即,所以,
则.