第七章 复数（含解析）—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（A卷）

第七章 复数—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（A卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若,则复数在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．若复数满足,则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知，则( )
A. B.i C.0 D.1
4．已知,则( )
A. B.i C.0 D.1
5．已知复数z满足，则的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
6．已知，且，其中a，b为实数，则( )
A.， B.， C.， D.，
7．已知复数（i是虚数单位）,则( )
A. B. C. D.1
8．如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数(其中)为“等部复数”,则复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位,则下列选项中正确的是( )
A.复数的模
B.若复数,则(即复数z的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限
C.若复数是纯虚数,则或
D.对任意的复数z,都有
10．已知复数z的实部为1，虚部的绝对值为3，则下列说法正确的是( )
A.是实数 B.
C. D.在复平面内对应的点不可能在第三象限
11．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A.若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B.若复数z满足，则复数
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D.复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
12．已知复数z,w均不为0,则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知,______.
14．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为，，，，则实数的值为__________.
15．欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式,的最大值为________．
16．已知复数满足,则的最小值为______.
四、解答题
17．已知z是复数,与均为实数(i为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.
(1)求z的值;
(2)求实数a的取值范围.
18．已知复数，，，i为虚数单位.
（1）若是纯虚数，求实数m的值；
（2）若，求的值.
19．设虚数z满足.
（1）求证：为定值;
（2）是否存在实数k,使为实数？若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
20．已知复数(i是虚数单位,),且为纯虚数(是的共轭复数)
（1）求实数m及;
（2）设复数,且复数对应的点在第二象限,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以,
因此复数在复平面内所对应的点在第二象限.
故选：B.
2．答案：D
解析：由,
所以,在复平面内对应的点为,它在第四象限,
故选:D
3．答案：A
解析：因为，所以，即.故选A.
4．答案：A
解析：因为,
所以,即.
故选：A.
5．答案：B
解析：设复数z在复平面内对应的点为Z.因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴.又表示点Z到点的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点的距离的最小值，所以的最小值为2.
6．答案：A
解析：由题意知，所以，又，所以，所以，解得，故选A.
7．答案：B
解析：因为,
所以,
故选：B.
8．答案：A
解析：,
又“等部复数”的实部和虚部相等,复数z为“等部复数”,
,解得,
,
,即:,
复数在复平面内对应的点是,位于第一象限.
故选:A.
9．答案：AB
解析：对于A,复数的模,故A正确;
对于B,若复数,则,在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限,故B正确;
对于C,若复数是纯虚数,
则,解得,故C错误;
对于D,当时,,故D错误.
故选:AB.
10．答案：ACD
解析：因为复数z的实部为1，虚部的绝对值为3，所以.当时，，在复平面内对应的点在第四象限，；当时，，在复平面内对应的点在第一象限，.所以选项A，C，D正确，选项B错误.故选ACD.
11．答案：CD
解析：满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设，则.由，得，解得，B错误；由复数的模的定义知C正确；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确.故选CD.
12．答案：BCD
解析：设、;
对A：设,则,
,故A错误;
对B：,又,即有,故B正确;
对C：,则,
,,则,
即有,故C正确;
对D：
,
,
故,故D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：,则,,则.
故答案为:.
14．答案：-4
解析：因为，所以，所以，解得，所以.
15．答案：3
解析：,
又,
即当时,取得最大值为3,
故答案为：3.
16．答案：
解析：设,
因为,所以,
即点到点和的距离之差等于2,
所以方程表示射线,
表示点到的距离.
由图可知,的最小值为.
故答案为:
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设,
又,且为实数, ,解得.
,
为实数, ,解得.
(2)复数,
,解得.
即实数a的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1），，.因为是纯虚数，所以得.
（2）由（1）知，.因为，所以得，所以，，所以.
19．答案：（1）为定值
（2）
解析：（1）依题意,设（x,,）,
代入,
得,
整理得,即,所以为定值;
（2）假设存在实数k,使得为实数,
即：
实数,,
,,故存在实数k,使为实数,此时.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
,
为纯虚数,
,解得,
故,则
（2）,
,
复数所对应的点在第二象限,
,解得,
故实数的取值范围为.