第七章 复数（含解析）—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（B卷）

第七章 复数—2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元双测卷（B卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设复数,则( )
A. B. C. D.
2．设复数z满足,则它的共轭复数的虚部为( )
A.-1 B.1 C. D.i
3．已知复数,则( )
A. B. C.2 D.
4．欧拉公式(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.已知,则( )
A.1 B. C.2 D.
5．已知,是方程的两个复根,则( ).
A.2 B.4 C.2i D.4i
6．已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．若x,,且,则( )
A. B. C. D.
8．若虚部大于0的复数z满足方程,则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若复数z满足，则( )
A. B.z的实部为1 C. D.
10．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.
B.当，时，
C.当，时，
D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
11．对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是( )
A. B.
C. D.
12．若,为复数,则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知M，N分别是复数，在复平面内对应的点，O为坐标原点，若，则是___________（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形.
14．若复数z满足，则复数z的实部为__________.
15．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，若是钝角，则实数c的取值范围为___________.
16．设复数，满足，，则____________.
四、解答题
17．设复数，.
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求的共轭复数.
18．已知复数是方程的一个解.
（1）求a、b的值;
（2）若复数满足,求的最小值.
19．已知复数z满足．
（1）求z;
（2）若为纯虚数,求k的值．
20．已知是关于x的实系数一元二次方程.
（1）若a是方程的一个根，且，求实数k的值；
（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得复数,
故,
故选:B
2．答案：A
解析：由复数z满足,可得,
则,
所以它的共轭复数的虚部为-1,
故选：A.
3．答案：B
解析：因为,所以.
4．答案：A
解析：由欧拉公式可得,
所以,
故选:A.
5．答案：B
解析：已知,是方程的两个复根,所以,则设,,所以.
故选:B.
6．答案：B
解析：由，可得.因为，，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选B.
7．答案：A
解析：由,可得,
所以,解得,,所以,
故选：A.
8．答案：B
解析：由题可知：,故,所以共轭复数为,
故选：B.
9．答案：BD
解析：因为，所以，A错误；实部为1，B正确；，C错误；，D正确.故选BD.
10．答案：AC
解析：对于复数，则，，而，所以A正确；
当，时，，所以B错误；
当，时，，则，所以C正确；
当，时，，n为偶数时，设，，，，所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC.
11．答案：AB
解析：对于A，，则A为真命题；对于B，，则B为真命题；对于C，，而，则C为假命题；对于D，，而，则D为假命题.故选AB.
12．答案：BD
解析：对于A选项,取,,则,,
所以,,,所以,,
所以,,,故,A错;
对于B选项,设,,
则,,
,,则,所以,,B对;
对于C选项,不妨取,,则,,,
所以,,故,C错;
对于D选项,设,则,所以,,
所以,,D对.
故选:BD.
13．答案：直角
解析：因为，所以，故以OM，ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等，即该平行四边形为矩形，所以是直角三角形.
14．答案：1
解析：设，则，得，根据复数相等，得解得.故答案为1.
15．答案：
解析：由题意，可得，，.因为是钝角，所以，且A，B，C三点不共线.由，得.当时，，此时A，B，C三点共线，故实数c的取值范围为.
16．答案：
解析：（代数法）设，，则.由，得，即，因为，所以.
多种解法一：（复数的几何意义）设，在复平面内对应的向量分别为，.由題意知，，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，如图所示.则.
多种解法二：（向量法）原题等价于平面向量a，b满足，且，求.因为，所以，所以.
17．答案：（1）
（2）的共轭复数为
解析：（1）是实数，
，，，
.
（2）是纯虚数，
即，，故的共轭复数为.
18．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）依题意得,,即,
所以,解得,;
（2）由（1）可得,设,
则,,
因为,所以,整理得.
,
故当时,取得最小值.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,
因为,
所以,
,
,
所以,得,
所以
（2）由（1）可知,
所以,
所以
因为纯虚数,
所以且,
解得.
20．答案：（1）或或
（2）-5，-3，-2
解析：（1）因为是关于x的实系数一元二次方程，所以，
因为a是方程的一个根，且，
当时，则或，
若，代入方程得，解得；
若，代入方程得，解得；
当a为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根，
故，又因为，即，故，
所以，解得，
又，得，
所以；
综上：或或.
（2）由韦达定理可知，，，，
所以，
因为为整数，，
所以必为的因式，则的值可能为，
则实数k的值可能为-5，-3，-2，1，3，
又因为是该方程的两个实根，所以，则，
所以k的所有取值为-5，-3，-2.