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一、平面向量的概念
1）向量的概念：我们把具有大小和方向的量称为向量．
有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．
2）向量的表示：
① 几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．
② 字母表示法：，注意起点在前，终点在后．
3）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
4）向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作．
说明：共线向量的方向相同或相反.
注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．
5）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与
任意向量平行．
6）单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．
7）用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量．
二、向量的线性运算
1）向量的加法：
① 向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的和（或和向量），记作，即．
② 向量求和的平行四边形法则：已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则．
③ 向量的运算性质：
a. 向量加法的交换律：
b. 向量加法的结合律：
c. 关于：
④ 向量求和的多边形法则：
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
2）向量的减法：
① 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．零向量的相反向量仍是零向量．
② 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的
位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．
3）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量
① 向量的数乘：
数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长.
② 向量共线的条件：如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一的一个实数，使．
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一、平面向量的概念
概念性试题，关键是把握好概念内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚.
特别注意：
1）向量具备大小和方向两个特征.
2）零向量方向是任意的，而不是没有方向.
3）共线向量只要求方向相同或相反的非零向量，和模长没关系.相等向量一定是共线向
量，反之则不成立.
【题干】1.下列说法中正确的有（ ）个.
（1）零向量是没有方向的向量；
（2）零向量与任一向量平行；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量只能与零向量平行.
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
【题干】2.下列说法中正确的是________.
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则.
【题干】3.下列说法中正确的有________.
（1）向量可以比较大小； （2）零向量与任一向量平行；
（3）向量就是有向线段； （4）非零向量的单位向量是.
【题干】4.在下列结论中，正确的是________.
（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（3）若和都是单位向量，则；
（4）两个相等向量的模相等.
【题干】5.下列命题中，正确的是（ ）.
A. 是两个单位向量，则与相等
B. 若向量与不共线，则与都是非零向量
C. 两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D. 共线的单位向量必是相等向量
【题干】6.若正多边形有条边，它们对应的向量依次为，则这个向量（ ）
A. 都相等 B. 都共线
C. 都不共线 D. 模都相等
【题干】7.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【题干】8.已知，是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为（ ）.
（1）的方向与的方向相同，且的模是的模的倍；
（2）的方向与的方向相反，且的模是的模的；
（3）与是一对相反向量；
（4）与是一对相反向量.
A. B. C. D.
【题干】9.设是正的中心，则向量，，是（ ）.
A. 相等向量 B. 模相等的向量
C. 共线向量 D. 共起点的向量
【题干】10.如图，设是正六边形的中心，在下图所标出的向量中：
（1）试找出与大小相等，方向相反的向量；
（2）与相等吗？
（3）与相等吗？
【题干】11.如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】12.下列命题正确的是（ ）
A. 与共线，与共线，则与也共线
B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C. 向量与不共线，则与都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
【题干】13.设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（ ）
A. B. C. D.
【题干】14.下列命题中正确的有（ ）
（1）四边形是平行四边形当且仅当；
（2）向量与是两平行向量；
（3）向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；
（4）单位向量不一定都相等；
（5）与共线，与共线，则与也共线；
（6）平行向量的方向一定相同；
【题干】15.判断下列各命题是否正确
（1）零向量没有方向 （2）若，则
（3）单位向量都相等 （4）向量就是有向线段
（5）两相等向量若共起点，则终点也相同 （6）若，，则；
（7）若，，则
（8）若四边形是平行四边形，则
（9）的充要条件是且；
【题干】16.在四边形中，“”是“四边形为梯形”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【题干】17.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是
⑤模为是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
【题干】18.平面向量，共线的充要条件是（ ）
A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数，，
【题干】19.给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且；
⑤若，，则；
其中正确的序号是________．
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一、平面向量的概念
概念性试题，关键是把握好概念内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚.
特别注意：
1）向量具备大小和方向两个特征.
2）零向量方向是任意的，而不是没有方向.
3）共线向量只要求方向相同或相反的非零向量，和模长没关系.相等向量一定是共线向
量，反之则不成立.
【题干】1.下列说法中正确的有（ ）个.
（1）零向量是没有方向的向量；
（2）零向量与任一向量平行；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量只能与零向量平行.
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】由零向量的性质和定义知只有（2）（3）正确.
【点评】考查零向量的定义，对基础知识要求较高，题目容易.
【题干】2.下列说法中正确的是________.
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则.
【答案】（4）
【点评】考查相等向量的定义，对基础知识要求较高，题目容易.
【题干】3.下列说法中正确的有________.
（1）向量可以比较大小； （2）零向量与任一向量平行；
（3）向量就是有向线段； （4）非零向量的单位向量是.
【答案】（2）（4）
【点评】考查向量的相关性质，属基础知识，题目容易.
【题干】4.在下列结论中，正确的是________.
（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（3）若和都是单位向量，则；
（4）两个相等向量的模相等.
【答案】看解析
【解析】（1）错误.因为向量只与大小，方向有关：与起点，终点的位置无关，且我们研究的向量为自由向量.（2）错误.因为模相等的两个平行向量可能是相反向量.（3）错误.因为单位向量的方向可以不同.（4）正确.根据相等向量的定义可知两个相等向量的模相等.
【点评】考查向量的相关知识，属基础知识，题目容易.
【题干】5.下列命题中，正确的是（ ）.
A. 是两个单位向量，则与相等
B. 若向量与不共线，则与都是非零向量
C. 两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D. 共线的单位向量必是相等向量
【答案】B
【解析】两个单位向量的方向可能不同，故A错误；因为零向量的方向是任意的，故B正确；两个相等向量只要求方向和长度相同，与起点没有关系，C错误；共线的单位向量可能是方向相反的向量，故D错误.根据相等向量的定义：大小相等且方向相同的两个向量是相等向量，两个方面缺一不可.
【点评】考查向量的相关知识，属基础知识，题目容易.
【题干】6.若正多边形有条边，它们对应的向量依次为，则这个向量（ ）
A. 都相等 B. 都共线
C. 都不共线 D. 模都相等
【答案】D
【解析】正多边形有条边，它们对应的向量以此为，则.
【点评】考查向量的相关知识，属基础知识，题目容易.
【题干】7.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据单位向量的定义：把模为的向量成为单位向量，以题可知，而这两个向量的方向并没有明确，所以这两个单位向量可能共线，也可能不共线，所以A，B，C错误，D正确.
【点评】考查单位向量的定义：把模为的向量称为单位向量，题目容易.
【题干】8.已知，是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为（ ）.
（1）的方向与的方向相同，且的模是的模的倍；
（2）的方向与的方向相反，且的模是的模的；
（3）与是一对相反向量；
（4）与是一对相反向量.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】（1）真命题.因为，所以与的方向相同，又因为，所以命题（1）是正确的.（2）真命题.因为，所以与的方向相同，又因为，所以与的方向相反，，所以与的方向相反，且模是的模，故（2）是真命题.（3）真命题.依据相反向量的定义及实数与向量的乘积的定义进行判定.
（4）假命题.因为与是一对相等向量.正确的命题个数为三个.
【点评】考查向量的模，相反向量，概念辨析题，易混淆，题目容易.
【题干】9.设是正的中心，则向量，，是（ ）.
A. 相等向量 B. 模相等的向量
C. 共线向量 D. 共起点的向量
【答案】B
【解析】因为，正三角形的中心到三角形顶点的距离相等，所以向量是模相等的向量， ， 是模相等的向量.
【点评】考查向量基本概念，概念辨析题，题目容易.
【题干】10.如图，设是正六边形的中心，在下图所标出的向量中：
（1）试找出与大小相等，方向相反的向量；
（2）与相等吗？
（3）与相等吗？
【答案】（1） （2）不相等 （3）相等
【点评】考查向量基本概念，及向量的正确表示，书写易丢箭头，题目容易.
【题干】11.如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D．
【题干】12.下列命题正确的是（ ）
A. 与共线，与共线，则与也共线
B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C. 向量与不共线，则与都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】C.
【解析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.
【题干】13.设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】向量是既有大小又有方向的量，与模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时，故②、③也是假命题．综上所述，答案选D．
【题干】14.下列命题中正确的有（ ）
（1）四边形是平行四边形当且仅当；
（2）向量与是两平行向量；
（3）向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；
（4）单位向量不一定都相等；
（5）与共线，与共线，则与也共线；
（6）平行向量的方向一定相同；
【答案】（2）（4）.
【解析】（1）错误；四边形是平行四边形，但时，这四点可能在一条线上，故反过来不正确；
（2）正确；根据平行向量的定义；
（3）错误；向量与起点无关，故共线向量只能说明直线与平行或重合；
（4）正确；向量的长度与向量的方向是独立的，模相同的向量不一定共线；
（5）错误；可以为零向量，此时与不一定共线；若非零，则可得出与共线；
（6）错误；平行向量的方向可以相同或相反．
【题干】15.判断下列各命题是否正确
（1）零向量没有方向 （2）若，则
（3）单位向量都相等 （4）向量就是有向线段
（5）两相等向量若共起点，则终点也相同 （6）若，，则；
（7）若，，则
（8）若四边形是平行四边形，则
（9）的充要条件是且；
【答案】（1）不正确，（2）不正确，（3）不正确，（4）不正确，（5）正确，（6）正确，（7）不正确，（8）不正确， （9）不正确.
【解析】（1）不正确，零向量方向任意，（2）不正确，说明模相等，还有方向，（3）不正确，单位向量的模为，方向很多，（4）不正确，有向线段是向量的一种表示形式 （5）正确，（6）正确，向量相等有传递性，（7）不正确，因若，则不共线的向量也有，.（8）不正确， 如图，（9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；
【题干】16.在四边形中，“”是“四边形为梯形”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】四边形为梯形，但反之不成立.
【题干】17.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是
⑤模为是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
【答案】①不正确，②不正确，③不正确， ④、⑤正确.
【解析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
【题干】18.平面向量，共线的充要条件是（ ）
A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数，，
【答案】D.
【解析】A中平行向量可以方向相反，C中忽略了为零向量的情况，B显然错误．
【题干】19.给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且；
⑤若，，则；
其中正确的序号是________．
【答案】②③.
【解析】①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
②正确；∵，∴且，又是不共线的四点，
∴四边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则且，因此，．
③正确；∵，∴，的长度相等且方向相同；又，∴的长度相等且方向相同，∴，的长度相等且方向相同，故．
④不正确；当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤不正确；考虑这种特殊情况；
综上所述，正确命题的序号是②③．
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