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二、平面向量的几何表示
归纳总结：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
特别注意：
1）向量的模长表示线段的长度.
2）向量的平行表示向量所在的直线平行或重合.
3）向量相等表示线段长度相等且平行.
【题干】1.如下图，设是正六边形的中心，分别写出图中与，，相等的向量.
【题干】2.边长为的等边的底边上的中线向量的模为________.
【题干】3.如图，已知为正六边形的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与共线的向量；
（2）确定与相等的向量；
（3）与相等吗？
【题干】4.在如图中的的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）
【题干】5.已知是正方形对角线的交点，在以这点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量.
【题干】6.写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为）.
【题干】7.如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】8.如图，在中，、、分别是、、上的中线，交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】9.在中，点，满足，.
若，则________；________.
【题干】10.设在平面上给定了一个四边形，点分别是、、、的中点，则________.
【题干】11.化简
【题干】12.化简下列各式：
（1）；（2）
【题干】13.若，，其中，是已知向量，求，.
【题干】14.设是所在平面内的一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】15.如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】16.是的边上的中点，则向量（ ）
A. B. C. D. .
【题干】17.根据图示填空：
（1）________；（2）________．
【题干】18.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，
则（ ）
A. B. C. D.
【题干】19.设，，，分别是的三边、、上的点，且，，则与( )
A. 反向平行 B. 同向平行
C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直
【题干】20.如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】21.如图所示，是四边形的对角线的中点，已知，求向量．
【题干】22.如图，在中，为边的两个三等分点，，，求，．
【题干】23.已知任意四边形中，分别是的中点，
求证：．
【题干】24.若则向量的关系是（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 不确定
【题干】25.若非零向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【题干】26.在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
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二、平面向量的几何表示
归纳总结：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
特别注意：
1）向量的模长表示线段的长度.
2）向量的平行表示向量所在的直线平行或重合.
3）向量相等表示线段长度相等且平行.
【题干】1.如下图，设是正六边形的中心，分别写出图中与，，相等的向量.
【答案】见解析
【解析】设向量为向量，向量为向量，向量为向量为向量，与相等的向量是：；与相等的向量是：；与相等的向量是：.
【点评】考查向量基本概念，及向量的正确表示，书写易丢箭头，题目容易.
【题干】2.边长为的等边的底边上的中线向量的模为________.
【答案】
【解析】等边三角形中线，高，角平分线重合，所以中线就是高，向量的模就是长度，.
【点评】考查向量的模，利用数形结合画出向量，题目容易.
【题干】3.如图，已知为正六边形的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与共线的向量；
（2）确定与相等的向量；
（3）与相等吗？
【答案】（1）；（2）；（3）不相等
【解析】根据题中所给出的图形和对应的向量，利用共线向量的定义以及相等向量的定义进行分析判断，即可得到答案.
【点评】考查向量基本概念，用有向线段表示向量，作图题，题目容易.
【题干】4.在如图中的的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？（除外）
【答案】相等的有7个，长度相等的有14个
【点评】考查向量的几何表示，用有向线段表示向量，作图题，题目容易.
【题干】5.已知是正方形对角线的交点，在以这点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量.
【答案】（1）与相等的向量有；（2）与相等的向量有.
【解析】（1）与相等的向量有，必须和长度相等、方向相同，再根据正方体的性质找出答案；（2）与相等的向量有，必须和长度相等、方向相同，再根据正方体的性质找出答案；如图：
【点评】数形结合解题，画出正方形，结合定义解答，题目容易.
【题干】6.写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为）.
【答案】.
【解析】，.
【点评】考查向量模的定义，数形结合解题，题目容易.
【题干】7.如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在正方形中，设边长等于，可得，由，从而得出结论.
【点评】
【题干】8.如图，在中，、、分别是、、上的中线，交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由三角形的重心定理和向量共线定理可得：，，，.即可判断出.
【题干】9.在中，点，满足，.
若，则________；________.
【答案】，.
【解析】，所以，.
【题干】10.设在平面上给定了一个四边形，点分别是、、、的中点，则________.
【答案】见解析
【解析】设在平面上给定了一个四边形，点分别是、的中点，则.
【点评】考查向量模的定义，数形结合解题，题目容易.
【题干】11.化简
【答案】.
【解析】解法一（统一成加法）：；
解法二（利用）： ；
解法三（利用）：设是平面内任意一点，则.
【点评】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．
【题干】12.化简下列各式：
（1）；（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）原式.
【题干】13.若，，其中，是已知向量，求，.
【答案】，.
【解析】记①，②，②得③，①－③得. ∴④，将④代入②有：.
【题干】14.设是所在平面内的一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【题干】15.如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【题干】16.是的边上的中点，则向量（ ）
A. B. C. D. .
【答案】C.
【题干】17.根据图示填空：
（1）________；（2）________．
【答案】（1）；（2）.
【题干】18.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】由题意可知为中点，∴，∴.
【题干】19.设，，，分别是的三边、、上的点，且，，则与( )
A. 反向平行 B. 同向平行
C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直
【答案】A.
【解析】由上题可知，，，则，由定比分点的向量式得:，，，以上三式相加得.
【题干】20.如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【题干】21.如图所示，是四边形的对角线的中点，已知，求向量．
【答案】.
【解析】.
【题干】22.如图，在中，为边的两个三等分点，，，求，．
【答案】，.
【解析】，因为的两个三等分点，
故，，.
【题干】23.已知任意四边形中，分别是的中点，
求证：．
【答案】见解析.
【解析】，
∴，又∵分别是的中点，
∴，所以，命题得证．
【题干】24.若则向量的关系是（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 不确定
【答案】C.
【解析】与分别表示平行四边形的两条对角线，它们相等，即说明四边形为矩形.
【题干】25.若非零向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】若两向量共线，则由于，是非零向量，且，则必有；代入可知A，C满足；若两向量不共线，设，，则，有，延长至，使，则．由知，，于是．而与的大小无法确定．
【题干】26.在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由，得，即，所以点是边上的第二个三等分点，如图所示.故．
【点评】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
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