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三、相等向量与共线向量
归纳总结：
1）非零向量的共线问题，应注意与其方向相同或相反的向量.
2）证明向量相等应考虑两个方面，一是大小，二是方向.
特别注意：
1）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示.并且与有向线段的起点无关，也就是说相等向量经过平移可以重合.
2）在同一个平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量.
3）任何一组平行向量都可以移动到同一条直线上，平行向量也就是共线向量.
【题干】1.若，且，则四边形的形状为（ ）.
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 等腰梯形
【题干】2.已知非零向量，若非零向量，则与必定________.
【题干】3.如右图所示，、、分别是正的边的中点，则在以、、、、、六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量平行的向量.
【题干】4.如图，点是正六边形的中心，则以图中点，，，，，，中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）.
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
【题干】5.已知，，是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则________.
【题干】6.如下图，在菱形中，，则以下说法错误的是（ ）.
A. 与相等的向量只有一个（不含）
B. 与的模相等的向量有个（不含）
C. 的模恰为模的倍
D. 与不共线
【题干】7.如图所示，在中，，则其中共线向量有（ ）.
A. 一组 B. 二组
C. 三组 D. 四组
【题干】8.下列说法不正确的是（ ）.
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 任何一个非零向量都可以平行移动
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D. 两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【题干】9.设是所在平面内的一点，，则（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】10.根据图示填空：
（1）________. （2）________.
【题干】11.如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）.
A. B.
C. ` D.
【题干】12.设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值.
【题干】13.已知，，，为平面内四点，求证：，，三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数、，使，且.
【题干】14.已知：，则下列关系一定成立的是（ ）.
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
【题干】15.设分别是的三边上的点，且，则与（ ）.
A. 反向平行 B. 同向平行
C. 不平行 D. 无法判断
【题干】16.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为________.
【题干】17.在平行四边形中，分别是边和的中点，若其中，则________.
【题干】18.设、是不共线的两个非零向量，
（1）若，求证: ，，三点共线；
（2）若与共线，求实数的值.
【题干】19.已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、三向量的终点在一直线上，则实数________.
【题干】20.设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则________．
【题干】21.已知是不共线的向量，，，，
则四点中共线的三点是________.
【题干】22.设是不共线的两个向量，已知，，，若三点共线，求的值．
【题干】23.设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值．
【题干】24.已知为平面内四点，求证：三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数、，使，且．
【题干】25.已知向量，若向量和共线，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 或
【题干】26.分别是的上的中点，且，，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
① ②
③ ④
A. B. C. D.
【题干】27.已知：，则下列关系一定成立的是（ ）
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
【题干】28.如图，在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】29.如图，已知，用表示，则（ ）
A. B.
C D.
【题干】30.已知，，且，试求关于的函数.
【题干】31.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【题干】32.向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知四边形，与交于，，，求证：是平行四边形.
【题干】33.已知平行四边形的两条对角线与交，是任意一点．求证：+++=.
【题干】34.如图所示，，，，，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半径倍的向量有多少个？
【题干】35.已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是和的中点，求证：平行且等于.
【题干】36.如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点和点．求证．(向量法)
【题干】37.四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用向量的方法证明：也是的中点．
【题干】38.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则( )
A. B.
C. D.
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三、相等向量与共线向量
归纳总结：
1）非零向量的共线问题，应注意与其方向相同或相反的向量.
2）证明向量相等应考虑两个方面，一是大小，二是方向.
特别注意：
1）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示.并且与有向线段的起点无关，也就是说相等向量经过平移可以重合.
2）在同一个平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量.
3）任何一组平行向量都可以移动到同一条直线上，平行向量也就是共线向量.
【题干】1.若，且，则四边形的形状为（ ）.
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 等腰梯形
【答案】B
【解析】四边形中，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形；又因为，所以平行四边形是菱形.
【点评】考查共线向量，注意两向量的方向，题目容易.
【题干】2.已知非零向量，若非零向量，则与必定________.
【答案】
【点评】考查共线向量，向量共线可传递，题目容易.
【题干】3.如右图所示，、、分别是正的边的中点，则在以、、、、、六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量平行的向量.
【答案】
【点评】考查平行向量定义，注意方向相同相反都平行，题目容易.
【题干】4.如图，点是正六边形的中心，则以图中点，，，，，，中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）.
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】观察图形，结合共线向量的定义知：向量共线的向量有 共个.
【点评】考查平行向量定义，注意方向相同相反都平行，题目容易.
【题干】5.已知，，是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则________.
【答案】
【解析】，，是不共线的三点，则与不共线，与是平行向量，与是共线向量，则.
【点评】考查零向量的共线问题，规定零向量与任何向量都是共线向量，题目容易.
【题干】6.如下图，在菱形中，，则以下说法错误的是（ ）.
A. 与相等的向量只有一个（不含）
B. 与的模相等的向量有个（不含）
C. 的模恰为模的倍
D. 与不共线
【答案】D
【解析】A.与相等的向量只有一个（不含），是，正确；B.在菱形中，，∴ ，因此和都是等边三角形，∴与的模相等的向量有个（不含）：，因此正确.C.由等边三角形的性质可得：，∴，因此的模恰为模的倍，故正确.D. ∵，∴与共线，不正确.
【点评】两相量相等要求长度（模）相等，方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.对于零向量和任意向量共线.
【题干】7.如图所示，在中，，则其中共线向量有（ ）.
A. 一组 B. 二组
C. 三组 D. 四组
【答案】C
【解析】，，可构成个向量，这个向量是一组共线向量，，，构成个向量，这个向量是一组共线向量， 是一组共线向量.
【点评】考查共线向量定义，注意方向相同相反都平行，题目容易.
【题干】8.下列说法不正确的是（ ）.
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 任何一个非零向量都可以平行移动
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D. 两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【答案】D
【解析】两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
【点评】共线向量只与方向有关，只要是方向相同或相反的向量都是共线向量，但它们的长度不一定相等.
【题干】9.设是所在平面内的一点，，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以点为线段的中点，如图，即.
【题干】10.根据图示填空：
（1）________. （2）________.
【答案】（1） （2）
【题干】11.如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）.
A. B.
C. ` D.
【答案】A
【解析】由图可知，在中，，
即.
【题干】12.设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值.
【答案】
【解析】，∴，由，，三点共线，则，
∴，∴，解得：.
【题干】13.已知，，，为平面内四点，求证：，，三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数、，使，且.
【答案】见解析
【解析】由，，得
，∴，∴，，三点共线.由，，三点共线，知存在常数，使得即，
，令，，，
且.
【点评】根据向量法判断三点共线的充要条件，我们可以写出“与共线”的充要条件，分析与存在唯一一对实数 ，使得，结合向量共线的条件，从必要性和充分性两方面来证即可.
【题干】14.已知：，则下列关系一定成立的是（ ）.
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
【答案】B
【解析】，由向量的加法原理知，又因为两线段过同点，
故三点，，一定共线.
【题干】15.设分别是的三边上的点，且，则与（ ）.
A. 反向平行 B. 同向平行
C. 不平行 D. 无法判断
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得：，
，以上三式相加得.
【题干】16.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为________.
【答案】等腰三角形
【解析】∵
，∴，∴为等腰三角形.
【题干】17.在平行四边形中，分别是边和的中点，若其中，则________.
【答案】
【解析】如图所示，∵分别是边和的中点，∴，， ∵，∴，∴，与比较可得，
则.
【点评】此题主要是考察向量的加减法和向量相等的相关知识，注意向量减法是加法的逆运算，注意向量是否相同起点这个条件.
【题干】18.设、是不共线的两个非零向量，
（1）若，求证: ，，三点共线；
（2）若与共线，求实数的值.
【答案】（1），，三点共线（2）.
【解析】（1）证明：∵，，
∴，，∴，，三点共线.
（2）∵与共线，∴存在实数，使得，∵与不共线，∴ ，∴.
【题干】19.已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、三向量的终点在一直线上，则实数________.
【答案】.
【解析】如图， ∵、、三向量的终点在一直线上，∴存在实数使:，得.又∵、不共线，
∴且，解得.
【题干】20.设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则________．
【答案】.
【解析】设①，②，将代入②得：且与不共线，因此，解得：，∴．
【题干】21.已知是不共线的向量，，，，
则四点中共线的三点是________.
【答案】共线.
【解析】，，故三点共线．
【题干】22.设是不共线的两个向量，已知，，，若三点共线，求的值．
【答案】或.
【解析】，∵三点共线，∴向量共线，即存在实数，使得，∴，得．又不共线，故，解得或．
【题干】23.设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值．
【答案】.
【解析】由三点共线知存在，使得，，
∴，又不共线，故．
【题干】24.已知为平面内四点，求证：三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数、，使，且．
【答案】见解析.
【解析】充分性，由， ，得，∴．∴三点共线．必要性:由 三点共线知，存在常数，使得，即，，，，， ．
【题干】25.已知向量，若向量和共线，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D.
【题干】26.分别是的上的中点，且，，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
① ②
③ ④
A. B. C. D.
【答案】D.
【题干】27.已知：，则下列关系一定成立的是（ ）
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
【答案】C.
【解析】，所以三点共线.
【题干】28.如图，在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C．
【题干】29.如图，已知，用表示，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B.
【解析】.
【题干】30.已知，，且，试求关于的函数.
【答案】.
【解析】∵，则，∴.
【题干】31.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【答案】见解析.
【解析】如图所示，设．由已知得，、、三点共线，、、三点共线，且，．如图所示，，，所以，所以或与共线，且，又在四边形中，与不共线，所以，所以，四边形是平行四边形．
【题干】32.向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知四边形，与交于，，，求证：是平行四边形.
【答案】见解析.
【解析】如图：∵，又由已知 ，
∴，故与平行且相等，所以是平行四边形.
【题干】33.已知平行四边形的两条对角线与交，是任意一点．求证：+++=.
【解析】方法一：∵是对角线和的交点，∴，，∴在中，，同理：，，，以上各式相加，得：；
方法二：∵是对角线和的交点，∴在中，①，在中，②，∴①②得：，
∴=；
【题干】34.如图所示，，，，，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半径倍的向量有多少个？
【答案】16.
【解析】以，，，…，及为顶点的内接正方形有两个：一个是，另一个是，符合题决的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每边对应两个向量）的长度均为半径的倍，所以为半径倍的向量共有个．
【题干】35.已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是和的中点，求证：平行且等于.
【答案】见解析.
【解析】合理的选用基底向量表示和后比较取平面内一点，
则，，
所以，即平行且等于.
【点评】选用基底可结合问题的具体特点而定，本题选，，，，保证了条件应用能够合理简便，若选用两个不共线向量为基底则有一定难度，用向量解题时，向量起点的任意为解题提供了起点选择的任意性和多样性，本题中也可选用图中相关如与的交点作为所有向量的起点.
【题干】36.如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点和点．求证．(向量法)
【答案】见解析.
【解析】由已知，有向量，，∴，，即①，又∵是的中点，，，
∴.在中，
有，即②，∵与不共线，由①②得，解这个方程组，得，把代回①式，
得，，∴，等价写法，同理可证，即，∴.
【题干】37.四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用向量的方法证明：也是的中点．
【答案】见解析.
【解析】设，，，由于是的中点，所以，
同理，因为是的中点，，
同理，再由是中点得到，即，
于是，，∴，即与平行，且，，三点共线，，也即是的中点.
【题干】38.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B．
【解析】法一：由为的中点可知，
∴，
设，，∴，解得：，
∴；
法二：由于，则，将，代入即可．
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