人教版九年级数学上册第二十四章 圆 单元复习题(含解析)

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元复习题
一、选择题
1．已知的半径是，则中最长的弦长是（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在中，若，则的度数是（　　）
A．15° B．25° C．50° D．75°
4．如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　）
A．110° B．112° C．120° D．132°
5．已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（　　）
A．70° B．55° C．35° D．20°
8．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，点的坐标是，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．点在上或在外
9．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为　 　．
12．如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为　 　 度
13．如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是　 　.
14．如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当时，阴影部分的面积为　 　.
三、解答题
15．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C，D分别在OA，OB上，且AC=BD．求证：AD=BC．
16．如图，AB是的直径，，于点E，连接BD交CE于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求弦BD的长.
17． 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是O的切线．
18．如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
19．如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．
（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．
21．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
22．如图，点、、都在上，过点作交延长线于点，连接、，且，cm．
（1）求证：是的切线；
（2）求的半径长；
（3）求由弦、与弧所围成的阴影部分的面积．
23．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：的半径是，中最长的弦长是直径等于， 中最长的弦长是 .
故答案为：B.
【分析】根据圆的定义，和弦长的概念求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解： 弦心距.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ADB=∠B+∠ACB
∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∴∠AOB=2∠ACB=112°
故答案为：B.
【分析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以∠ADB=∠B+∠ACB，求得∠ACB=∠ADB-∠B=56°；在同一个圆中，圆心角是同弧所对圆周角的2倍，所以∠AOB=2∠ACB=112°.
5．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵点P在半径为的圆内 ，
∴ 点P到圆心的距离＜5cm，
∴ 点P到圆心的距离可以是2cm.
故答案为：A.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此解答即可.
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ 的度数是140°，
∵D是 的中点，
∴ 和 的度数都是70°，
∴∠CAD＝ 70°＝35°，
故答案为：C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得弧ADC的度数，进而根据中点的定义可得弧AD与弧CD的度数，最后根据圆周角的度数等于所对弧的度数的一半即可得出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标为，
∴，因而点P在上．
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理求出OP，进而根据点与圆的位置关系即可求解。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆，
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点可得OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，于是结合已知可求得∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，
分别连接AO，OB，OC，
∴OA=OB=OC=2，
∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 ，
∴∠1=∠2=30°，
又∵OC⊥AD与点D，
∴∠3=30°，
∴OD=DC=1，AD=，
∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=-1，
∴阴影部分的面积为：8××（-1） =4×（3-2+1）=16-8.
故答案为：C.
【分析】“割圆术”将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，所以只需要求出一个等腰直角三角形的直角边即可解决问题.先根据十二等分求出一等分的圆心角，从而求出∠3的度数为30°，在直角三角形ODA中求解AE，最后根据三角形面积公式计算出整个阴影部分的面积即可.
11．【答案】2
【解析】【解答】解：连接OA
∵在中，半径垂直弦于点D，
∴
∵OC=3
∴OA=OC=3
在Rt△AOD中，
∴CD=3-1=2
故答案为：2
【分析】连接OA ，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】54
【解析】【解答】∵MN是的切线，是切点，
∴∠OMN=90°，
∵∠N=36°，
∴∠MON=180°-∠OMN-∠N=180°-90°-36°=54°，
故答案为：54.
【分析】利用切线的性质可得∠OMN=90°，再利用三角形的内角和求出∠MON的度数即可.
13．【答案】120°
【解析】【解答】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴∠BAD=60°，
∴∠BOD=120°，
故答案为：120°
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠BAD=60°，进而根据圆周角定理即可求解。
14．【答案】16
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，，以AC为直径的半圆的面积为：，以BC为直径的半圆的面积为：,以AB为直径的半圆的面积为：，，∴S阴影=8π+2π+16-10π=16，
故答案为：16.
【分析】本题考查了勾股定理，半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据勾股定理求出AB的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积与以BC为直径的半圆的面积以及以AB为直径的半圆的面积与△ABC的面积，即可求解．
15．【答案】证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，
∴AO= BO，
∵点C，D分别在OA，OB上，且AC=BD，
∴ OC=OD ，
在△OCB与△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(SAS)，
∴ AD= BC．
【解析】【分析】先分别说明AO= BO，OC=OD，通过SAS来证明 △OCB≌△ODA ，从而可得AD= BC．
16．【答案】（1）解：证明：∵AB是的直径，
∴，∴
∵，∴，
∴，
∴
又∵，∴，
∴，
∴，∴；
（2）解：连接OC，交BD于点G，
∵，∴，，
∵，，，
∴，
∴的半径为10，
设，则，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴
17．【答案】证明：连接OC，如图
∵OA= OB，CA= CB，
∴OC⊥AB，
又∵OC是O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
【解析】【分析】 连接OC，由OA= OB，CA= CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB， 又因为点C在 ⊙O上 ，利用切线的判定定理即可求解，可以简记为“点在圆上，连半径，证垂直”即可.
18．【答案】（1）解：解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
【解析】【分析】（1）在圆中，直径所对的圆周角为直角，连接AD，则AD⊥BC，由AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”可知，AD是∠BAC的平分线，故∠BAD=∠CAD，BD =DE ，BD=DE.
(2)S弓形=S扇形-S△，要求弓形的面积，先求扇形和三角形的面积；连接OE，由已知可得△AOE是等边三角形，扇形OAE是60°的扇形，根据题中所给数据，求出即可，
19．【答案】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据 是等腰三角形，可得，即可得到；
（2）先求出，OB=5，利用勾股定理求出BD的长，再求出即可。
20．【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB==10，
∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，
∴AB为⊙O的直径，
∴R=AB=5．
（2）解：∵点O是AB的中点，AB=10，
∴BO=AB=5，
∴BO＜BC＜BA，
∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，
∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，
∴8＜r＜10．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得R的值；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质求出BO的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围即可。
21．【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
22．【答案】（1）证明：设OC、BD相交于点E
∵∠CDB＝∠OBD＝30°，
∴∠BOE＝60°
∵∠OBD＝30°
∴∠BEO＝90°
即OE⊥BD
又∵AC∥BD
∴OC⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴AC为⊙O切线．
（2）解：在△OBE中，∠BEO＝90°，，∠OBE＝30
∴
∴
解得R＝6
即⊙O的半径长为6cm
（3）解：在△CDE和△OBE中
∴△CDE≌△OBE（ASA）
∴
【解析】【分析】(1)先利用圆周角定理证得OE⊥BD，再通过平行线的性质得到AC为⊙O切线．
(2)利用垂径定理求得BE长，再通过的直角三角形得到半径长.
(3)通过ASA判定△CDE≌△OBE证得阴影部分面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形面积公式求得阴影部分面积.
23．【答案】（1）证明： 是 直径， ，
∴ ，
，
平分 ；
（2）证明：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，
，
∴△DFE≌△DFP（SAS） ，
，
， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，
，
；
（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，
设 ，
为直径， ，
∴ ，
，由 知 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴△AFE≌△AFP（SAS） ，
，
，
∴AG为EP的中垂线，
，
，
∵AB为直径，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△AEG≌△APG（SSS） ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设半径为 ， ，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△CHO≌△BGE（AAS） ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
则 ，
，
即 ，
令 ，
则原式为 ，
即 ，
解得： ， 舍 ，
，
负值舍去 ．
半径为10．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，根据等弧所对的圆周角相等得∠BPC=∠BPD，据此即可得出结论；
（2）∠DCP＝α，根据圆周角定理证明∠BAD＝∠PAD，连接OD，利用SAS证明△DFE≌△DFP，可得DP＝DE，再永AAS证明△CEH≌△DEH，可得CE＝DE，进而可以解决问题；
（3）连接EG、CO，利用SAS证明△AEF≌△APF，可得EF＝PF，再利用SSS证明△AEG≌△APG，可得∠AEG＝∠APG＝90°，利用等角对等边证明BO＝BG，设半径为r，HC＝a，用AAS证△CHO≌△BGE，可得HC＝BE＝a，根据S△AOG＝30，可得EG＝，然后在Rt△EBG中利用勾股定理即可解决问题．
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